基于PSO算法角接觸球軸承動態接觸角的求解

王連寶，胡小秋，芮紅鋒

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

高檔數控機床的進給系統必須具有良好的動態特性[1]。角接觸球軸承是進給系統普遍使用的支承軸承，其動態特性直接影響進給系統的整體性能。如今，角接觸球軸承的動態特性分析理論已經比較完善，主要的難點集中在軸承動態模型的求解方面，目前多選用Newton-Raphson法、Hook-Jeeve法和差分法等[2-4]。上述方法對迭代初值敏感，求解不易收斂[5]。與之相比，二次插值型粒子群優化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法對邊界初值的設定沒有嚴格的要求，具有很好的全局尋優能力。

1 軸承動態特性分析的簡化模型

1.1 幾何相容方程

對于內圈轉動、外圈固定的角接觸球軸承，受到聯合載荷(軸向力Fa和徑向力Fr)作用前后位于角位置ψj處的球心與內、外溝曲率中心的相對位置關系如圖1所示。根據圖1的變形幾何條件得

圖1 球心與內、外溝曲率中心的位置關系

(1)

(2)

式中：fi，fe分別為內、外溝曲率系數；δij，δej分別為內、外溝道的法向接觸變形量；Dw為球直徑；Kij，Kej分別為內、外溝道的接觸剛度；Qij，Qej分別為內、外溝道的法向接觸載荷；xaj，xrj，A′aj，A′rj為與球心和內、外溝曲率中心坐標相關的變量；j=1，2，…，Z；Z為球數。

1.2 內圈力平衡方程

在Fa和Fr作用下，軸承處于受力平衡狀態，對內圈有

(3)

(4)

式中：αij，αej分別為內、外接觸角。

1.3 動態模型簡化前、后的比較

文獻[2,5-6]中的動態模型包含一系列輔助方程和4Z+2個主方程，主變量較多且彼此耦合，增加了算法的復雜性，也降低了計算精度，需要對動態模型的主方程組進行簡化并尋找新的算法。

與以往的動態模型相比，簡化模型中增加了2Z個輔助方程，主方程數目減為2Z+2個，縮減了主變量個數，簡化了適應度函數Fitness。

2 求解方法及流程

簡化模型中變量Kij，Kej，Qij，Qej，δij，δej，xrj，xaj，A′rj和A′aj最終都是關于αij與αej的函數，其邏輯關系如圖2所示。

圖2 變量之間的邏輯關系

取一組接觸角αij與αej為粒子元素，適應度函數Fitness由 (1) ～ (4) 式左邊表達式組成，即

|Expr3|+|Expr4|，

當軸承轉速不為零時，每個球受到離心力和陀螺力矩的作用，接觸角按一定規律變化。研究表明，在一定的外加載荷作用下，隨著轉速的升高，內接觸角逐漸增大，外接觸角逐漸減小，且內接觸角大于外接觸角。所以，在算法中設定約束條件為αej<αij。仿真表明：根據變量的實際意義確定未知量的約束條件，既提高了計算精度，又縮短了收斂時間。

PSO算法具有求解優化問題的能力，但在處理復雜、多維變量多峰值的數學模型時仍然存在“早熟收斂”現象[6]，使得計算精度較低。為了改善這一問題，文中采用二次插值型PSO算法，該算法引入了基于二次插值的“早熟判斷和處理”機制，算法在出現粒子早熟時會跳出局部最優，所以具有很好的全局優化和局部探索能力。角接觸球軸承簡化模型動態接觸角的計算流程如圖3所示。

圖3 動態接觸角的計算流程

3 計算結果與分析

為了驗證簡化模型的正確性和二次插值PSO算法程序的可行性與普適性，選擇常規軸承SKF B218和高精密軸承SNFA VEX 6/NS為例，同時為了與已知文獻[7-8]對比，下面僅計算軸承在不同軸向力和轉速下的動態接觸角。

3.1 SKF B218的分析

SKF B218的內、外圈與鋼球材料均為GCr15鋼，主要參數見表1。

表1 SKF B218主要參數

3.1.1 動態簡化模型和算法的驗證

當軸向力Fa=17.8 kN，轉速n取不同數值時，內、外接觸角的計算值與文獻值[7-8]見表2。由表2可以看出，低速時內、外接觸角的計算結果與文獻值之間的相對誤差很小，在±0.21%以內；隨著轉速的升高，計算誤差略微增大，但仍然較低，基本上在±1.09%以內。這是因為在軸承轉速較低時，實際內、外接觸角的差值較小，程序可以設定較小范圍(上、下邊界初值的差較小)的接觸角邊界初值；而高速時，實際內、外接觸角的差值增大，需要設定較大范圍的邊界初值，致使計算誤差也偏大。

表2 計算值與文獻值的對比結果

圖4給出了軸承轉速n=15 000 r/min，軸向力Fa取不同值時內、外接觸角的文獻值與計算值變化曲線。由圖4可知，內、外接觸角的計算值分別與對應的文獻值變化趨勢相一致；當軸向力較小時，內、外接觸角的計算誤差相對較大，達到±2.56%；隨著軸向力的增大，計算誤差減小，低至±0.31%。這是因為隨著軸向力的增大，內接觸角逐漸減小，外接觸角逐漸增大，兩者之間的差值呈現遞減的變化趨勢，所以當軸向力較大時可以設定較小范圍的邊界初值，降低計算誤差。

圖4 軸承動態接觸角隨軸向力的變化曲線

3.1.2 邊界初值對計算結果的影響

軸承所受軸向力Fa=10 kN，轉速n=5 000 r/min工況下，內、外接觸角分別選定不同的邊界初值時的計算結果見表3。由表3可以看出，隨著邊界初值設定范圍的擴大，內、外接觸角的計算結果沒有一定的變化趨勢，這是由于PSO算法中初始化種群具有隨機性；并且，計算結果分別在[42.38°，43.45°]，[38.90°，40.13°]內微幅震蕩，說明了此算法和程序具有很好的穩定性，邊界初值對計算結果影響很小。

表3 不同初值下的計算結果(SKF B218) (°)

3.2 SNFA VEX 6/NS的分析

SNFA VEX 6/NS是一種高精密的高速混合陶瓷球軸承，尺寸較小，其套圈材料為GCr15鋼，陶瓷球材料為Si3N4，主要參數見表4。

表4 SNFA VEX 6/NS的主要參數

當軸承轉速n=1.0×105r/min，軸向力Fa取不同數值時的文獻值[8]和計算值曲線如圖5所示。由圖5可知，內、外接觸角的計算誤差均在±4.31%以內，說明此算法對高精密軸承同樣具有較高的計算精度。

圖5 軸承動態接觸角隨軸向力的變化曲線

軸承在軸向力Fa=50 N，轉速n=1.0×105r/min工況下，內、外接觸角分別選定不同的邊界初值時的計算結果見表5。

表5 不同初值下的計算結果(SNFA VEX 6/NS) (°)

由表5可以看出，內、外接觸角的計算結果分別在[19.79°，20.72°]，[14.28°，15.27°]內小幅波動，說明了設定較大范圍的邊界初值對高精密軸承的計算結果影響不大，即上文算法適用于高精密軸承。

4 結論

(1)當軸向力一定時，隨著轉速的增大，內、外接觸角的計算誤差呈現遞增的變化趨勢；當轉速一定時，隨著軸向力的增大，計算誤差呈現遞減的變化趨勢。

(2)在軸向力、轉速變動范圍較大時，內、外接觸角的計算誤差小，說明提出的角接觸球軸承動態簡化模型具有較高的正確性，應用二次插值型PSO算法進行求解具有很好的可行性與普適性。

(3)當軸向力、轉速一定時，內、外接觸角設定不同的邊界初值范圍，其計算結果均在較小區間內變動，說明該算法對動態簡化模型的邊界初值敏感性較低，具有很好的穩定性，適用于計算常規軸承和高精密軸承。