基于小波域奇異值分解的振動信號壓縮算法

王懷光，張培林，陳林，陳彥龍

(1.軍械工程學院 七系，石家莊，050003；2.武漢軍械士官學校 槍械系，武漢，430075)

狀態監測技術有助于改進系統可靠性、安全性并降低維護維修費用[1]，在對設備的實時監測中將產生大量數據，必須對監測數據進行快速傳輸才能提高識別速度，滿足在線測試的要求，因此必須研究相應的壓縮方法。

矩陣的奇異值分解是矩陣論的重要內容，在在線動態系統識別、試驗數據處理、最佳逼近問題及壓縮算法等方面得到了廣泛運用[2-5]。小波分解是一種常用的壓縮算法[6-7]，但小波分解后各層的小波系數不能直接運用矩陣分析。為有效運用矩陣方法分析小波系數，提取小波系數中的本質信息，提出了一種基于小波域奇異值分解的軸承振動信號壓縮算法。首先，將工程采集的時間序列進行小波變換；然后，經過數學處理，從一維變換為二維構造矩陣；最后，利用奇異值分解提取出反映軸承振動信號本質特征的奇異值和奇異值向量，完成信號的壓縮。

1 小波系數二維矩陣的構建

小波分解結構如圖1所示。經小波分解后，同層間小波系數的個數相等，而上一層小波系數的個數為下一層的2倍，無法將不同層次的小波系數直接用于構建矩陣。

圖1 小波分解結構

為解決這個問題，提出將小波系數進行補零處理。假設第1層小波系數長度為n，則第m層小波系數的個數為n/2m-1，將第m層小波系數進行補零處理，則新生成的第m層的小波系數為

j=1,2，…，n。

其中，coefm(j)(j=1,2,…,n/2m-1)為小波分解后第m層的原始小波系數，運用新構建的小波系數組成矩陣為

式中：new_cd_coefm(i)為根據第m層原始小波細節系數新生成的小波細節系數；new_ca_coefm(i)為根據第m層原始小波近似系數新生成的小波近似系數。

2 基于奇異值分解的信號壓縮方法

2.1 矩陣的奇異值分解理論

對于矩陣A∈Cm×n，存在m階酉矩陣U∈Cm×m和n階酉矩陣V∈Cn×n使得[8]

A=USVH，

(1)

式中：S為A的奇異值矩陣；σ1，σ2…，σr為A的奇異值；對角元素滿足σ1≥σ2≥…≥σr>0，r=rank(A)。

將矩陣U和V用列向量表示為

U=[u1，u2，…，um]，

(2)

V=[v1，v2，…，vn]。

(3)

ui為σi對應的左奇異向量，vi為σi對應的右奇異向量，矩陣A可進一步表達為

(4)

上式為向量積的線性組合，稱為矩陣A的奇異值展開式。

2.2 基于奇異值分解的壓縮算法

根據(4)式，按從大到小的原則選取k個奇異值與相應的左、右奇異向量重構矩陣A，表示為

(5)

如果k≥r，可完整恢復信號，討論k

(6)

奇異值的累積貢獻度定義為

(7)

數據的壓縮比定義為

(8)

根據ρ值，可以確定用于重構信號的奇異值數目k，原始矩陣A需要m×n個數據表示，Ak則使用k(m+n+1)個數據表示。在k(m+n+1)個數據中，k×m，k×n分別表示矩陣U，V前k列元素的數據總量；k×1表示矩陣A的前k個奇異值。

ρ越小，用于表示Ak的數據量越小，壓縮比越大，數據損傷則越嚴重；ρ越接近1，Ak包含A的主要信息越多，用于表示Ak的數據量越大，壓縮比越小，數據損傷就越小；當ρ=1時，k≥r，Ak=A。研究表明，矩陣A的奇異值中只有小部分數值較大，其余均較小，因此較小的k(k

2.3 軸承振動信號的奇異值分解壓縮

工程數據往往存在冗余，特別是旋轉機械產生的周期信號。對矩陣進行奇異值分解后往往能夠反映出矩陣的本質特征，減小數據間的相關性，可用于壓縮振動信號。具體壓縮過程為(圖2)：

圖2 數據壓縮流程

(1)將采集的時間序列信號s進行小波分解，并按照文中方法構成系數矩陣A∈Rm×n；

(2)對小波系數矩陣A進行奇異值分解；

(3)設定ρ值，并據此確定奇異值個數k；

(4)選取前k個奇異值與對應的左、右奇異向量重構樣本矩陣Ak；

(5)將Ak中的m個n維向量依次拼接還原為時間序列s′。

3 軸承信號壓縮

安裝于某齒輪箱的軸承型號為SKF6205-2RS，工作時承受徑向載荷。采用電蝕在鋼球上加工出直徑為0.18 mm的單點故障，軸承的轉速為1 796 r/min，以12 kHz的頻率采集振動加速度信號，采用4 096個采樣點進行分析。加速度傳感器安裝在驅動端，振動信號由16通道的DAT記錄儀收集，前0.3 s的時域波形如圖3所示。

圖3 軸承鋼球故障波形

小波壓縮采用db1小波，7層分解。壓縮比為CR=mn/k(m+n+1)。

壓縮優劣評價的一個重要指標是數據還原程度，簡單有效的評價方法是計算能量比(energy ratio,ER)，即

(9)

式中：n為信號長度，s為原始信號，s′為重建信號。

壓縮比不同時，小波域奇異值壓縮和奇異值壓縮所能達到的能量比見表1。壓縮比相同時，小波域奇異值壓縮所能達到的能量比更高，壓縮效果更好。壓縮比為2.656 3時，采用小波域奇異值壓縮所得波形如圖4所示，經壓縮后的波形較好的保留了原始信號的特征。

表1 不同壓縮比情況下的能量比

圖4 小波域奇異值重構波形

為了驗證文中算法的魯棒性，有必要討論信號長度對算法的影響。分解層數為7時，信號長度的影響如圖5所示。由圖可知，隨著信號長度的變化，壓縮比、能量比變化曲線形狀相似，曲線對應的值接近，說明算法具有很強的魯棒性。

圖5 信號長度的影響

4 結束語

提出了基于小波域奇異值分解的振動信號壓縮方法。通過補零，解決了小波系數不能直接構建矩陣的問題，將一維時間序列變換為二維小波系數矩陣，有助于引入矩陣分析方法，借助奇異值分析系數矩陣，從而提取小波系數的本質特征。

將文中方法應用于壓縮軸承鋼球的故障信號，獲得的壓縮比較高，且在相同的壓縮比下，該方法比奇異值壓縮信號獲得的能量比更高。與其他方法相比，該方法運算速度快，理論實現簡單，是一種簡單快速的信號壓縮方法。