基于小波域奇異值分解的振動(dòng)信號(hào)壓縮算法

王懷光，張培林，陳林，陳彥龍

(1.軍械工程學(xué)院 七系，石家莊，050003；2.武漢軍械士官學(xué)校 槍械系，武漢，430075)

狀態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)有助于改進(jìn)系統(tǒng)可靠性、安全性并降低維護(hù)維修費(fèi)用[1]，在對(duì)設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)中將產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)，必須對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傳輸才能提高識(shí)別速度，滿足在線測(cè)試的要求，因此必須研究相應(yīng)的壓縮方法。

矩陣的奇異值分解是矩陣論的重要內(nèi)容，在在線動(dòng)態(tài)系統(tǒng)識(shí)別、試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、最佳逼近問(wèn)題及壓縮算法等方面得到了廣泛運(yùn)用[2-5]。小波分解是一種常用的壓縮算法[6-7]，但小波分解后各層的小波系數(shù)不能直接運(yùn)用矩陣分析。為有效運(yùn)用矩陣方法分析小波系數(shù)，提取小波系數(shù)中的本質(zhì)信息，提出了一種基于小波域奇異值分解的軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮算法。首先，將工程采集的時(shí)間序列進(jìn)行小波變換；然后，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)處理，從一維變換為二維構(gòu)造矩陣；最后，利用奇異值分解提取出反映軸承振動(dòng)信號(hào)本質(zhì)特征的奇異值和奇異值向量，完成信號(hào)的壓縮。

1 小波系數(shù)二維矩陣的構(gòu)建

小波分解結(jié)構(gòu)如圖1所示。經(jīng)小波分解后，同層間小波系數(shù)的個(gè)數(shù)相等，而上一層小波系數(shù)的個(gè)數(shù)為下一層的2倍，無(wú)法將不同層次的小波系數(shù)直接用于構(gòu)建矩陣。

圖1 小波分解結(jié)構(gòu)

為解決這個(gè)問(wèn)題，提出將小波系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)零處理。假設(shè)第1層小波系數(shù)長(zhǎng)度為n，則第m層小波系數(shù)的個(gè)數(shù)為n/2m-1，將第m層小波系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)零處理，則新生成的第m層的小波系數(shù)為

j=1,2，…，n。

其中，coefm(j)(j=1,2,…,n/2m-1)為小波分解后第m層的原始小波系數(shù)，運(yùn)用新構(gòu)建的小波系數(shù)組成矩陣為

式中：new_cd_coefm(i)為根據(jù)第m層原始小波細(xì)節(jié)系數(shù)新生成的小波細(xì)節(jié)系數(shù)；new_ca_coefm(i)為根據(jù)第m層原始小波近似系數(shù)新生成的小波近似系數(shù)。

2 基于奇異值分解的信號(hào)壓縮方法

2.1 矩陣的奇異值分解理論

對(duì)于矩陣A∈Cm×n，存在m階酉矩陣U∈Cm×m和n階酉矩陣V∈Cn×n使得[8]

A=USVH，

(1)

式中：S為A的奇異值矩陣；σ1，σ2…，σr為A的奇異值；對(duì)角元素滿足σ1≥σ2≥…≥σr>0，r=rank(A)。

將矩陣U和V用列向量表示為

U=[u1，u2，…，um]，

(2)

V=[v1，v2，…，vn]。

(3)

ui為σi對(duì)應(yīng)的左奇異向量，vi為σi對(duì)應(yīng)的右奇異向量，矩陣A可進(jìn)一步表達(dá)為

(4)

上式為向量積的線性組合，稱為矩陣A的奇異值展開式。

2.2 基于奇異值分解的壓縮算法

根據(jù)(4)式，按從大到小的原則選取k個(gè)奇異值與相應(yīng)的左、右奇異向量重構(gòu)矩陣A，表示為

(5)

如果k≥r，可完整恢復(fù)信號(hào)，討論k

(6)

奇異值的累積貢獻(xiàn)度定義為

(7)

數(shù)據(jù)的壓縮比定義為

(8)

根據(jù)ρ值，可以確定用于重構(gòu)信號(hào)的奇異值數(shù)目k，原始矩陣A需要m×n個(gè)數(shù)據(jù)表示，Ak則使用k(m+n+1)個(gè)數(shù)據(jù)表示。在k(m+n+1)個(gè)數(shù)據(jù)中，k×m，k×n分別表示矩陣U，V前k列元素的數(shù)據(jù)總量；k×1表示矩陣A的前k個(gè)奇異值。

ρ越小，用于表示Ak的數(shù)據(jù)量越小，壓縮比越大，數(shù)據(jù)損傷則越嚴(yán)重；ρ越接近1，Ak包含A的主要信息越多，用于表示Ak的數(shù)據(jù)量越大，壓縮比越小，數(shù)據(jù)損傷就越小；當(dāng)ρ=1時(shí)，k≥r，Ak=A。研究表明，矩陣A的奇異值中只有小部分?jǐn)?shù)值較大，其余均較小，因此較小的k(k

2.3 軸承振動(dòng)信號(hào)的奇異值分解壓縮

工程數(shù)據(jù)往往存在冗余，特別是旋轉(zhuǎn)機(jī)械產(chǎn)生的周期信號(hào)。對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解后往往能夠反映出矩陣的本質(zhì)特征，減小數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，可用于壓縮振動(dòng)信號(hào)。具體壓縮過(guò)程為(圖2)：

圖2 數(shù)據(jù)壓縮流程

(1)將采集的時(shí)間序列信號(hào)s進(jìn)行小波分解，并按照文中方法構(gòu)成系數(shù)矩陣A∈Rm×n；

(2)對(duì)小波系數(shù)矩陣A進(jìn)行奇異值分解；

(3)設(shè)定ρ值，并據(jù)此確定奇異值個(gè)數(shù)k；

(4)選取前k個(gè)奇異值與對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量重構(gòu)樣本矩陣Ak；

(5)將Ak中的m個(gè)n維向量依次拼接還原為時(shí)間序列s′。

3 軸承信號(hào)壓縮

安裝于某齒輪箱的軸承型號(hào)為SKF6205-2RS，工作時(shí)承受徑向載荷。采用電蝕在鋼球上加工出直徑為0.18 mm的單點(diǎn)故障，軸承的轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，以12 kHz的頻率采集振動(dòng)加速度信號(hào)，采用4 096個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行分析。加速度傳感器安裝在驅(qū)動(dòng)端，振動(dòng)信號(hào)由16通道的DAT記錄儀收集，前0.3 s的時(shí)域波形如圖3所示。

圖3 軸承鋼球故障波形

小波壓縮采用db1小波，7層分解。壓縮比為CR=mn/k(m+n+1)。

壓縮優(yōu)劣評(píng)價(jià)的一個(gè)重要指標(biāo)是數(shù)據(jù)還原程度，簡(jiǎn)單有效的評(píng)價(jià)方法是計(jì)算能量比(energy ratio,ER)，即

(9)

式中：n為信號(hào)長(zhǎng)度，s為原始信號(hào)，s′為重建信號(hào)。

壓縮比不同時(shí)，小波域奇異值壓縮和奇異值壓縮所能達(dá)到的能量比見表1。壓縮比相同時(shí)，小波域奇異值壓縮所能達(dá)到的能量比更高，壓縮效果更好。壓縮比為2.656 3時(shí)，采用小波域奇異值壓縮所得波形如圖4所示，經(jīng)壓縮后的波形較好的保留了原始信號(hào)的特征。

表1 不同壓縮比情況下的能量比

圖4 小波域奇異值重構(gòu)波形

為了驗(yàn)證文中算法的魯棒性，有必要討論信號(hào)長(zhǎng)度對(duì)算法的影響。分解層數(shù)為7時(shí)，信號(hào)長(zhǎng)度的影響如圖5所示。由圖可知，隨著信號(hào)長(zhǎng)度的變化，壓縮比、能量比變化曲線形狀相似，曲線對(duì)應(yīng)的值接近，說(shuō)明算法具有很強(qiáng)的魯棒性。

圖5 信號(hào)長(zhǎng)度的影響

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了基于小波域奇異值分解的振動(dòng)信號(hào)壓縮方法。通過(guò)補(bǔ)零，解決了小波系數(shù)不能直接構(gòu)建矩陣的問(wèn)題，將一維時(shí)間序列變換為二維小波系數(shù)矩陣，有助于引入矩陣分析方法，借助奇異值分析系數(shù)矩陣，從而提取小波系數(shù)的本質(zhì)特征。

將文中方法應(yīng)用于壓縮軸承鋼球的故障信號(hào)，獲得的壓縮比較高，且在相同的壓縮比下，該方法比奇異值壓縮信號(hào)獲得的能量比更高。與其他方法相比，該方法運(yùn)算速度快，理論實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，是一種簡(jiǎn)單快速的信號(hào)壓縮方法。