區(qū)間值度量空間的緊性和仿緊性

陳桂秀，李生剛，趙 虎

1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062 2.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西寧 810008

區(qū)間值度量空間的緊性和仿緊性

陳桂秀1，2，李生剛1，趙 虎1

1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062 2.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西寧 810008

隨著模糊集理論的不斷發(fā)展和深入研究，由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性以及人類思維的模糊性和有限性，人們往往不能明確地給出屬性的信息量，即使大量的實驗也不能給出屬性值的具體數(shù)值，而只能給出一個區(qū)間范圍，即以區(qū)間的形式來表示，于是產(chǎn)生了區(qū)間數(shù)這一概念。國內(nèi)對區(qū)間數(shù)的研究主要以胡寶清教授、鄧聚龍教授、徐澤水教授以及張興芳教授為代表，均取得了一些很好的結(jié)果；國外早在1931年Young就開始了區(qū)間數(shù)的研究，以Moore[1-3]為代表的眾多學(xué)者繼續(xù)研究，均取得了滿意的效果。

1 預(yù)備知識

下面給出一些關(guān)于區(qū)間數(shù)、區(qū)間值度量空間的基本概念、相關(guān)關(guān)系和運算。

則稱ρ為X上的一個區(qū)間值度量，且稱(X，ρ)為一個區(qū)間值度量空間。

注1.2映射ρ:X×X→I(R+)是X上的區(qū)間值度量當(dāng)且僅當(dāng)ρ-=p1?ρ:X×X→[0，+∞)和ρ+=p2?ρ:X×X→[0，+∞)都是 X上的度量，這里 p1和 p2分別是從 R2到 x和 y軸的投影。

2 區(qū)間值度量ρ誘導(dǎo)的拓?fù)銽ρ具有的緊性

定 理 2.1 T1=T2=T3={W∈2X|若x∈W，則存在a?0使得B(x，a)?W}，T3是X上的一個拓?fù)洌ǚQ由X上的區(qū)間值度量ρ誘導(dǎo)的拓?fù)洌涀鱐ρ）。

定理2.2(X，Tρ)是X上的可度量化拓?fù)洹?/p>

反過來，對每個 Bρ?(x，a)(x∈X，a∈(0，+∞))，B(x，a)?Bρ?(x，a)。由此可知Tρ=Tρ?，這里Tρ?是度量 ρ?誘導(dǎo)的 X上的拓?fù)洹?/p>

推論2.1 (X，Tρ)是第一可數(shù)的T2空間。

證明 (1)?(2)，(2)?(3)，(3)?(4)類似于一般拓?fù)淇臻g中的證明，只需證明(4)?(1)。

設(shè)(X，Tρ)是序列緊空間，A={Ai}為X的一個開覆蓋，下面分三步來證明A有有限子覆蓋：

步驟1存在區(qū)間數(shù)使得對于 X的子集A，只要diam(A)?λ，A就一定包含于A的某一個元素之中，這里diam(A)=sup{ρ(x，y)|x，y∈A}。若不然，假設(shè)對于每個i∈Z+，存在 Ei∈2X使得(?A∈A)。則對于每個i∈Z+，取 xi∈Ei。由 X是序列緊空間知序列{xn|n∈Z+}有一個子序列 xn1，xn2，…收斂于 X中的某個點 y。由于A是X的一個開覆蓋，故存在A∈A使得y∈A，由定理2.1知存在實數(shù)ε＞0使得由于序列 xn1，xn2，…收斂于 y，所以存在正整數(shù)m，當(dāng)i＞m時有取 k∈Z+使得 k＞m且從而有(?z∈Enk)，這說明矛盾。使得 從而Un是G的一個加細。

3 區(qū)間值度量ρ誘導(dǎo)的拓?fù)銽ρ具有仿緊性

注3.1本定理的證明參考了文獻[9]。

4 結(jié)束語

關(guān)于區(qū)間數(shù)理論的研究與應(yīng)用受到了眾多學(xué)者越來越多的關(guān)注。本文研究了區(qū)間值度量誘導(dǎo)的拓?fù)渌哂械木o性，并給出了一些等價關(guān)系及其證明，然后證明了該拓?fù)淇臻g具有仿緊性。

[1]Moore R E.Interval analysis[J].New Jersey：Prentice Hall，1996.

[2]Moore R E.The automatic analysis and control of error in digital computation based on the use of interval number[M]. [S.l.]：John Wiley&Sons Inc，1965.

[3]Moore R E.Automatic local coordinate transformations to reduce the growth of error bounds in interval computation of solutions of ordinary differential equations[M].[S.l.]：John Wiley&Sons Inc，1965.

[4]劉旺金，何家儒.模糊數(shù)學(xué)導(dǎo)論[M].成都：四川大學(xué)出版社，1992.

[5]胡啟洲，張衛(wèi)華.區(qū)間數(shù)理論的研究及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[6]熊金城.點集拓?fù)渲v義[M].2版.北京：高等教育出版社，1998.

[7]程吉樹，陳水利.點集拓?fù)鋵W(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[8]徐森林，胡自勝，金亞東，等.點集拓?fù)鋵W(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[9]S?nmez A.On paracompactness in cone metric spaces[J]. Applied Mathematics Letters，2010，23：494-497.

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1，ZHAO Hu1

1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China 2.Department of Mathematics,Qinghai Normal University,Xining 810008,China

The definition of interval-valued metric spaces is introduced,according to the definition of compactness and their related equivalent relations in general topological spaces,the compactness and a set of equivalent relations of induced topological space by interval-valued metric are proved,the paracompactness of this induced topological space is discussed in the paper.

interval number;interval-valued metric space;compactness;paracompactness

給出了區(qū)間值度量空間的概念，根據(jù)一般拓?fù)鋵W(xué)中緊性的相關(guān)定義及其等價條件，證明了由區(qū)間值度量誘導(dǎo)的拓?fù)渚哂械木o性及其一系列等價關(guān)系，討論了該誘導(dǎo)的拓?fù)淇臻g具有仿緊性。

區(qū)間數(shù)；區(qū)間值度量空間；緊性；仿緊性

A

O189

10.3778/j.issn.1002-8331.1204-0678

CHEN Guixiu,LI Shenggang，ZHAO Hu.On compactness and paracompactness in interval-valued metric spaces.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：45-47.

國家自然科學(xué)基金（No.11071151）；陜西省自然科學(xué)基金（No.2010JM1005）。

陳桂秀（1972—），女，博士研究生，主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)與擬陣?yán)碚撗芯浚焕钌鷦偅?959—），通訊作者，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究格上拓?fù)鋵W(xué)與擬陣?yán)碚摗-mail：shenggangli@yahoo.com.cn

2012-05-07

2012-08-13

1002-8331（2013）23-0045-03

CNKI出版日期：2012-09-06 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120906.0855.008.html