基于差別矩陣的雙射軟決策系統的約簡

吉晨莉，楊 勇

西北師范大學 數學與信息科學學院，蘭州 730070

基于差別矩陣的雙射軟決策系統的約簡

吉晨莉，楊 勇

西北師范大學 數學與信息科學學院，蘭州 730070

1 引言

為了解決經濟學、工程學、環境學及社會科學等各門學科中遇到的不確定的問題，一些數學理論和工具相繼被提出，如概率論、模糊集、粗糙集等等。1999年，俄羅斯學者Molodtsov為更好地研究不確定現象，對現有的處理不確定性的工具進行了深入的分析，指出這些理論和結果都有其內在缺陷，比如可能性理論只可用于隨機且穩定的問題，設定隸屬度函數值是模糊集中存在的最大問題，而且這些方法都缺少參數化工具，由此提出了軟集的概念[1]。目前，軟集作為可以克服上述困難的唯一理論得到了廣泛的應用。Maji P K等人[2]給出詳細的軟集理論后，在文獻[3]中給出軟集在決策中的應用，在文獻[4-5]中給出了模糊軟集的相關定義、結論和應用。Feng F等人在文獻[6-7]中給出了軟粗集、粗軟集和模糊粗軟集等的相關定義。基于軟集理論，Gong K等人給出了雙射軟集和雙射軟決策系統的概念以及相關操作[8]。

屬性約簡是粗集研究的基本問題，同樣也是軟集理論中最為關鍵和棘手的問題。目前已有較多關于軟集信息系統屬性約簡的方法[9-11]。在文獻[8]中，Gong K等人利用依賴度不變的原則求雙射軟決策系統的約簡，該方法比較復雜。本文將粗集理論中基于差別矩陣的屬性約簡方法[12]應用到雙射軟決策系統中，提出基于差別矩陣的雙射軟決策系統的約簡方法，不僅簡化了求約簡的過程，又推廣了粗集理論中的約簡方法。

2 基本概念

2.1 軟集基礎

定義1（軟集）設U是有限非空的對象集合，E是屬性集合，P(U)表示U的冪集，A?E，設F:A→P(U)是一個A到P(U)的映射，則稱(F，A)為U上的一個軟集。

定義2（軟子集）對于U上的兩個軟集 (F，A)和(G，B)，如果 B?A且 ?b∈B，G(b)?F(b)，則稱 (G，B)為(F，A)的軟子集，記作(G，B)?～(F，A)。

定義3（軟相等）對于U上的兩個軟集 (F，A)和(G，B)，如果(G，B)?～(F，A)且(G，B)?～(F，A)，則稱這兩個軟集相等，記作(F，A)=(G，B)。

定義4（軟集的交） U上的兩個軟集(F，A)和(G，B)的交集為(H，C)，其中C=A∩B，且?e∈C，H(e)=F(e)∩G(e)，記作(F，A)(G，B)=(H，C)。

定義5（軟集的并） U上的兩個軟集(F，A)和(G，B)的并集為(H，C)，其中C=A∪B，且?e∈C

定義6（軟集的與）U上的兩個軟集(F，A)和(G，B)，操作“(F，A)AND(G，B)”記作(F，A)∧(G，B)，且定義為(F，A)∧(G，B)=(H，A×B)，其中H(x，y)=F(x)∩G(y)，?(x，y)∈A×B。

2.2 雙射軟集

定義7（雙射軟集）設(F，A)是U上的一個軟集，其中F:A→P(U)是一個 A到P(U)的映射，A是非空屬性集合。如果(F，A)滿足以下兩個條件：

則稱(F，A)為一個雙射軟集。

定理1如果(F，E)和(G，B)是U上的兩個雙射軟集，則(H，C)=(F，E)∧(G，B)也是U上的雙射軟集。

3 基于差別矩陣的雙射軟決策系統的約簡

類似于粗集決策表，雙射軟決策系統分條件軟集和決策軟集。在文獻[8]中，Gong K等人利用依賴度不變的原則刪除多余的條件軟集，從而獲得雙射軟決策系統的一個約簡。本文基于差別矩陣，得到雙射軟決策系統的一種更簡單迅速的約簡方法，且能得到該系統的所有約簡。

3.1 差別矩陣與差別函數

定義14（軟集劃分類）如果(F，A)是U上的一個雙射軟集，則(F，A)形成一個對U的劃分，稱(F，A)中的每個元素集合為軟集劃分類。

由定義7可知，在雙射軟決策系統中，條件軟集形成條件劃分類，決策軟集形成決策劃分類。

定義15（差別矩陣）設BSDS=((F，E)，(G，B)，U)是一個雙射軟決策系統，其中(Fi，Ei)是雙射軟集，則定義矩陣：

為雙射軟決策系統BSDS的差別矩陣，其中p，q=1，2，…，m，

根據對稱性，Mm×m(BSDS)可表示成下三角矩陣或上三角矩陣，即

3.2 約簡算法

輸入 雙射軟決策系統BSDS=((F，E)，(G，B)，U)

輸出 條件軟集(F，E)相對于決策軟集(G，B)的所有相對約簡RED(G，B)((F，E))

步驟1計算雙射軟決策系統 BSDS的差別矩陣Mm×m(BSDS)。

步驟2對于差別矩陣 Mm×m(BSDS)中所有取值為非空集合的元素cpq(cpq≠?∧cpq≠-)，建立相應的析取邏輯表達式Lpq如下：

步驟3對所有析取邏輯表達式Lpq進行合取運算，得到一個合取范式L∧(∨)(BSDS)如下：

步驟4將合取范式 L∧(∨)(BSDS)轉換為析取范式形式，得L∨(∧)(BSDS)=∨kLk。

步驟5輸出

算法結束。

注 析取范式中的每個合取項Lk對應雙射軟決策系統的一個相對約簡。

4 實例

設U={x1，x2，…，x6}是6個商店的集合，(F，E)和(G，B)分別是U上的條件雙射軟集和決策雙射軟集，其中E= E1∪E2∪E3，E1描述銷售人員，取值為{high，med.，low}，E2描述商品質量，取值為{good，avg.}，E3描述交通阻塞情況，取值為{no，yes}，B描述盈利情況，取值為{profit，loss}。((F，E)，(G，B)，U)構成U上的雙射軟決策系統，其中(F，E)=且每個雙射軟集的映射定義如下：

首先需要求出雙射軟決策系統的差別矩陣M6×6。根據定義 14，先取x2∈U，對于決策軟集 (G，B)，x1∈G(profit)={x1，x3，x6}，而 x2∈G(loss)={x2，x4，x5}，故 x1，x2屬于不同的決策劃分類。對于條件軟集(F1，E1)，x1∈F1(high)= {x1，x6}，而 x2∈F1(med.)={x2，x3，x5}，x1，x2屬于不同的條件劃分類，故(F1，E1)可以用來區分x1和x2，但(F2，E2)和(F3，E3)都不能用來區分 x1和 x2。所以c21=c12={(F1，E1)}。同理可以求出其余矩陣元素。為方便起見，將雙射軟集(Fi，Ei)簡寫為Fi，再根據對稱性，最終得到一個下三角矩陣如下：

由差別矩陣可以求出差別函數Δ如下：

5 結語

在決策分析的應用中，類似于粗集屬性約簡，軟集的約簡也是一個重要的研究內容。選擇一個好的約簡方法有利于提高決策規則的提取效率。Gong K等人在文獻[8]中利用依賴度不變的原則實現軟集的約簡，計算量比較大，而本文提出的基于差別矩陣的約簡算法相對比較簡單，且能到雙射軟決策系統的所有約簡。在今后的工作中，將進一步研究雙射軟決策系統的約簡方法。

[1]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37：19-31.

[2]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications，2003，45：555-562.

[3]Maji P K，Roy A R.An application of Soft sets in a decision making problem[J].Computersand Mathematicswith Applications，2002，44：1077-1083.

[4]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Fuzzy soft sets[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589-602.

[5]Roy A R，Maji P K.A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2007，203（3）：412-418.

[6]Feng F，Jun Y B，Zhao X Z.Soft semirings[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56（10）：2621-2628.

[7]Feng F，Li C X，Davvaz B，et al.Soft sets combined with fuzzy sets and rough sets：a tentative approach[J].Soft Computing，2010，14（9）：899-911.

[8]Gong K，Xiao Z，Zhang X.The bijective soft set with its operations[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，60：2270-2278.

[9]Chen D G，Tsang E C C，Yeung D S，et al.The parametrization reduction of soft sets and its applications[J].Computers and Mathematics with Applications，2005，49：757-763.

[10]Kong Z，Cao L Q，Wang L F，et al.The normal parameter reduction algorithm[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56（12）：3029-3037.

[11]Ma X Q，Sulaiman N，Qin H W，et al.A new efficient normal parameter reduction algorithm of soft sets[J].Computers and Mathematics with Applications，2011，62：588-598.

[12]苗奪謙，李道國.粗糙集理論、算法與應用[M].北京：清華大學出版社，2008：186-192.

JI Chenli,YANG Yong

College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China

Based on the notions of bijective soft set and bijective soft decision system proposed by Gong K and so on,this article puts forward the method based on discernibility matrix to find the reductions of bijective soft decision systems.Using some natures of the discernibility matrix,this paper applies the method of finding reductions in rough set theory to the bijective soft decision system,which not only simplifies the process of finding reductions,but also generalizes the method in rough set theory. Key words：bijective soft set;bijective soft decision system;discernibility matrix;reduction

在Gong K等人給出雙射軟集和雙射軟決策系統概念的基礎上，提出基于差別矩陣的求雙射軟決策系統約簡的方法。利用差別矩陣的一些性質，把粗糙集理論中的約簡方法應用到雙射軟決策系統中，既簡化了求約簡的過程，又推廣了粗糙集理論中的約簡方法。

雙射軟集；雙射軟決策系統；差別矩陣；約簡

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1202-0534

JI Chenli,YANG Yong.Reduction of bijective soft decision system based on discernibility matrix.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：103-105.

國家自然科學基金地區科學基金資助項目（No.61163036）。

吉晨莉（1988—），女，碩士研究生，主要研究領域為數據挖掘與粗糙集理論；楊勇（1967—），男，博士，教授，主要研究領域為粗糙集理論及其應用。E-mail：jcl_1128@163.com

2012-02-27

2012-05-08

1002-8331（2013）23-0103-03

CNKI出版日期：2012-06-21 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120621.1127.001.html