兩種典型網絡中三種病毒傳播模型的傳播特性研究

朱鵬鵬 董建民

1阜陽師范學院 安徽 236000 2山東工業職業學院 山東 256414

0 引言

1998年，Watts和Strogatz提出了WS小世界模型，這種網絡呈現出小世界的特性，度分布遵從泊松分布。

而大量的對現實復雜網絡的統計結果表明，實際復雜網絡的度分布服從Power Law分布。為了解釋這種冪律分布，Barabasi和Albert在1999年提出了Scale-Free網絡模型，即BA無標度網絡模型。

在研究網絡病毒傳播之前，我們有必要先對傳染病模型有所了解。生物學中早就開始對病毒傳播進行了研究，并且建立了比較完善的流行病學傳播的數學模型。

在典型的傳播模型中，種群內的個體基本狀態包括：S(Susceptible)——易染狀態；I(Infected)——感染狀態；R(Removed)——被移除狀態(也稱為免疫狀態或恢復狀態)。通常用這些狀態之間的轉換過程來命名不同的傳染模型。例如，易染群體被感染，然后恢復健康并具有免疫性，稱之為SIR模型。若易染群體被感染后，又返回到易染狀態，則稱之為SIS模型。下面針對生物學中SI模型、SIS模型、SIR模型具體介紹病毒的傳播過程。

1 SI模型的傳播特性

在 SI 模型中，每個個體處于兩種狀態中的一種：易感染狀態(Susceptible)和已感染狀態(Infective)。模型中每個個體的狀態變遷過程是：易感染狀態—>已感染狀態。

取節點數N=1000，感染率因子為β=0.02，分別在相同平均度為10的BA網絡和小世界網絡中任選一個節點作為被感染的節點，仿真結果如圖1所示，橫坐標為傳播時間，縱坐標為整個網絡中節點被感染的百分比。從圖中可以看到，病毒經過一個較長時間的初始感染階段，當被感染節點積累到一定的數量以后，進入快速感染階段，當絕大多數網絡節點都被感染以后，進入飽和階段。仿真發現，在病毒傳播的早期，病毒在BA網絡中的傳播更快，顯然BA網絡中連接分布的不均勻性有利于病毒的快速傳播。

圖1 SI模型中病毒的傳播趨勢

2 SIS模型的傳播特性

在SIS模型中，每個個體也只有兩種狀態：易感染狀態與已感染狀態，但與SI模型不同的是，它考慮了個體感染后被治愈的可能，被治愈的個體對該病毒仍然是易感染的。

病人每天被治愈的總數的比例為δ，稱為日治愈率，即該模型考慮了病人可以治愈為健康者的實際情況。

取節點數N=1000，感染率因子為β=0.02，治愈率為δ=0.08，分別在相同平均度為10的BA網絡和小世界網絡中任選一個節點作為被感染的節點，仿真結果如圖2所示，橫坐標為傳播時間，縱坐標為整個網絡被感染的百分比。從仿真結果可知，在初始感染節點數目相同的情況下，BA網絡中病毒的傳播到達穩態時的感染密度比均勻網絡(小世界網絡)中的要大。

圖2 SIS 模型中病毒的傳播趨勢

3 SIR模型的傳播特性

另外一類被廣泛研究的病毒傳播模型是SIR模型，它描述的傳播行為是，被染個體要么被治愈后獲得對該病毒的免疫能力，要么成為死亡個體從系統中移除。在單位時間內，易感染病毒的個體以β平均速率接觸所有網絡中其他狀態的體，又以平均速率δ治愈成正常或死亡狀態。

圖3 SIR模型中病毒的傳播趨勢

對于SIR模型來講，當被感染節點治愈成為健康的節點以后，相當于把此節點從整個網絡中除去，網絡節點總數由N變為 N-1。圖3中給出了SIR模型中病毒傳播的趨勢。取節點數N=1000，感染率因子為β=0.02，治愈率為δ=0.08。分別在相同平均度為10的BA網絡和小世界網絡中任選一個節點作為被感染的節點，橫坐標為傳播時間，縱坐標為感染節點數。可以看到，隨著時間的增加，最后兩種網絡感染節點數都變為0，但BA網絡被感染節點的峰值高于小世界網絡，病毒在BA網絡的流行和消亡都快于小世界網絡。

4 結束語

近年來，復雜網絡研究吸引了大批來自不同學科學者們的注意，使得復雜網絡領域獲得較快發展。同樣，作為復雜網絡理論的重要組成部分的傳播行為也引起了學者們的廣泛關注。目前國際國內對復雜網絡中病毒傳播模型的研究都集中于討論靜態網絡中的傳播行為，研究各種網絡拓撲結構和性質對病毒傳播的影響，在該領域已有許多重要發現，但是復雜網絡傳播理論還不完善，還有很多問題有待解決。

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