試論彈性碰撞的條件

程旭健

（武義二中，浙江 武義 321203）

彈性碰撞（又稱完全彈性碰撞）是中學物理和大學物理中都涉及的課題.彈性碰撞的特點是碰撞前后兩物體的總動量和總動能守恒.那么，彈性碰撞成立的前提條件是什么？

17世紀，惠更斯指出，只有在碰撞后物體不發生永久形變、不裂成碎塊、不粘在一起、不發熱以及不發生其他內部變化的情況下，動能才是守恒的.這個表述是具體的，直觀的，但不夠深入.

現在一般大學教材論述彈性碰撞的過程時，把它分為兩個階段：壓縮階段和恢復階段.兩物體碰撞壓縮時有一部分（或全部）動能轉化為彈性勢能，在恢復階段彈性勢能全部變回動能.據此，有的文獻提出了不妥當的說法.如網上百度百科這樣定義彈性碰撞：兩碰撞體的接觸區域僅發生彈性變形的碰撞表述為：“真正能反映碰撞過程的定義應當是：如果兩球碰撞過程中相互作用的內力完全是由于形變引起的彈性力（保守力），而無其他非保守內力的作用，則此碰撞稱為完全彈性碰撞.”［1］

僅發生彈性形變的碰撞就是彈性碰撞嗎？筆者認為，兩個彈性體碰撞過程中相互作用的內力完全是由于形變引起的彈性力（保守力）的前提下（沒有產生內能或塑性形變之類），這種碰撞還未必是彈性碰撞.因為碰撞過程中一般有部分動能轉化為彈性勢能，所以動能并不守恒，只能稱為機械能守恒，即動能與彈性勢能之和守恒，稱不上彈性碰撞.現分析和計算如下，不妥之處請指正.

對于最簡單的模型如兩個帶小球的彈簧碰撞見圖1，動能是守恒的，但對結構稍復雜一點的物體，碰撞結束后，物體未必恢復原狀，因而保留有一部分彈性勢能，這部分彈性勢能和動能相互轉化，也就是說，物體碰撞結束之后還會振動.圖2所示的兩個鋼球碰撞時有清脆的撞擊聲；碰撞彈開后我們試著用手抓住其中任一個鋼球，手會感到有振顫感.這些事實說明物體碰撞后有一部分動能轉化成振動的能量.

圖1

圖2

為簡單起見，我們考慮這樣一個物理模型如圖3：碰撞的兩物體是對稱的，每個物體都由兩個小球和兩根彈簧聯結起來，碰撞速度大小一樣.由于對稱性，它們的碰撞點（接觸點，稱為O點）是靜止的.在碰撞結束前它們一直接觸，這段時間內可以看作固定在O點，這樣就把一個碰撞問題轉化為彈性振動問題.為此建立坐標系如圖4，x1、x2代表兩小球偏離平衡位置的位移.建立該系統的振動微分方程（忽略小球與水平支承面之間的摩擦）.

圖3

圖4

寫成矩陣形式

即

上式中

據文獻，［2］上述方程有非零解的充分必要條件是

將具體值（4）代入，求得

設特解x1＝Asin（ω1t＋φ1），x2＝Bsin（ω1t＋φ1），代入方程（1）、（2），求得

設特解x1＝Csin（ω2t＋φ2），x2＝Dsin（ω2t＋φ2），代入方程（1）、（2），求得則設一般解為

代入（5）式，得

x1的兩個分量都是周期函數，x1開始時為0，經過一段時間，再次為0時，左邊第一根彈簧由壓縮狀態恢復原長，接下去x1變為正值，即彈簧將離開原點，意味著碰撞結束，算出此時物體的動能，與初始動能比較，就可以知道是否動能守恒.

對上述方程用天空軟件站的圖像繪制軟件《冰竹之新數學函數 參數方程》按精確到小數點后4位求得時，第2次x1＝0.此時

而初始動能是

筆者再次用上述軟件按精確到小數點后7位重新計算，得

可見以一個小球和一根彈簧聯結而成的物體在對稱碰撞后確實動能不守恒，有一小部分動能（大約4.5%，即由算出）轉化成彈性勢能.

上面的精確計算表明，一般彈性體碰撞結束后動能不守恒，有一小部分動能轉化為彈性勢能，所以不等于彈性碰撞.彈性碰撞是一種理想化的物理模型，除了要求碰撞過程中相互作用的內力完全是由于形變引起的彈性力（保守力）外，還要求碰撞物體剛度大（即變形?。?、幾何尺寸小，從而碰撞時間短，碰撞作用瞬時傳到整個物體，這樣的宏觀物體的碰撞才可近似地看作是彈性碰撞.真正的彈性碰撞，只有在分子、原子以及更小的粒子之間才會遇到.

1 李增林等.力學.南京：南京工學院出版社，1988.197—203

2 中山大學數學力學教研室.力學教程.北京：高等教育出版社，1978.277—288