分類突破電磁感應(yīng)中的“雙桿”問題

張 超

（順德區(qū)容山中學(xué)，廣東 佛山 528303）

高考電磁感應(yīng)綜合問題常常涉及到有關(guān)圖像、電路、動(dòng)力學(xué)、能量和動(dòng)量等知識(shí)點(diǎn).這類問題重在考察學(xué)生的物理綜合能力，同時(shí)對(duì)物理思維和素養(yǎng)也有著較高的要求.“雙桿”問題是高考電磁感應(yīng)綜合應(yīng)用中難度較大的一類題型，在高考中可以說是常考不衰，而這類問題又恰恰是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié).基于多年教學(xué)實(shí)踐，以下對(duì)這類問題進(jìn)行簡要的分析和總結(jié)，供大家參考.

1 除安培力外，不受其他外力的水平導(dǎo)軌問題

1.1 導(dǎo)軌間距相等

例1.如圖1所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導(dǎo)軌，在導(dǎo)軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為m的勻質(zhì)金屬桿A1和A2，開始時(shí)兩根金屬桿位于同一豎起面內(nèi)且桿與軌道垂直.設(shè)兩導(dǎo)軌面相距為H，導(dǎo)軌寬為L，導(dǎo)軌足夠長且電阻不計(jì)，金屬桿單位長度的電阻為r.現(xiàn)有一質(zhì)量為m／2的不帶電小球以水平向右的速度v0撞擊桿A1的中點(diǎn)，撞擊后小球反彈落到下層面上的C點(diǎn).C點(diǎn)與桿A2初始位置相距為s.求：（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值；（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生了多少熱量；（3）當(dāng)桿A2與桿A1的速度比為1∶3時(shí)，A2受到的安培力大小.

解析：（1）小球和桿A1組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得

圖1

由（1）～（3）式解得

回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值

回路中感應(yīng)電流的最大值

由（4）～（6）式解得

（2）對(duì)兩棒組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得

由能量守恒定律，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生熱量為

（3）由動(dòng)量守恒定律得mv1＝mv1′＋mv2′，又

A2受到的安培力大小為

點(diǎn)評(píng)：本題是廣東高考題，具有典型代表意義.此類問題一般涉及動(dòng)量守恒定律，能量守恒定律及電磁學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)知識(shí)，其最終狀態(tài)是兩桿以相同的速度做勻速運(yùn)動(dòng).若兩桿運(yùn)動(dòng)方向同向則總電動(dòng)勢(shì)為兩桿的電動(dòng)勢(shì)相減，反向則相加.

1.2 導(dǎo)軌間距不等

例2.如圖2，足夠長的光滑平行導(dǎo)軌水平放置，電阻不計(jì)，MN 部分的寬度為2L，PQ部分的寬度為L，金屬棒a和b的質(zhì)量ma＝2 mb＝2 m，其電阻大小Ra＝2Rb＝2R，a和b分別在MN和PQ上，垂直導(dǎo)軌相距足夠遠(yuǎn)，整個(gè)裝置出于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.開始a棒向右速度為v0，b棒靜止，兩棒運(yùn)動(dòng)時(shí)始終保持平行且a總在MN 上運(yùn)動(dòng)，b總在PQ上運(yùn)動(dòng)，求a、b最終的速度.

圖2

解析：由于兩棒切割長度不同，安培力大小不相等，故系統(tǒng)合外力不為0，系統(tǒng)金屬棒a和b動(dòng)量不守恒，兩棒最終運(yùn)動(dòng)速度并不相等.金屬棒a和b運(yùn)動(dòng)方向相同，E總＝Ea－Eb＝2BLva－BLvb，通過動(dòng)力學(xué)分析，兩棒加速度逐漸減小.當(dāng)E總＝0，即2BLva＝BLvb時(shí)，兩棒加速度為0，將分別做勻速運(yùn)動(dòng).則

分別對(duì)金屬棒a和b應(yīng)用動(dòng)量定理有

且

聯(lián)立（1）～（4）式求得

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于導(dǎo)軌間距不相等的問題，往往不滿足動(dòng)量守恒定律的條件的，因此其最后的速度也不會(huì)相同，兩導(dǎo)體棒最終以不同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，故不能定式思維入誤區(qū).針對(duì)此類題目要使用動(dòng)量定理、電磁學(xué)、動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)求解，也要注意電路總電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算方法.

2 除安培力外，單桿受其他恒定外力的水平導(dǎo)軌問題

例3.如圖3所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計(jì).導(dǎo)軌間的距離L＝0.2m，兩根質(zhì)量均為m＝0.1 kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng)，滑動(dòng)過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R＝0.5Ω.在t＝0時(shí)刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行，大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動(dòng).經(jīng)過t＝0.5s，金屬桿甲的加速度為a＝1.37m／s2，求此時(shí)兩金屬桿的速度各為多少？

解析：任一時(shí)刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經(jīng)過很短時(shí)間Δt，桿甲移動(dòng)距離v1Δt，桿乙移動(dòng)距離v2Δt.回路面積改變?yōu)?/p>

由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

圖3

回路中的電流為

桿甲的運(yùn)動(dòng)方程為

由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等、方向相反，所以兩桿的動(dòng)量（t＝0時(shí)為0）等于外力F的沖量

由（1）～（5）式可求出

代入數(shù)據(jù)得v1＝8.15m／s，v2＝1.85m／s.

點(diǎn)評(píng)：這類問題應(yīng)使用動(dòng)量定理、電磁學(xué)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析.該題便是利用法拉第電磁感應(yīng)定律、牛頓第二定律和動(dòng)量定理聯(lián)立求解，這類問題如涉及到最終狀態(tài)，那么不難分析得出，兩導(dǎo)體棒最終會(huì)以不同的速度做加速度相同的勻加速運(yùn)動(dòng).

3 豎直導(dǎo)軌問題

圖4

例4.（2011年海南高考題）如圖4所示，ab和cd是兩條豎直放置的長直光滑金屬導(dǎo)軌，MN和M′N′是兩根用細(xì)線連接的金屬桿，其質(zhì)量分別為m和2 m.豎直向上的外力F作用在桿MN 上，使兩桿水平靜止，并剛好與導(dǎo)軌接觸；兩桿的總電阻為R，導(dǎo)軌間距為l.整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌所在平面垂直.導(dǎo)軌電阻可忽略，重力加速度為g.在t＝0時(shí)刻將細(xì)線燒斷，保持F不變，金屬桿和導(dǎo)軌始終接觸良好.求

（1）細(xì)線燒斷后，任意時(shí)刻兩桿運(yùn)動(dòng)的速度之比；

（2）兩桿分別達(dá)到的最大速度.

解析：設(shè)某時(shí)刻MN和M′N′速度分別為v1、v2.

（1）對(duì)于MN 和M′N′系統(tǒng)合外力為0，MN 和M′N′動(dòng)量守恒，有mv1－2 mv2＝0，則

（2）當(dāng)MN 和M′N′的加速度為0時(shí)，速度最大.M′N′受力平衡，有

根據(jù)閉合電路歐姆定律，有

電路的電動(dòng)勢(shì)為

由（1）～（4）式得

點(diǎn)評(píng)：作為2011年海南高考題，此題目是構(gòu)思巧妙的豎直軌道“雙桿“問題.題目基于系統(tǒng)合外力為0，考察考生對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量守恒條件的理解和掌握，利用動(dòng)力學(xué)分析雙桿的末狀態(tài)，同時(shí)還要特別注意，由于兩桿運(yùn)動(dòng)方向相反，故電路的總電動(dòng)勢(shì)等于兩桿電動(dòng)勢(shì)之和.

1 袁培耀.高考中的框架模型與“電磁感應(yīng)”知識(shí).物理教學(xué)探討，2006（10）.