例談微分方程在實際問題中的簡單應用

辛春元

（遼寧對外經貿學院，遼寧大連116052）

例談微分方程在實際問題中的簡單應用

辛春元

（遼寧對外經貿學院，遼寧大連116052）

微分方程在物理學、力學、經濟學和管理科學等實際問題中具有廣泛的應用，本文主要例談微分方程在實際問題中的簡單應用.

微分方程；實際問題；應用

微積分研究的對象是函數關系，但在實際問題中，往往很難直接得到所研究的變量之間的函數關系，卻比較容易建立起這些變量與它們的導數或微分之間的聯系，從而得到一個關于未知函數的導數或微分的方程，即微分方程.通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知量之間的函數關系.因此，微分方程是數學聯系實際，并應用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學科進行科學研究的強有力的.下面舉幾個實際例子.

1 追跡問題

例1設開始時甲、乙水平距離為1單位,從A點沿垂直于OA的直線以等速v0向正北行走;甲從乙的左側O點出發,始終對準乙以mv0(n>1)的速度追趕.求追跡曲線方程,并問乙行多遠時,被甲追到.

解設所求追跡曲線方程為y=y(x)經過時刻t,甲在追跡曲線上的點為P(x,y)乙在點B(1,v0t).于是有

由題設,曲線的弧長OP為

解出v0t代入(1),得

兩邊對x求導,整理得

這就是追跡問題的數學模型.

這是一個不顯含y的可降階的方程,設y'=p(x),y"=p",代入方程得

兩邊積分,得

(2)與(3)式相加,得

兩邊積分,得

2 新產品推廣模型

例2設有某種新產品要推向市場,t時刻的銷量為x(t),由于產品性能良好,每個產品都是一個宣傳品,因此,t時刻產品銷售的增長率與x(t)成正比,同時,考慮到產品銷售存在一定的市場容量N,統計表明與尚未購買該產品的潛在顧客的數量N-x(t)也成正比,于是有

其中k為比例系數.分離變量積分,可以解得

當x(t*)

國內外許多經濟學家調查表明，許多產品的銷售曲線與公式(5)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近.根據對曲線性狀的分析,許多分析家認為,在新產品推出的初期,應采用小批量生產并加強廣告宣傳,而在產品用戶達到20%到80%期間,產品應大批量生產;在產品用戶超過80%時,應適時轉產,可以達到最大的經濟效益.

3 價格調整模型

例3某種商品的價格變化主要服從市場供求關系.一般情況下,商品供給量S是價格P的單調遞增函數,商品需求量Q是價格P的單調遞減函數,為簡單起見,分別設該商品的供給函數與需求函數分別為

其中a,b,α,β均為常數,且b>0,β>0.

當供給量與需求量相等時,由(7)可得供求平衡時的價格

并稱Pe為均衡價格.

一般地說,當某種商品供不應求,即SQ時,該商品價格要落.因此,假設t時刻的價格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比,于是有方程

其中k>0,用來反映價格的調整速度.

將(6)代入方程,可得

其中常數λ=(b+β)k>0,方程(7)的通解為

假設初始價格P(0)=P0代入上式,得C=P0-Pe,于是上述價格調整模型的解為

由于λ>0知,t→+∞時,P(t)→Pe,說明隨著時間不斷推延,實際價格P(t)將逐漸趨近均衡價格Pe.

4 人才分配模型

例4每年大學畢業生中都要有一定比例的人員留在學校充實教師隊伍,其余人員將分配到國民經濟其他部門從事經濟和管理工作.設t年教師人數為x1(t)科學技術和管理人員數目為x2(t),又設1外教員每年平均培養α個畢業生,每年人教育、科技和經濟管理崗位退休、死亡或調出人員的比率為δ(0<δ<1),β表示每年大學生畢業生中從事教師職業所占比率(0<δ<1),于是有方程

方程(8)有通解

將(11)代入(9)方程變為

求解方程(12)得通解

(11)式和(14)式分別表示在初始人數分別為x1(0),x2(0)情況,對應于β的取值,在t年教師隊伍的人數和科技經濟管理人員人數.從結果看出,如果取β=1,即畢業生全部留在教育界,則當t→∞時,由于α>δ必有x1(t)→+∞而x2(t)→0,說明教師隊伍將迅速增加.而科技和經濟管理隊伍不斷萎縮,勢必要影響經濟發展,反過來也會影響教育的發展.如果將β接近于零.則x1(t)→0,同時也導致x2(t)→0,說明如果不保證適當比例的畢業生充實教師選擇好比率β,將關系到兩支隊伍的建設,以及整個國民經濟建設的大局.

5 幾何問題模型

例5在上平面求一條上凹的曲線，其上任意一點p(x, y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數（Q是法線與x軸的交點），且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行.

解設所求曲線的方程為y=y(x)(y>0)，其在任意一點p (x,y)處的法線方程為，它與x軸的交點是Q (x+yy',0)，從而線段PQ長度為

由于y">0，得方程yy"=1+y'2，且滿足初始條件：y(1)=1,y' (1)=0.這是不顯含x的可降階方程，令p=y',有y"，代入方程得,分離變量得,兩邊積分的,即,代入初始條件y(1)=1,y'(1)=0,得C1=1,因此有,即，兩邊積分得)=±x+C,代入y(1)=1得C=μ1，所求曲線方程為

總之，微分方程是與微積分一同發展起來的重要的數學分支，它為解決實際問題提供了一種既實用又很重要的方法,同時推動了其他學科的發展.

〔1〕吳贛昌.微積分[M].北京:中國人民大學出版社，2006.

〔2〕曹顯兵,劉喜波.高等數學（微積分）輔導講義[M].北京:海豚出版社，2012.

O175

A

1673-260X（2013）11-0001-02