線性代數(shù)教學中兩個問題的幾何解釋

李麗

（安徽財經(jīng)大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽蚌埠233030）

線性代數(shù)教學中兩個問題的幾何解釋

李麗

（安徽財經(jīng)大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽蚌埠233030）

解析幾何除自身的知識體系之外，還為微積分，線性代數(shù)等多門課程中許多抽象的問題提供了形象的幾何解釋.本文就兩個具體的線性代數(shù)問題，進一步說明在線性代數(shù)教學中滲透幾何直觀的必要性.

解析幾何;線性代數(shù);線性相關;施密特正交化

微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，是高等院校大部分專業(yè)必修的公共基礎課.線性代數(shù)是研究線性空間及其上的線性變換的學科.它廣泛應用于微分方程、概率統(tǒng)計、離散數(shù)學、現(xiàn)代控制理論等數(shù)學分支，它的知識已經(jīng)滲透到自然科學的其它學科、工程技術、經(jīng)濟與社會科學領域.由于該課程具有高度的抽象性和邏輯性，學生在學習該課程時往往很難深刻理解線性代數(shù)中抽象的概念和結論，這是由于在實際教學中，教師往往重理論而輕實踐，剝離了概念、原理和范例的幾何背景與現(xiàn)實意義，導致教學內(nèi)容過于抽象，較難理解，也不利于與其它課程及學生自身專業(yè)的銜接，進而造成了學生學不會，用不了的尷尬局面.

實際上線性代數(shù)與幾何緊密相關，線性代數(shù)中許多問題都有形象的幾何解釋，在線性代數(shù)教學中有效的融合幾何背景，可以幫助學生更好的理解線性代數(shù)中較為抽象的問題.

在許多教材和文獻中我們都可以看到一些線性代數(shù)問題的幾何解釋.如行列式是大部分線性代數(shù)教材中首先介紹的，如果只是機械的介紹二、三階行列式乃至n階行列式計算，學生在學習中往往會問為什么行列式要這樣定義，對于他們理解和應用行列式都是非常不利的.此時我們可以借助平面兩個向量的有向面積，空間三個向量的有向體積，以及n維平行多面體的有向體積來理解行列式的定義，這樣不僅可以幫助他們理解行列式的由來，還可以激發(fā)學習線性代數(shù)的興趣；再比如線性代數(shù)中n維向量空間中基本上所有的內(nèi)容：向量的內(nèi)積、模長、夾角，向量空間的基，維數(shù)，向量的坐標等都可以從三維歐式空間中找到幾何直觀.下面根據(jù)自身的教學經(jīng)驗，就線性代數(shù)中兩個學生在學習時普遍反映比較抽象的問題詳細的給予幾何解釋，進一步說明線性代數(shù)教學中滲透幾何解釋的重要性.

1 線性相關與線性無關

線性代數(shù)中線性相關與線性無關的定義如下：

定義給定向量組A：α1，α2，…,αs，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使

則稱向量組A線性相關,否則稱為線性無關，即當且僅當k1=k2=…=ks=0時，(1)式成立,向量組α1，α2，…,αs線性無關.

線性相關、線性無關的定義給出之后，接著又給出了若干判斷線性相關的定理與推理，如：當向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時,此向量組必線性相關.

學生每次學到這里就開始混亂，一方面是因為結論較多，難以一下子就記下來，另一方面是對概念的理解不夠透徹.如果結合幾何背景來理解定義和判定定理就可以達到事半功倍的效果.在解析幾何中，也有線性相關和線性無關的定義，并有著形象的幾何解釋.

兩個向量線性相關的幾何意義是這兩個向量共線；三個向量線性相關的幾何意義是這三個向量共面，可以用來理解線性相關這個抽象的定義.三維歐式空間中任何四個或四個以上向量總是線性相關的，可以用來理解向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，此向量組必線性相關.

2 施密特正交化

當向量空間中的基取做標準正交基時，可以通過向量的內(nèi)積運算快速求出某個向量在此基下的坐標，因此在給出向量空間的基時常常取標準正交基.在實對稱矩陣的對角化問題上，我們需要求正交矩陣使得實對稱矩陣對角化.這兩方面的問題都需要對向量組正交化，而用到的方法即為施密特正交化，具體過程如下：

設α1，…,αr是向量空間V的一個基,

在此處的教學中，對學生的要求是記憶并應用公式，但學生不理解這個公式是怎么來的，此時可以以三個向量為例，利用幾何背景來形象的理解此公式：（2）—（5）式是解析幾何中將仿射標架變?yōu)橹苯菢思艿倪^程：

線性代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系遠遠不止于此，解析幾何除了可以為線性代數(shù)中抽象問題提供幾何直觀外，線性代數(shù)也為解析幾何提供了代數(shù)工具，兩者相互滲透，因此教學中充分重視兩者的結合教學是非常必要的.

〔1〕呂林根，許子道．解析幾何[M].北京：高等教育出版社,2001.

〔2〕吳贛昌．線性代數(shù)[M].北京：中國人民大學出版社,1999.

〔3〕建華，蔡傳仁．幾何直觀在線性代數(shù)教學中的應用[J]．工科數(shù)學，2002，(18)1：87—90.

〔4〕許定亮．在線性代數(shù)教學中融入幾何解釋[J]．常州工學院學報，2006，(19)2：72—75.

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1673-260X（2013）11-0003-02