數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“六個反思”的實踐與思考——《計數(shù)原理I——乘法原理》的教學(xué)案例及點評

☉上 海 市 大 同 中 學(xué) 張亞東 李 幸

☉上海外國語附屬大境中學(xué) 李 紅

如何提高課堂教學(xué)有效性是個比較熱門的話題.近年來筆者聽了不少數(shù)學(xué)課，感受最深的是很多年輕老師把數(shù)學(xué)課上成了“電視講座”課，缺少師生互動和學(xué)生的交流體驗過程，被P P T課件牽著鼻子走，大容量、快節(jié)奏、填鴨式的應(yīng)試教學(xué)模式大量充斥著課堂，在某種程度上違背了“以學(xué)定教”的教學(xué)原則.針對這一現(xiàn)狀，我們制定了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“六個反思”，并用它來規(guī)范自己的教學(xué)行為.經(jīng)過多年來的教學(xué)實踐，我校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)面貌煥然一新，形成了自己的課堂教學(xué)特色，大幅度提高了課堂教學(xué)效率.本文結(jié)合上海市二期課改新教材《計數(shù)原理I——乘法原理》一節(jié)課的設(shè)計與課堂教學(xué)，談?wù)勎覀兊慕虒W(xué)實踐與反思，希望對同行們有所啟迪.

【附】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“六個反思”一覽表

1 預(yù)設(shè)的問題是否引起學(xué)生的回應(yīng)與思考？2 有沒有留給學(xué)生思考問題的時間與空間？3 學(xué)生能講、可以講的，教師講了或多講了嗎？4 有沒有對學(xué)生學(xué)習(xí)行為進(jìn)行科學(xué)的評價？5 有沒有對學(xué)生的發(fā)言引起足夠的重視，是順著學(xué)生的思路，還是按照自己的思路？6 有沒有發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的問題或使學(xué)生生成新問題，激勵學(xué)生進(jìn)一步研究和思考？

師：同學(xué)們，很久以前原始人就會利用結(jié)繩來計數(shù)，我國早在宋代就出現(xiàn)了算盤.計數(shù)問題在我們學(xué)習(xí)生活中隨處可見，比如圖1中包含五角星的矩形有多少個的問題.計數(shù)問題是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)排列、組合、概率學(xué)、統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ).

圖1

點評：這節(jié)課是排列組合這一章的開篇課.簡短的幾句話，幾幅漂亮的圖片，把學(xué)生帶進(jìn)一個嶄新的數(shù)學(xué)世界，激起學(xué)生的求知欲望——到底如何計數(shù)？排列組合是個什么東西？概率學(xué)、統(tǒng)計學(xué)到底學(xué)什么？上海市二期課改新教材在每一章的開章篇都有類似的文字，這是新教材的一大特色.

師：到底如何計數(shù)？它遵循哪些原理？今天我們就來探究計數(shù)原理之一——乘法原理，它在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.同學(xué)們還記得上周我們?nèi)诩贾行?，你們思考過這樣的問題嗎？

問題1：如圖2，從學(xué)校經(jīng)公交換乘前往勞技中心有幾條不同的行走路線？

圖2

點評：數(shù)學(xué)就在身邊，看你有沒有發(fā)現(xiàn)的能力，正如牛頓看到蘋果掉下來發(fā)現(xiàn)了萬有引力一樣.問題背景非常貼近學(xué)生的生活，同學(xué)們議論紛紛，預(yù)設(shè)的問題引起了學(xué)生的熱烈回應(yīng)和思考.

生1：應(yīng)該是6條不同的行走路線.

師：怎么來的呢？

生 1：我是一一數(shù)出來的：a-e，a-f；b-e，b-f；c-e，c-f.

師：很好！分類列舉也是解決計數(shù)問題的基本方法之一，如果數(shù)據(jù)太大，情況復(fù)雜就有點麻煩了.

生2：從學(xué)校到勞技中心可分成兩個步驟：第一步從學(xué)校到公交換乘有3種走法，第二步從公交換乘到勞技中心有2種走法，所以共有3×2=6種不同的走法.

師：非常棒！如果勞技中心有東西兩個大門，那么我們從學(xué)校出發(fā)，經(jīng)公交換乘再進(jìn)入勞技中心，共有多少種不同的走法呢？

生3：應(yīng)該是 3×2×2=12種（如圖3）.

圖3

師：有道理，完成這件事需要三步驟……

點評：乘法原理是人們在大量實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出的基本計數(shù)原理.本題設(shè)計的目的是讓學(xué)生從簡單的問題中體驗感悟出乘法原理.這里通過師生互動，教師追問和啟發(fā)，讓學(xué)生體驗和感悟乘法原理的存在.

師：能不能舉一些生活中類似的實例？（學(xué)生活動討論交流）

生4：早上穿衣服（同學(xué)竊笑），上裝有4件，褲子有3條，襪子有2雙，共有4×3×2=24種不同的搭配方案.

生5：中午食堂吃飯，冷菜有3種選擇，熱炒有5種選擇，飲料有2種選擇，那么共有3×5×2=30種不同的選擇.

生6：祖父的遺傳基因分為顯性和隱性……

點評：一石激起千層浪.這一精彩的設(shè)計思路實際上源于我們的反思2和反思3：要留給學(xué)生充分的思考問題的時間和空間；學(xué)生能講的、可以講的教師不要代替，當(dāng)然我們的設(shè)計要讓學(xué)生有東西好講，有感而發(fā)，在彼此的思維碰撞中產(chǎn)生靈感，感悟乘法原理的發(fā)現(xiàn)過程.

師：看似簡單的道理，卻蘊藏著深刻的計數(shù)原理，誰來概括一下？

生7：完成一件事，需要分成n個步驟，第一步有a種不同的方法；第二步有b種不同的方法……

師：那最多就只有26步了（學(xué)生會意地笑）.

生7：第一步有a1種不同的方法，第二步有a2種不同的方法，…，第n步有an種不同的方法.那么完成這件事共有N=a1×a2×…×an種不同的方法.

教師板書：

則完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法

點評：過去我們的做法往往是用PPT直接打出乘法原理，然后讓學(xué)生跟著讀一遍，接著就是大量的訓(xùn)練來熟悉原理.這里教者放手讓學(xué)生從大量生活中的實例中抽象概括出乘法原理，讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)的樂趣.學(xué)生在表達(dá)過程中可能遇到很多困難，老師順著學(xué)生的思路，重視學(xué)生的發(fā)言，當(dāng)他遇到困難的時候，經(jīng)過教師的啟發(fā)，其他學(xué)生幫忙，在糾錯過程中體會原理表述的艱辛，這正是我們的反思5對老師的要求.

師：完成下列事件的方法總數(shù)都是3×2=6種嗎？（打出PPT如圖4）

圖4

同學(xué)們議論紛紛，爭論不休……

生8：它們都違背了乘法原理的分步原則，不符合乘法原理的前提條件，都只有3種不同的方法.

點評：這一設(shè)計匠心獨到！一個數(shù)學(xué)概念的理解并不像我們所想象的那樣一蹴而就，它有一個螺旋式上升的過程.只有在概念的辨析過程中學(xué)生才能真正體會到乘法原理的精髓和本質(zhì)，糾正錯誤理解的同時預(yù)防機械性的模仿，同時這里還蘊藏著將要學(xué)到的加法原理.

師：我們來到了勞技中心的手機組裝車間，遇到了新的問題：為統(tǒng)一的機芯設(shè)計了2種不同外形同時又有3種不同顏色，還有8G、16G、32G、64G四種不同內(nèi)存手機配件，該中心共可組裝出多少種不同款式的手機？

生 10：2×3×4=24 種.

師：請你對照原理，完成一件什么事，分成幾步完成，每步又分別有幾種方法？

生11：完成組裝手機這件事，分三個步驟，第一步選外形有2種，第二步選顏色有3種，第三步選內(nèi)存有4種，所以共有2×3×4=24種不同款式的手機.

師：我們又來到手機的測試中心，遇到了第二個問題：手機程序模塊中（如圖5），一條執(zhí)行路徑就是一條遵循箭頭方向、從開始到結(jié)束的路徑.要測試該程序模塊的所有執(zhí)行路徑，共要測試多少次？

圖5

生 12：3×7=21.

師：為何不是3+7=10呢？

生13：因為要完成從開始到結(jié)束的路徑的測試必須經(jīng)過兩個步驟：第一步有3條，第二步有7條，而每一條路徑都只是從開始到結(jié)束的一個部分，并不能獨立完成這件事，所以根據(jù)乘法原理得出共21條不同的測試路徑.

點評：教者巧妙利用到勞技中心參加手機研發(fā)這一學(xué)生非常熟悉的背景故事，把幾個問題有機地串聯(lián)起來，娓娓道來，設(shè)計思路實際上源于我們的反思1，讓學(xué)生真正體會到身邊處處是數(shù)學(xué).這個問題的設(shè)計層層深入，抽象層次逐步提升，讓學(xué)生體驗到靈活運用原理的全部過程.

師：我們在使用手機的時候又遇到設(shè)計密碼的問題：由0，1，2，…，9十個數(shù)字共可設(shè)計多少個不同的三位密碼？

生14：確定三位密碼可分三步，第一步確定百位上的數(shù)字有10種選擇，第二步確定十位上的數(shù)字也有10種選擇，第三步確定個位上的數(shù)字還是10種選擇，所以共可設(shè)置10×10×10=1000種不同的三位密碼.

師：如果數(shù)字不允許重復(fù)呢？生 15：共有 10×9×8=720 種.師：如果某人設(shè)置的密碼為720的正約數(shù)，請問這樣的密碼共有多少個呢？

點評：這是課本上的例題，有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生陷入了沉思之中，遇到兩個困惑：一是不熟悉什么是正約數(shù)，這是初中學(xué)過的概念，二是確定正約數(shù)不知如何分步，這時就離不開我們老師的正確引導(dǎo)了.

師：同學(xué)們，720數(shù)據(jù)太大，它的正約數(shù)也太多，遇到這種問題我們一般怎么辦？

生16：退到簡單情況摸索規(guī)律.

師：很好，不妨我們先來看看12有幾個正約數(shù).

生 17：12 的正約數(shù)有 1，2，3，4，6，12.

生18：先將12質(zhì)因數(shù)分解成2·2·3=22·3，而 1=20·30，2=21·30，3=20·31，4=22·30，6=21·31，12=22·3；要確定 12 的正約數(shù)，可以分兩步，第一步確定因數(shù)2的個數(shù)有0，1，2三種可能，第二步確定因數(shù)3的個數(shù)有0和1兩種可能，所以12的正約數(shù)共有3×2=6個.

師：非常好！這一規(guī)律可以推廣到720嗎？

生 19：可以，將 720 質(zhì)因數(shù)分解成 24·32·5，同理可得720 的正約數(shù)有（4+1）×（2+1）×（1+1）=30 個.

生20：還可以推廣到更一般的結(jié)論：如果一個正整數(shù)m可分解成··…·，其中p1、p2、…、pn均為互不相等的素數(shù)，a1、a2、…、an為正整數(shù)，那么m的不同正約數(shù)有（1+a1）（1+a2）…（1+an）個.

師：你真聰明！回顧剛才我們解決問題的歷程，對你有何啟發(fā)？

生21：遇到難題先充分地退，退到最簡單的情形，通過摸索規(guī)律，再推廣到一般.

師：非常了不起的想法，這一數(shù)學(xué)思想方法很重要，它常常是我們開啟難題的金鑰匙.

點評：對學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行科學(xué)的評價能夠起到激勵作用.這里教師正是利用科學(xué)的評價，并激勵他們一步一步地把問題進(jìn)行深化.教師及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到的問題，促成學(xué)生生成新的問題，在解決問題時體會到乘法原理發(fā)現(xiàn)過程中運用到的從一般到特殊，再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法的精要，實在是難能可貴.

師：誰來給今天這堂課進(jìn)行小結(jié)？

生22：今天我們學(xué)習(xí)了乘法原理，完成一件事需要分成若干個步驟，然后確定每個步驟的方法數(shù)，最后將它們乘起來，就得到完成這件事的總的方法數(shù).

師：很好，從處理問題的方法角度對你有何啟發(fā)呢？

生23：從身邊具體事例出發(fā)，通過抽象概括提煉出乘法原理，再利用原理去處理各種實際問題，學(xué)到了從特殊到一般，再從一般到特殊的處理問題的方法.

師：你覺得運用乘法原理最難的是什么呢？

生24：是確定步驟，有時候步驟不是很明顯，需要我們?nèi)?gòu)造和發(fā)現(xiàn).

生25：老師，我很想知道開頭提出的一個計數(shù)問題：圖中含有五角星的矩形有多少個？初中競賽的時候我們都是數(shù)出來的，不數(shù)能算出來嗎？

生26（非常得意的）：這還不簡單，要確定一個含五角星的矩形需要四步：確定矩形左面一邊有4種選擇，右面一邊有3種，上面一邊有2種，下面一邊有2種，所以共有 4×3×2×2=48 個.

全班同學(xué)報以熱烈的掌聲，成功的喜悅溢于言表.

點評：執(zhí)教老師通過啟發(fā)學(xué)生從知識和能力兩個方面對這堂課進(jìn)行小結(jié)，起到提綱挈領(lǐng)、畫龍點睛之效.讓學(xué)生知道40分鐘到底學(xué)到了哪些知識，領(lǐng)悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)得清清楚楚、明明白白是非常重要的.這一點往往被我們年輕老師所忽視.

【感悟反思】

乘法原理是人們在大量實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出的基本計數(shù)原理之一.同時乘法原理又是學(xué)習(xí)排列組合的理論基礎(chǔ).乘法原理體現(xiàn)的有序思考方法，是把一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對每個步驟進(jìn)行細(xì)致分析、再整合，最終達(dá)到解決問題的目的.

教者通過帶領(lǐng)學(xué)生去勞技中心組裝手機這個熟知的背景故事，將幾個典型的例子巧妙地串聯(lián)起來，以歸納、概括、理解、應(yīng)用原理為明線，以特殊到一般，又從一般到特殊這一數(shù)學(xué)思想方法為暗線，通過對特殊事例的歸納、推理，凸顯乘法原理發(fā)現(xiàn)的過程，在知識的發(fā)生發(fā)展過程中培養(yǎng)學(xué)生的有序思維和歸納概括能力；教師通過精心設(shè)計，遵循由簡單到復(fù)雜，由“有步”到“無步”的循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)探究的苦與樂，分享發(fā)現(xiàn)新知和解決問題的樂趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的問題或使學(xué)生生成新問題，激勵學(xué)生進(jìn)一步研究和思考.

特別值得一提的是教師在教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實施過程中，自覺不自覺地利用“六個反思”規(guī)范教學(xué)行為.通過巧妙地設(shè)計問題背景，放低門檻，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中來，體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情.同時留給學(xué)生足夠的思考問題的時間和空間，一改教師一言堂的教學(xué)模式.通過組織學(xué)生討論，在交流過程中進(jìn)行思維的碰撞，在不斷糾錯過程中加深對數(shù)學(xué)知識和概念的理解和升華，從而鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力、團隊協(xié)作以及發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理抽象概括真理的能力，讓學(xué)生真正參與到教學(xué)活動中來.在課堂教學(xué)過程中教師跟隨學(xué)生的思維，通過對學(xué)生發(fā)言的科學(xué)評價，激發(fā)學(xué)生參與課堂討論的熱情，促成學(xué)生生成新的數(shù)學(xué)問題，從課內(nèi)探討延伸到課外研究，一改以課件PPT內(nèi)容為主導(dǎo)的課堂教學(xué)模式，真正體現(xiàn)了“以生為本”的二期課改新理念，大大提高了課堂教學(xué)效率，切實減輕學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)和學(xué)習(xí)壓力.

可見，利用“六個反思”來規(guī)范我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，使全體老師體會到在課堂教學(xué)過程中調(diào)動學(xué)生積極性，激發(fā)學(xué)生參與教學(xué)全過程，在數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程中提出問題、遇到困難、解決問題、最后獲得成功喜悅，再發(fā)生新問題的循環(huán)過程中體悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，真正把“以學(xué)定教”的課改新理念融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)，從根本上改變我們的課堂教學(xué)面貌，給數(shù)學(xué)課堂增添綠色.■