問渠哪得清如許 為有源頭活水來——例析“活用”、“巧用”基本不等式解題之“定值”條件的獲取

☉重慶市梁平實驗中學 蔣明建

用基本不等式求函數的最值以及證明不等式是高中數學非常重要的內容，也是高考熱點，在歷年各地的高考試題中頻頻出現直接或中間過程運用基本不等式求解的題目，可謂常考不衰、?？汲Ｐ?玄機何在？我們知道，應用基本不等式必須同時具備“一正（各項值為正）、二定（各項的和或積為定值）、三相等（取“等號”的條件）”這三個條件，缺一不可.在具體的題目中“正數”條件往往容易從題設中獲得，“相等”條件也容易驗證確定，而“定值”條件涉及各種數學式子的“和”、“積”，既是式子的表現形式又是運算形式，可靜可動靈活多變，不拘一格，因此，“定值”條件往往以某種形式隱蔽在所給數學式子中（通常是命題者設計的一個難點），要獲得此條件需要對所給的解析式進行適當的變形，具有很強的靈活性和技巧性.可見，有效實現基本不等式“和定”“積定”條件，就找到了“活用”、“巧用”基本不等式解題的源頭.怎樣才能有效獲得“和定”“積定”這一重要條件呢？通常統稱為“配湊”、“構造”，筆者在此通過對一些典型題目的解析，將本人在教學中應用基本不等式解題時獲取“定值”的一些常用、細化方法作一個歸納、梳理，望能對讀者有一定借鑒作用.

一、加項、減項變形

二、乘、除變形

（1）求C的方程；

（2）點P為C上的動點，l為C在點P處的切線，求O點到l的距離.

評注：這兩個問題都比較簡單，卻是很具有代表性的常見問題，屬于一次比二次或二次比一次的分式函數求最值問題，通常都可以采用乘除變形，使題目隱藏的“定值”條件顯現出來，從而在分母或分子中能夠用均值不等式，使問題變得易于求解.

三、平方、開方變形

四、代換變形

1.常值代換

例5 （2010年湖北武漢調研）過定點P（2，1）的直線l交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，則△OAB周長的最小值為（ ）.

A.8 B.10

圖1

評注：這是一道難題，想到用分母之和“t+（1-t）=1”進行常值“1”代換，構成“積定”條件，從而用基本不等式求解，好比用“四兩砣撥動了千斤鼎”，化難為易，化繁為簡，大大簡化了解題過程.“1”代換解決有些數學問題很巧妙，望注意適時應用，能用時切不可棄之不用.

2.變量代換

3.整體代換

例 7 已知x、y、z均為正數，xyz（x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值.

評注：能觀察出用這種整體代換變形，實現均值不等式的“積定”條件，十分巧妙.代換法是數學中應用最廣泛的一種方法，在解題中若能熟練靈活地應用，將大大簡化解題過程，收到事半功倍的效果.

五、代入（消元）變形

六、分解與組合變形

評注：這類題考查了較強變形式子的能力，打破了題目中式子原有結構，或分解或重新優化組合，構成基本不等式“和定”、“積定”特征形式，然后利用基本不等式，體現了“不破不立”的思想，在高考題中頻頻出現，如2010年重慶高考題（理 7）“已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值”便屬于這一類題，值得重視.

“分久必合，合久必分”，分解與組合是相對的，它們相互聯系又互相轉化，這是客觀事物發展中的必然規律，把這一規律運用到數學解題中就是分解與組合的思想，望認真體會切實掌握.

七、重復使用基本不等式

評注：求解最值問題時，有時需要同時或者連續多次使用基本不等式，這時一定要注意使用條件必須一致，即每次取得“=”的條件要一致，否則求出的結果是錯誤的.重復使用基本不等式求解的高考題出現的頻率相當高（見 2011 年湖南，2009、2007、2005 年重慶，2008 年江蘇等地的高考題），望能足夠重視.

八、待定系數法變形

評注：分析題目結構，根據題目中的數“21”與“28”的關系，將問題合理轉化是解決本問題的切入點，運用待定系數法確定需要“配湊”的系數是解決本問題的一把利器.

以上各題目從所給出的式子形式來看，都不能直接應用基本不等式求解（有的可以用其他方法求解），其原因在于不完全具備基本不等式的“正”、“定”、“等”三個條件，特別是“和定”、“積定”的條件不明顯，只有通過相應的變形轉化后才可實現.由此可見，“定值”條件決定著基本不等式應用的可行性，是解題成功的關鍵（在取得最值時，還必須要各項相等，這是檢驗“定值”轉換是否正確的一種方法）.本文中共舉例介紹了常用的八種構造“定值”的變形方法，值得注意的是，在具體的解題過程中，每一個題并不是只用其中的一種方法，往往是幾種方法的綜合運用.也正因為“定值”條件得以實現的變形方法如此靈活多樣、豐富多彩，才使得基本不等式如此地充滿了生機與活力，讓人感受到數學的無窮奧妙和神奇；也正因為基本不等式的“活用”、“巧用”能給我們的思維提供廣闊的發展空間，才會讓人們學習起來充滿了樂趣和美的享受，才會使運用基本不等式求解的高考考題層出不窮、?？疾凰?、常考常新.“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，“活用”、“巧用”基本不等式解題的源頭正在于此.

1.史美初.應用平均值不等式，在“活”與“巧”上下功夫［J］.中學數學教學參考（上旬），2005（1-2）.

2.安振平.妙用二元均值不等式證明不等式［J］.中學數學教學參考（上旬），2008（9）.

3.蔣明建.善用“1”巧解數學題［J］.高中數學教與學，2010（4）.