毫米波裝甲目標輻射亮溫解及隱身材料主要參數計算

汪先平，聶建英

(福州大學數學與計算機科學學院，福建福州 350116)

在毫米波輻射探測中，由目標天線口面溫度反演目標的輻射亮溫是被動探測中的重要研究內容［1］.BFGS算法具有非常好的數值穩定性［2－3］.為更好地研究分析毫米波涂層隱身材料的輻射特征，目前主要是通過毫米波輻射計口面定標，計算定標函數，來求隱身材料的反射率和發射率.本研究采用BFGS算法來控制解的穩定性，使用線性搜索方法找出最優步長和相應的搜索方向，反演出較為穩定的毫米波目標輻射亮溫.并直接根據得到的反演解，給出計算涂層隱身材料反射率和發射率的一種簡單方法.

1 建立天線溫度模型

根據天線理論［4］，設輻射計的天線功率方向圖為G(θ，φ)，那么天線的有效接受面積為:

當帶寬Δf＜＜f2時，忽略大氣損耗及天線旁瓣的作用，可得天線從輻射體接收的總功率為:

其中:1/2是假設輻射無極化，也即輻射電磁波的極化方向是隨機的，且在不同方向上等概率分布，而天線是有極化的，因此天線僅能接受入射到其口面總功率的一半;TB(θ，φ)是天線附近所得物體的表觀溫度;k為玻爾茲曼常數.

假設用溫度TA的電阻所輻射的能量來代替天線接收機的總能量，奈奎斯特證明，若溫度為TR時，那么電阻R產生的噪聲功率W=kTRΔf;取天線輻射電阻溫度為TA=TR，則:

輻射計探測的天線掃描圖如圖1所示［1］，設天線具有錐形波束在某平面內掃描，場景為平坦的均勻表面，忽略大氣的影響;探測目標相對于天線的極大輻射方向為γ，它與天波束中心軸的剖面上的夾角為θ，于是探測目標的亮溫可認為僅與γ有關的量，可得到無損耗天線在任意指向α的歸一化天線溫度為:

圖1 天線掃描圖Fig.1 Antenna scanning

其中:F(θ)為歸一化天線功率方向圖［5］.

設輻射計天線掃描到裝甲目標的有效面積AT的角度變化范圍為［θ1，θ2］，裝甲目標亮溫為TT，則有:

式(5)是一個第一類Fredholm病態積分方程.要得到裝甲目標的輻射亮溫TT，也就要解積分方程(5)，現將此方程離散數值化.

令Iα=［θ1，θ2］，將Iα分n等分，則

對ΔTA分別在m個不同的時刻取值ΔTA1，ΔTA2，…，ΔTAm.對應的角度為α1，α2，…，αm，于是式(6)則變為

當αj=(jIα/n)(j=1，2，…，n)時，F為循環矩陣.那么式(7)可化為:

在式(8)兩邊同時左乘以FT，再令G=FTF且G為對稱陣，A=FTΔTA，B=Δb，則

可知經離散化后的式(9)還是病態的.

2 天線溫度模型分解及BFGS解析

考慮解的總誤差函數:

令Hk+1=Hk+ΔHk，其中:ΔHk、Hk分別是校正矩陣和第k次方向矩陣;δk=Δbk+1－Δbk，yk=Δek+1－Δek.采用線性搜索法:Δbk+1=Δbk+akdk，根據BFGS算法，dk=－HkΔek，由于搜索方向在不斷調整變化，即搜索方向的模不斷在變化，所以每一步的Hk是變化的.

由文獻［2］可知，

或者把式(10)寫出如下等價形式:

其中:I為單位矩陣.

令H0=I為單位矩陣，選取初始值Δb0及任意大于0且充分小的ε.具體算法過程描述如下:

Step1:k從k=0開始，如果 ▽E(Δbk)=Δek≤ε，那么反演近似解就取Δb*=Δbk，轉Step8.

Step2:計算 dk=－HkΔek.

Step4:計算 δk=Δbk+1－Δbk，yk=Δek+1－Δek.

Step5:計算▽E(Δbk+1)，若 ▽E(Δbk+1)=Δek+1≤ε成立，則Δb*=Δbk+1，轉Step8.

Step6:計算第k+1次方向矩陣Hk+1

Step7:令k=k+1，再轉Step2求ak.

Step8:end(輸出Δb*)

3 裝甲目標亮溫的BFGS反演

以樣機3 mm波段直流輻射計為例，測量時用浸泡在液氮中的“黑體”和常溫下的“黑體”作為定標源，由當時天空溫度和輻射計定標系數整理得出裝甲目標的天線溫度如表1所示.

取初始值 Δb0=(52，52，52)T，根據表1有ΔTA=(66，50，33)T，A=FTΔTA=(70.977 7，59.638 9，37.977 7)T，▽E(Δb0)=Δe0=A－GΔb0=(13.7985，－2.4844，－19.2015)T，此誤差較大.計算:

表1 目標的天線溫度Tab.1 Antenna temperature

可知，

根據算法可得:

由式(11)可知:

從而可得第二次的反演值:

上述可知，Δe1顯然比Δe0小，Δe2比Δe1更小，則可推導:多次迭代后Δek+1會越趨近于0，由ε的任意性，所以可得到較穩定的Δbk+1，當 ▽E(Δbk+1)=Δek+1≤ε成立時，則Δb*=Δbk+1.如可取Δb2=(65.696 3，49.477 7，32.882 1)T中的平均值49.352 0 K.即目標亮溫的反演解 ΔTT=49 K.因測試時天晴，取天空溫度Ts=85 K，于是可得隱身坦克的輻射亮溫為TT=134 K.

4 裝甲涂層隱身材料的主要參數與探測距離計算

任何物體，在一定溫度下都要輻射電磁波［4］，根據能量守恒定理，有:

歸一化得:

由文獻［4－6］輻射計探測距離公式:

其中:b為天線波形系數.設被天線掃描到裝甲目標的有效輻射面積AT=20 m2，天線半功率波束寬度為4.8°時取b=400，及 ΔTA=50，ΔTT=49，于是求得R=61m.

5 結語

天線溫度的積分表達式是一個病態的第一類Fredholm積分方程，為反演出盡可能真實的毫米波裝甲目標亮溫，關鍵要找到適當的方法解此積分方程.本研究嘗試利用BFGS算法反演裝甲目標輻射亮溫，根據目標亮溫計算出涂層隱身材料的反射率和發射率并給出距離公式.

［1］Holmes J T，Balanis C A，Truman W M.Application of fourier transforms for microwave radiometric inversions［J］.IEEE Trans Antennas Propagat，1975，23(6):797 －806.

［2］萬仲平，費浦生.優化理論與方法［M］.武漢:武漢大學出版社，2004:62－70.

［3］席少霖.非線性最優化方法［M］.北京:高等教育出版社，1992:112－115.

［4］李興國，李躍華.毫米波近感技術基礎［M］.北京:北京理工大學出版社，2009.

［5］陳紹勇，郎量，張剛，等.裝甲目標毫米波輻射測量的天線溫度對比度研究［J］.彈箭與制導學報，2009，29(5):297－300.

［6］刁育才，左鳳琴.毫米波技術及其軍事應用［M］.北京:兵器工業出版社，1991.