一類帶有擴散的Lotka-Volterra競爭系統的共存態

陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

1 引言

運用反應擴散方程研究種群動力學行為是目前人們關注的一個基本問題。在過去的幾十年中，人們應用數學方法研究了帶有各種邊界條件的物種相互作用的許多反應擴散系統，比如 Lotka-Volterra系統[1-6]，Leslie-Gower系統[7-8]，Sel'kov系統[9-10]以及Brusselator系統[11-12]等。在這些文獻中，作者運用不同的方法分析了相關模型的動力學行為，包括模型解的存在性、不存在性、有界性、分歧、穩定性以及漸近性等性質，并獲得了許多有價值的經典結果。

在眾多關于Lotka-Volterra模型的文獻中，反應項是二次的相對來講比較常見。本文討論下面帶有三次反應項的Lotka-Volterra競爭反應擴散系統：

其中Ω??N為帶有光滑邊界?Ω的有界開區域，u=u(x,t)，v=v(x，t)表示兩競爭物種的數量；d1，d2表示 u，v 的擴散率；a，e表示u，v的出生率；b，g表示u，v的自我調節率；c，f描述的是u，v之間的競爭關系。所有的參數都是正常數，齊次邊界條件意味著兩物種在棲息地邊界的種群密度為零。考慮到實際意義，只關心系統（1）的非負解。關于反應函數是3次項的Lotka-Volterra型競爭系統的其他研究結果可參見文獻[13-16]等。

從生物學上來講，可對系統（1）作如下解釋：函數a-bu2，fu2以及 e-gv2，cv2描述的是物種 u與 v之間以及同一物種內部不同個體間的相互作用的關系。首先，f＞b且c＞g表示兩不同物種之間的相互作用強于同一物種內部個體之間的相互作用。因此，當 f＞b且c＞g時系統（1）是一個強競爭系統。其次，當 f＜b且c＜g時表示兩不同物種之間的相互作用弱于同一物種內部的相互作用。因此，當 f＜b且c＜g時系統（1）是一個弱競爭系統。再次，當 f=b且c=g時，表示兩不同物種間的相互作用與同一物種內部的相互作用的強弱程度幾乎相同。

如果考慮u，v只與x有關的情形，那么尋求系統（1）的平衡態解就是很自然的。同時，如果這樣的解是嚴格正的，則通常被稱為共存態。本文的主要目的是討論系統（1）共存態的存在性，也就是討論下面橢圓型系統：

的古典解的存在性。

為方便起見，先給出一些已知結果。

用λ1(q)表示特征值問題

的主特征值，則 λ1(q)關于 q 遞增。記 λ1(0)= λ1，則 λ1＞ 0[3]。考慮下面的非線性邊值問題：

眾所周知[1，3]，如果 a＜λ1(q)，那么 u≡0 是式（3）的唯一非負解；反之，如果a＞λ1(q)，那么式（3）存在唯一正解。

2 共存態的存在性

利用文獻[2]中的主要結果考慮系統（2）共存態的存在性。為簡單起見，不妨取d1=d2=1（事實上，如果適當調整系統中的參數，那么兩物種的擴散系數就可轉化為1）。

給定廣義Lotka-Volterra橢圓系統：

其中 Ω，u，v的含義與第1章相同，函數 h1，h2，h3，h4滿足：

（1）h1，-h2，h3，-h4∈C(Ω)是 [0，∞)上的非增函數且h1(0)＞0，h3(0)＞0，h2(0)=h4(0)=0 。

（2）存在常數 c1，c2使得當 u＞c1時 h1(u)＜0，v＞c2時h3(v)＜0。

引理2.1[2]設h(u)為[0，∞)上的嚴格遞減光滑函數且存在常數 c0＞0使得當 u≥c0時 h(u)≤0。若 h(0)＞λ1，則邊值問題：

有唯一正解。若h(0)≤λ1，則0是唯一非負解。

由引理2.1知，當 h1(0)＞λ1，h3(0)＞λ1時，系統（4）存在半平凡解 (u*，0)與 (0，v*)，其中 u*，v*分別滿足問題：

在文獻[2]中，(u*，0)與 (0，v*)在討論系統（4）的正解的存在性時，起著相當重要的作用，相關的主要結論為：

引理2.2[2]設 h1(0)＞λ1，h3(0)＞λ1。若主特征值 λ1(Δ+ (h1(0)-h2(v*)))與 λ1(Δ+(h3(0)-h4(u*)))有相同的符號，則系統（4）存在正解。

比較系統（2）與（4），對于系統（2）來說，很顯然：

定理2.1 設 a＞λ1，e＞λ1。若主特征值 λ1(Δ+(a-cv*2))與 λ1(Δ+(e-fu*2))有相同的符號，則系統（2）存在正解。

定理2.2 設 a＞λ1，e＞λ1。若：

則系統（2）存在正解。

因此，由定理2.1知系統（2）存在正解。證畢。

定理2.3設下面條件成立：

則系統（2）存在正解。

證明由引理2.1知，系統（2）存在解 (u*，0)，(0，v*)。

首先，有：

于是，λ1(Δ+(a-cv*2))與 λ1(Δ+(e-fu*2))有相同的符號，從而式（2）存在正解。證畢。

定理2.4若a=e，則系統（2）存在正解當且僅當下面條件之一成立：

證明 考慮情形（1）。顯然，式（2）存在解 (u*，0)，(0，v*)。由于 u*滿足式（5）且 u*＞0，因此 λ1(Δ+(a-bu*2))=0。類似地，λ1(Δ+(e-gv*2))=0. 由 b＞f，c＜g可得：

同樣，對情形（2），（3）可得：

由定理2.1知，系統（2）存在正解。

反過來，設 (u，v)是式（2）的正解，則

給式（2）的兩個方程分別同乘v和u然后相減，再在Ω上積分可得：

由于u，v＞0，于是該等式表明要么(f-b)u2+(g-c)v2在 Ω上恒為零，要么在 Ω上改變符號。這意味著b=f，c=g 或 b＞f，c＜g 或 b＜f，c＞g 。這說明若系統（2）有正解，那么條件（1），（2），（3）中必有一個成立。證畢。

3 結語

反應擴散方程遍及許多學科，可以說反應擴散方程是刻畫自然界各種現象及運動規律的基本方程之一。本文著眼于反應擴散方程在生態學領域的應用，考慮處于同一環境中不同種群間的共存問題。對于生活在同一生態環境中的不同種群來說，物種間的共存與滅絕問題是人們研究生態系統的一個永恒的主題。物種間競爭關系的強弱直接影響著物種適應環境變化的能力。文中考慮的是帶有高次功能反應項的擴散模型，運用非線性分析方法和二階橢圓型偏微分方程理論著重考察了具有競爭關系的兩種群能夠共存的條件，得到了一些有益的結果。

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一類帶有擴散的Lotka-Volterra競爭系統的共存態

賈云鋒，王 瑩

JIAYunfeng,WANG Ying

College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

The steady-state solutions of a Lotka-Volterra competition ecological system with cubic functional responses and diffusion are concerned.With the assistance of the spectrum analysis and the upper-lower solutions,a few sufficient conditions for the existence on coexistence of the system are presented.

Lotka-Volterra competition system;coexistence;principal eigenvalue;upper-lower solution

考慮了一類帶有三次功能反應項和擴散的Lotka-Volterra競爭生態系統的平衡態解。運用譜分析的方法，通過構造上下解，給出了系統存在共存態的一些充分性條件。

Lotka-Volterra競爭系統；共存態；主特征值；上下解

A

O175.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1203-0402

JIA Yunfeng,WANG Ying.Coexistence of Lotka-Volterra competition system with diffusion.Computer Engineering and Applications,2013,49（11）：35-37.

國家自然科學基金（No.11001160）；陜西師范大學中央高校基本科研業務費專項資金項目（No.GK201002046）。

賈云鋒（1972—），男，博士，副教授，主要研究領域為微分方程理論及應用、數值計算；王瑩（1988—），女，碩士研究生，主要研究領域為微分方程理論及應用。E-mail：jiayf@snnu.edu.cn

2012-03-19

2012-07-03

1002-8331（2013）11-0035-03