實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角化方法及其優(yōu)化

胡國專

（淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

據(jù)矩陣對(duì)角化理論,n階方陣A相似于對(duì)角陣 (常稱A可對(duì)角化)的充要條件為A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,對(duì)實(shí)對(duì)稱陣進(jìn)一步有如下定理[1]:

定理1 實(shí)對(duì)稱陣A的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的且是正交的.

定理2 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱陣,λ1,λ2,…,λr是矩陣A的全部互異特征值,λi的重?cái)?shù)為,且齊次線性方程組(λiE-A)x=0一定有ki個(gè)彼此正交的解向量.

定理3 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱陣,則存在正交矩陣Q使得

其中 λ1,λ2,…,λn是 A的特征值,Q的列向量組 e1,e2,…,en是分別對(duì)應(yīng)于λ1,λ2,…,λn的A的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量組.

因此,實(shí)對(duì)稱陣一定可以對(duì)角化且可以正交相似對(duì)角化,其中怎樣求出正交矩陣Q是關(guān)鍵,一般代數(shù)教材上給出的經(jīng)典方法步驟為:

第一步:求出矩陣A的全部互異特征值；

第二步:對(duì)于每一特征值λi,解齊次線性方程組(λiE-A)x=0得對(duì)應(yīng)的特征向量；

第三步:將求得的特征向量組化為與之等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組；

第四步:寫出正交矩陣 Q 及 QTAQ=diag(λ1,λ2,…,λn).

此方法嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范,易于掌握,但步驟多,計(jì)算量大,在特征值出現(xiàn)重根的情況下,需用施密特(Schmidt)正交化方法求正交特征向量組,過程繁瑣,限于篇幅,在此不再舉例.本文在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的討論,優(yōu)化上述方法中某些步驟或過程,用相關(guān)實(shí)例驗(yàn)證與比較,探尋更便捷實(shí)用的對(duì)角化方法.

優(yōu)化1 線性方程組法

由定理2我們知道,實(shí)對(duì)稱陣A特征值λi的重?cái)?shù)為ki(ki≥2)時(shí),則齊次線性方程組(λiE-A)x=0 一定有 ki個(gè)彼此正交的特征向量,結(jié)合文[2],對(duì)重特征值λi,可以用解線性方程組的方法求出,避開用施密特正交化的方法,對(duì)單特征值仍用常規(guī)解法求其特征向量,求解步驟如下:

第一步:求(λiE-A)x=0的一個(gè)非零解α1;

依此類推,直至求出實(shí)對(duì)稱陣A屬于特征值λi的ki個(gè)兩兩正交的特征向量.考慮到計(jì)算量的問題,特別當(dāng)實(shí)對(duì)稱陣有n-1重特征值（這種情況很常見）時(shí),可以將此方法優(yōu)化為如下的賦值法求其特征向量.設(shè)λ為實(shí)對(duì)稱陣A的n-1重特征值,方程組(λE-A)x=0的同解方程組只有一個(gè)方程,設(shè)為

取x1=b1≠0,x3=x4=…=xn=0,得第一個(gè)特征向量α1=(b1,b2,0,…,0)T,為求與 α1正交的特征向量 α2,取 x4=x5=…=xn=0,x1=b1(保持α1的第一個(gè)分量不變),α2的第二個(gè)分量滿足b12+b2x2=0,即滿足[α1,α2]=0,再代入方程(*)得第二個(gè)特征向量α2=(b1,b2',b3,0…,0)T, 為求與 α1、α2都正交的特征向量 α3,取x1=b1,x2=b2'(保持 α2的前兩個(gè)分量不變),x5=…=xn=0,α3的第三個(gè)分量滿足 b12+(b2')2+b3x3=0,即滿足[α2,α3]=0,再代入方程(*)得第三個(gè)特征向量α3=(b1,b2',b3',b4,0,…,0)T,依此類推,可以求出實(shí)對(duì)稱陣A屬于λ的全部n-1個(gè)兩兩正交的特征向量.

用解線性方程組的方法求A的全部n個(gè)兩兩正交的特征向量,主要優(yōu)化了經(jīng)典方法中的第二、三兩個(gè)步驟,當(dāng)有重特征值時(shí),把線性方程組的求解與特征向量的正交化合二為一,特別是避開用較復(fù)雜的施密特正交化方法,起到一定的簡化作用.

得A的特征值λ1=-1(二重),λ2=5,屬于特殊情形,

當(dāng)λ=-1時(shí),(-E-A)x=0對(duì)應(yīng)的同解方程為x1+x2+x3=0,取x1=1,x3=0,

得第一個(gè)特征向量α1=(1,-1,0)T,與之正交的α2的第一個(gè)分量取1,第二個(gè)分量應(yīng)滿足12-x2=0,得x2=1,從而得第二個(gè)特征值向量α2=(1,1,-2)T；

當(dāng)λ=5時(shí),(5E-A)x=0對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為

得第三個(gè)特征向量 α3=(1,1,1)T,再將 α1、α2、α3單位化得

從而得正交陣 Q=(γ1，γ2，γ3)=diag(-1,-1,5).

優(yōu)化2 積矩陣法

由文[3]有如下結(jié)論:

設(shè) λ1,λ2,…,λr是實(shí)對(duì)稱陣 A 的全部互異特征值,λj的重?cái)?shù)為 kj(j=1,2,…,r),則矩陣的列向量中恰有對(duì)應(yīng)于λj的kj個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

這為我們求特征向量開辟了新的思路,對(duì)每一個(gè)特征值λj,構(gòu)造含其它特征值的矩陣積的新矩陣Wj,通過求此矩陣的極大無關(guān)列組的方法求特征向量,代替求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的工作,簡化了解題過程,為方便敘述,不妨稱之為積矩陣法.本方法主要優(yōu)化經(jīng)典方法中的第二步,特別當(dāng)實(shí)對(duì)稱陣只有2個(gè)相異特征值的情況下,不僅不需要解方程組,而且不需要算矩陣的乘積就可以把對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量快速求出.

例2 用積矩陣法解例1.

解 由例1知A的特征值λ1=-1(二重),λ2=5,

用Schmidt正交化方法,先正交化,有

再將 β1,β2單位化,得

得特征向量α3=(-2,-2,-2)T,再單位化得則 Q=(γ1,γ2,γ3).

優(yōu)化3 對(duì)稱變換法

對(duì)稱變換是指對(duì)矩陣每作一次初等行變換,同時(shí)對(duì)列再作一次相同的初等列變換,其模型為:

由文[4]有如下結(jié)論:

設(shè)A為實(shí)對(duì)稱陣,若λE-A經(jīng)一系列對(duì)稱的初等變換化為對(duì)角陣QT(λE-A)Q=λE-B,且每次對(duì)稱變換的倍乘系數(shù)均不含λ,即A為不含λ的初等矩陣之積,則B的主對(duì)角線上的元素必為A的全部特征值,Q必為正交陣.

對(duì)稱變換法關(guān)鍵是用對(duì)稱的初等變換將λE-A化為對(duì)角陣,回避了常規(guī)解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要依據(jù)特征值多次解線性方程組的繁難過程,從某種程度上講是對(duì)傳統(tǒng)方法的顛覆,起到較好的簡化作用,顯得簡捷高效.

例3 用對(duì)稱變換法解例1(注:對(duì)稱變換記號(hào)中的r表示行,c表示列).

縱觀本文所探究的實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角化的四種方法,線性方程組法、積矩陣法、對(duì)稱變換法從不同角度對(duì)經(jīng)典方法進(jìn)行了優(yōu)化,但每種方法也會(huì)有一定的弊端,沒有十全十美的方法.線性方程組法省去施密特正交化步驟,但可能要解多個(gè)線性方程組；積矩陣法改解線性方程組為求矩陣的極大無關(guān)列,但可能要計(jì)算多個(gè)矩陣的乘積；對(duì)稱變換法回避了常規(guī)解法中求特征值與特征向量的繁瑣過程,但是在每次對(duì)稱變換時(shí),要求倍乘系數(shù)均不含λ,從而增加對(duì)稱變換化λE-A為對(duì)角陣的難度.文中用三種方法解同一個(gè)題,是為便于比較,可以看出,三種解法從不同角度優(yōu)化了傳統(tǒng)方法,各有千秋.因此,在應(yīng)用中,要結(jié)合實(shí)對(duì)稱陣的階數(shù)、特征值的個(gè)數(shù)與重?cái)?shù)等不同情形靈活選擇方法,從而起到事半功倍的作用.

〔1〕陳建龍,等.線性代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2007.123-124.

〔2〕鐘甲祥.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化探研[J].柳州師專學(xué)報(bào),1994（1）:24-27.

〔3〕李佩貞.矩陣的對(duì)角化與相似變換矩陣[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)論叢,2000,20(4):248-251.

〔4〕付立志，等.對(duì)稱矩陣對(duì)角化的正交變換模型[J].河南科學(xué),2008,26(2):135-147.