基于方向譜的海浪三維數值模擬

張思將，楊 潔，歐陽藝

（解放軍91404部隊，秦皇島066001）

0 引 言

海浪的三維數值模擬從方法上一般分為2類［1］：一類是基于求解流體N－S方程的物理建模方法；另一類是通過參數曲面擬合計算波面高度場的波面造型建模方法。其中，前一種方法求解過程較為復雜，難以達到實時性要求；后一種方法應用較為廣泛，相應的實際計算算法也出現多種，如基于隨機三角函數疊加［2］、反演海浪頻譜合成［3－4］等算法。

本文研究基于Gerstner波的海浪建模方法，并增加波陡度控制參數以改善海浪波形；總結常用的海浪譜和方向擴展函數，分析波浪立體觀測計劃（SWOP）和Donelan方向擴展函數的異同；計算各子波參數，從而實現3D海浪模擬。

1 基于Gerstner波的海浪模型建模

經典的Gerstner模型從動力學的角度描述了海浪各質點的運動，于1986年被Fournier首次引入計算機圖形圖像領域，其后被廣泛采用［4］。Gerstner波函數為［5］：

式中：ai，j為子波波幅；θp為風速方向；θj為子波與風速方向的夾角；ki為子波波數；ωi為子波波頻；εi，j為子波初始相位。

為了更逼真地模擬海浪，形成較尖的浪頭和較寬的浪槽，對Gerstner波的（x，z）坐標進行修正，加 入控制波陡度的參數：

式中：Qi＝Q／（φiAi），Q∈0～1，為波形控制參數。

通過控制Q，即可以得到完全平滑的波到最尖銳的波。由于風是引起海浪的最常見的原因，并且仿真海浪環境一般為深水波，因此將海面簡化為風浪深水波。根據線性波理論，對深水波［6］有ki＝

海浪方向譜描述了海浪內部能量相對于頻率和方向的分布，一般由頻譜S（ω）和方向擴展函數D（ω，θ）組成：

式中：θ為海浪波與風向的夾角。

對于式（1）中的每一個分量，有：

根據式（4）即可求出每個分量對應的子波波幅ai，j為：

2 構造方向譜

由公式（3），海浪方向譜包括頻譜和方向擴展函數，通過組合不同的頻譜和方向擴展函數可獲得不同的方向譜。

2.1 海浪譜

海浪譜提出于20世紀50年代，它將海浪運動視為平穩隨機過程，具有平穩性和各態歷經性，通過隨機過程理論討論各種情況下海浪運動的統計性質。目前已提出的海浪譜都是以風要素為參量，用以描述海面風浪狀態的。

（1）Neumann譜［7］

Neumann譜是Neumann于1952年最早提出的一種經驗譜模式。Neumann認為，在一定風速下的周期可對應不同的波高，但其對應關系有1個上限，他對充分成長狀態海浪波高與周期關系進行了擬合，得到Neumann譜的形式：

譜高頻部分主要取決于前者，而低頻部分主要取決于后者，僅限于描述充分成長狀態的海浪，而且不具有Fourier譜的性質。至今提出的海浪譜大都屬于這種形式。

（2）P－M 譜［1，8］

Pierson和Moscowitz于1964年對在北大西洋充分成長狀態下的風浪記錄進行譜估計，將得到的54個譜依風速分成5組并將各組譜進行了平均，得到了有因次的擬合式：

式中：α＝8.1×10－3；β＝0.74；U為海面上19.5m高處的平均風速。

P－M譜是以風速為參量的充分成長狀態的海浪頻譜。與Neumann譜相比，P－M譜數據基礎較好，準確性更好，而且符合Fourier譜的定義，因此被更為廣泛地采用。

（3）JONSWAP譜［9－10］

JONSWAP譜是在由德、英、美、荷等國有關組織于1968～1970年進行的“聯合北海波浪項目”系統測量的基礎上提出的，描述了有限風區持續成長的海浪，其譜式為：

式中：ω0為譜峰頻率；γ為譜峰增強因子，即同一風速下譜峰值與P－M譜峰值的比值，其值介于1.5～6，平均值為3.3；σ為峰形參量，用于控制譜峰寬度；a為尺度系數F為風區長度，U10為海面10m高處的平均風速

JONSWAP譜是受限于風區狀態的海浪頻譜，僅適用于深水，其尺度系數a、譜峰頻率ω0和譜峰增強因子γ均與風速和風區有關。當風區很大時，γ趨近于1，此譜也接近于P－M譜。

JONSWAP譜可描述受限于風區的狀態，但包含了5個參量，使用不夠方便。

（4）其它譜

在海洋學中還常用到其它形式的譜，如Bretschneider譜、Phillips譜、Kruseman譜、Toba譜、文圣常譜等，它們從不同角度對海浪現象進行了描述。

2.2 方向擴展函數

常用的方向擴展函數主要有：

（1）國際船模試驗池會議（ITTC）建議的方向擴展函數［2，11］：

（2）ISSC（國際船舶結構會議）提議的方向擴展函數［9］：

（3）SWOP（波浪立體觀測計劃）得到的方向擴展函數［9］：

（4）Donelan方向擴展函數［8］

1995年，吳秀杰、滕學春一起根據陣列測量和“956”測波浮標在渤海獲得的海浪方向譜資料，從總能量的觀點比較了這些海浪方向分布函數，得出在風浪的初始成長和成長狀態，Donelan方向分布函數描述吻合程度最好，所以采用不考慮波陡時Donelan方向分布函數：

式中：β為系數；ωp為頻譜的峰值頻率。

3 方向擴展函數比較

ITTC和ISSC只與子波方向θ有關，具體使用受到一定限制。SWOP和Donelan方向擴展函數充分考慮了子波方向和頻譜的關系，吻合程度較好，實際應用較為廣泛。

設風速U＝10m／s，ωp＝8.565／U，得到不同頻率下方向擴展函數的曲線如圖1所示。

選擇應用較為廣泛的PM譜，分別與SWOP方向擴展函數和Donelan方向擴展函數構成海浪方向譜，計算子波ai，j系數。設風速U＝10m／s，子波方向分別為［－1.047 2，－0.523 6，0，0.523 6，1.047 2］，頻率方向上10等分，得到相應的子波系數ai，j，分別如圖2所示。

圖1 SWOP和Donelan不同頻率下方向擴展函數的曲線

由圖1可以看出，在ω≤0.5ωp時SWOP方向擴展函數和Donelan方向擴展函數基本相同；在ω＞0.5ωp時，Donelan方向擴展函數更集中于風速方向。由圖2看出，計算得到的子波系數ai，j不盡相同，和圖1Donelan方向擴展函數更集中于風速方向的結論基本一致。

圖2 SWOP和Donelan對應子波系數比較

4 仿真實例

圖3 動態海面仿真效果

采用PM譜和Donelan方向擴展函數構成海浪方向譜，風速分別選取風速和，渲染得到三維海浪效果，如圖3所示。

5 結束語

本文采用Gerstner波建立海浪模型，并增加波陡度控制參數，有效改善了海浪波形；總結了常用海浪譜和方向擴展函數，對SWOP和Donelan方向擴展函數的異同進行了分析；通過計算各子波參數，實現了海浪數值三維模擬。論文仿真結果表明，該方法符合實際情況，效果逼真，具有較高的應用價值。

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