截斷參數對高斯光束俘獲力的影響

李世磊，張耀舉，趙 艷

(溫州大學物理與電子信息工程學院，浙江溫州325035)

作為一種微操控技術，光學俘獲技術具有非接觸、無損傷、高精度的特點.這項技術誕生［1-4］以來，在生物醫藥、物理等多個科研領域都得到了廣泛的應用，相關的理論和實驗研究層出不窮.研究光學俘獲的射線光學模型(Ray Optics Model)由Ashkin建立［5］，之后，有很多科研工作者都應用該模型對光學俘獲進行了研究.Leonardo André Ambrosio等人應用射線光學模型計算了雙陰性微粒的俘獲力［6］，另外還討論了小折射率微粒的俘獲力［7］和克服梯度力翻轉的方法［8］;Richard Bowman等人基于射線光學理論討論了利用空間光調制器在三維空間產生的不同形狀的光阱的俘獲能力［9］;Yanhua Wu等人考慮到微粒內部的復雜結構和表面性質，通過操控與細胞黏合的聚苯乙烯小球實現對細胞的操控［10］;Yanfeng Zhang等人應用射線光學模型研究了微粒的吸收系數和軸向位移對俘獲力的影響［11］;Sung Hyun Kim等人研究了被俘微粒的大小對俘獲力的影響［12］.

計算均勻分布的光束的俘獲力對研究光學俘獲的理論研究具有指導意義，但是現實中的光束一般都滿足高斯分布，另外，偏振態的不同會產生不同的俘獲力，徑向偏振態的激光光束能產生較大的俘獲力［13-15］.本文應用射線光學模型，研究利用功率恒定的高斯分布的徑向偏振光俘獲大折射率微粒時，截斷參數對俘獲力的影響.

1 俘獲力的計算

對于單條光線，梯度力為入射光s波和p波的梯度力之和

其中:

散射力為為入射光s波和p波的散射力之和:

其中:

其中，θi和θr為光線的入射角和折射角，Rs和Rp為s波p波的反射率，Ts和Tp為s波和p波的透射率，fp和fsd分別為入射光中p波和s波占總功率的比例:

對于不同的偏振光，a和b取不同的數值，對于本文計算的徑向偏振光，

其中，φ為入射光線與光軸的夾角，μ是入射平面與入射光和光軸Z軸所在平面的夾角，β0為入射光線的方位角.

對于整個高斯光束的俘獲力，利用上述公式對能夠經過透鏡照射到微粒的光線進行積分后可以算出.

其中，r為光線的入射半徑.

2 截斷參數對俘獲力的影響

截斷參數的定義式為

其中RL為透鏡的半徑，ω0為光束的束腰半徑.

在入射光功率恒定的情況下改變截斷參數，能夠通過透鏡照射到微粒上的光線數量會隨之改變，因而微粒所受到的俘獲力也會發生相應的變化.

圖1 截斷參數β不同時高斯光束的軸向俘獲力

圖1依次給出了入射光功率相同的條件下，截斷參數β為0.5、0.8、1.0、1.2時，高斯光束的散射力、梯度力以及合力的大小.縱坐標為無量綱數值Q的大小，橫坐標為微粒的位置坐標，坐標原點選為粒子球心O，S表示球心O與焦點f之間的距離，R表示微粒半徑，S/R大于零時表示微粒球心O位于焦點f上方，反之則為下方，而Z軸豎直向下.其中，紅色、綠色、藍色曲線分別代表了合力、梯度力、散射力的大小.被俘微粒折射率為1.6，所在介質為水，折射率為1.33.

很容易看出，梯度Qg力成反對稱情況，說明微粒位置的改變會導致梯度力方向改變，但是方向總是將微粒拉向焦點f;而散射力Qs則為對稱情況，證明散射力總是沿光線傳播方向推動微粒.顯而易見，最大值都出現在距離S/R的絕對值約等于1的位置，S/R的絕對值一旦大于1，則三個力的數值均急劇減小.這是因為當距離S等于微粒半徑R的位置附近，光線的入射角θi和匯聚角φ都比較大，這樣一來，梯度力在Z軸方向的分量Qgsinφ較大，而散射力在Z軸方向的分量Qscosφ較小，所以合力的效果總是將微粒拉到焦點附近.

圖2 截斷參數對軸向俘獲力的影響

圖2給出入射光功率一定時，截斷參數對軸向俘獲力的影響.五種顏色的曲線代表截斷參數β取五個不同數值的情況下Q的取值.從圖中可以看出，隨著截斷參數β的增大，表征合力大小的Q的最大值先增大，然后逐漸減小，圖中所示情況中，截斷參數β取值為0.8時Q最大.

圖3給出了被俘微粒位于焦點上方且距離S與微粒半徑R相等時，所受最大俘獲力與截斷參數的關系.可以很直觀的看出，當入射光功率一定時，隨著截斷參數β越大，Q的值先增大，然后逐漸減小，這是因為:β很小的時候，光束束腰相對于透鏡半徑RL很大，因此光束中大部分光線都未能經過透鏡照射到微粒上，所以微粒受到的俘獲力很小;隨著β的增大，進入透鏡的光線越來越多，俘獲力也隨之增大.但是當β大到一定程度之后，Q的值隨β的增大而減小，這是因為:所有的光線都更加靠近光軸，大角度的入射光線減少，光束的聚焦性減弱，導致光斑強度減小，從而導致俘獲力減小，但是β的值不能太小，否則會造成很大的光能損失，入射光束的能量的利用率將大大降低.

圖3 俘獲力最大值隨β的變化情況

3 結 論

在入射光功率恒定的情況下，利用徑向偏振態的高斯光束俘獲大折射率球形微粒時，選取適當的截斷參數，能在保證激光光束能量的利用效率較高的情況下使盡可能多的大角度入射光經過透鏡照射到被俘微粒上，進而獲得較大的光場梯度，實現俘獲力的最大化.

［1］A.Ashkin，Acceleration and trapping of particles by radiation pressure［J］.Physical Review Letters，1970，24:156-159.

［2］A.Ashkin，Atomic-Beam DeflectionbyResonance-Radiation Pressure［J］.Physical Review Letters，1970，25:1321-1324.

［3］A.Ashkin，Applications of Laser Radiation Pressure［J］.Science，1980，210:1081-1087.

［4］A.Ashkin，J.M.Dziedzic，and J.E.W.Bjorkholm，Steven Chu，Observation of a single-beam gradient force optical trap for dielectric particles［J］.Optics Letters，1986，11:288-290.

［5］A.Ashkin，Forces of a single-beam gradient laser trap on a dielectric sphere in the ray optics regime［J］.Biophysical Society，1992，61:569-582.

［6］Leonardo André Ambrosio，H.E.Hernández-Figueroa，Trapping double negative particles in the ray optics regime using optical tweezers with focused beams［J］.Optics Express，2009，17(24):21918-21924.

［7］Leonardo André Ambrosio，H.E.Hernández-Figueroa，Gradient forces on double-negative particles in optical tweezers using Bessel beams in the ray optics regime［J］.Optics Express，2010，18(23):24287-24292.

［8］Leonardo André Ambrosio，H.E.Hernández-Figueroa，Inversion of gradient forces for high refractive index particles in optical trapping［J］.Optics Express，2010，18(6):5802-5808.

［9］Richard Bowman，Graham Gibson，Miles Padgett，Particle tracking stereomicroscopy in optical tweezers:control of trap shape［J］.Optics Express，2010，18(11):11785-11790.

［10］Yanhua Wu，Dong Sun，Wenhao Huang，Mechanical force characterization in manipulating live cells with optical tweezers［J］.Journal of Biomechanics，2011，44:741-746.

［11］Yanfeng Zhang，Yudong Li，Jiwei Qi，et al，Influence of absorption on opticaltrapping force ofspherical particles in a focused Gaussian beam［J］.Journal of Optics A:Pure and Applied Optics，2008，8(5):11-13.

［12］Sung Hyun Kim，Hyun Ik Kim，Hyeong Joon Jun，et al，Beam Optics Approach to the Ray Optics Model for the Optical Trapping Efficiency of Optical Tweezers［J］.Journal of the Korean Physical Society，2012，60(1):155-158.

［13］Timo A.Nieminen，Norman R.Heckenberg，and Halina Rubinsztein-Dunlop，Forces in optical tweezers with radially and azimuthally polarized trapping beams［J］.Optics Letters，2008，33(2):122-124.

［14］Masaki Michihata，Terutake Hayashi，and Yasuhiro Takaya，Measurement of axial and transverse trapping stiffness of optical tweezers in air using a radially polarized beam［J］.Applied Optics，2009，48(32):6143-6151.

［15］Yuichi Kozawa and Shunichi Sato，Optical trapping of micrometer-sized dielectric particles by cylindrical vector beams［J］.Optics Express，2010，18(10):10828-10833.