離散型隨機變量數字特征的計算方法

趙天玉，李 茜 （長江大學信息與數學學院，湖北 荊州434023）

隨機變量的數字特征描述了隨機變量變化的全貌特點：數學期望或均值描述了隨機變量取值的集中位置或平均大小，方差描述了隨機變量的取值偏離均值的程度或分散程度。因此，研究隨機變量數字特征的計算方法非常必要。在一般的教學過程中，僅僅只介紹隨機變量均值和方差的計算公式，給出它們的性質，列舉幾個例子就完成了任務［1］，很少對均值和方差的計算方法進行系統的概括總結，幾乎沒有對這些內容進行延伸與擴充，導致學生只會套用公式計算期望與方差，遇到稍微復雜一點的問題就束手無策。為此，筆者以離散型隨機變量為研究對象，以母函數為研究工具，討論了離散型隨機變量數學期望和方差的3種計算方法??長江大學精品課程 《概率論與數理統計》。。

1 公式法

這就是離散型隨機變量X的期望與方差的計算公式。

如，若X～b（1，p），則：

若X～Ge（p），則：

又因為：

由此得X的方差為：

若X～π（λ），則：

2 隨機變量分解法

最后由期望與方差的性質得：

3 母函數方法

母函數有如下性質［4，5］：

（1）概率分布與母函數是一一對應的。對于概率分布的許多研究可化為對其所對應的母函數的研究。

（2）若隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，它們的母函數分別為G1（s），G2（s），…，Gn（s），則X＝X1＋X2＋，…，＋Xn的母函數為G（s）＝G1（s）G2（s），…，Gn（s）。

特別地，當X1，X2，…，Xn獨立同分布時，Gi（s）＝G1（s），這時G（s）＝ ［G1（s）］n。

（3）設X1，X2，…，Xn，，…，是一串獨立同分布的取非負整數值的隨機變量，其母函數為g（s），隨機變量Y是取正整數值的，其母函數為G（s）。若 ｛Xn｝與Y獨立，則Z＝X1＋X2＋，…，＋XY（若Y＝0，則定義Z＝0）的母函數為H（s）＝G ［g（s）］。

（4）當X 的期望與方差存在時，E（X）＝G′（1），D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2。

下面給出用母函數計算數學期望及方差的簡便公式：

（2）若X ～π（λ），G（s）＝eλ（s－1），則：E（X）＝G′（1）＝λ D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2＝λ

（3）若X ～b（n，p），G（s）＝ （q＋ps）n，則：E（X）＝G′（1）＝np D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2＝npq

（5）設 Z 是 母 函 數 的 性質 （3）中的 隨 機 變 量，此 時 H（s）＝ G ［g（s）］。由于 H′（s）＝G′［g（s）］g′（s），H″（s）＝G″［g（s）］［g′（s）］2＋g″（s）G′［g（s）］，因此當E（Xi），E（Y），D（Xi），D（Y）存在時，有：

這是計算隨機個獨立同分布的隨機變量之和的期望與方差的公式。

（6）設X1，X2，…，Xn，…，是獨立同分布于0－1分布的隨機變量序列，Y～π（λ），且與X｛｝n相互獨立，則Z＝X1＋X2＋…＋XY的期望與方差分別為：

這個結果可從母函數 H（s）＝G ［g（s）］＝eλ（q＋ps－1）＝eλp（s－1）得到驗證，因為Z ～π（λp）。

（7）設X1，X2，…，Xn，…，是獨立同分布于參數為p1的幾何分布的隨機變量序列，Y～Ge（p2），且與 ｛Xn｝相互獨立，則Z＝X1＋X2＋…＋XY的期望與方差分別為：

［1］李正耀，周德強 .概率論與數理統計 ［M］.北京：科學出版社，2009：80－97.

［2］侯文 .常用概率分布間的關系 ［J］.遼寧師范大學學報，2005，28（4）：503－505.

［3］匡能暉 .超幾何分布的數學期望和方差的定義求法 ［J］.高等數學研究，2010，13（4）：73－74.

［4］復旦大學 .概率論 （第一冊：概率論基礎）［M］.北京：人民教育出版社，1979.

［5］趙天玉 .基于母函數的常用離散型隨機變量概率分布研究 ［J］.長江大學學報 （自然科學版），2013，10（28）：1－3.