離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算方法

趙天玉，李 茜 （長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州434023）

隨機(jī)變量的數(shù)字特征描述了隨機(jī)變量變化的全貌特點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望或均值描述了隨機(jī)變量取值的集中位置或平均大小，方差描述了隨機(jī)變量的取值偏離均值的程度或分散程度。因此，研究隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算方法非常必要。在一般的教學(xué)過程中，僅僅只介紹隨機(jī)變量均值和方差的計(jì)算公式，給出它們的性質(zhì)，列舉幾個(gè)例子就完成了任務(wù)［1］，很少對均值和方差的計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)的概括總結(jié)，幾乎沒有對這些內(nèi)容進(jìn)行延伸與擴(kuò)充，導(dǎo)致學(xué)生只會套用公式計(jì)算期望與方差，遇到稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問題就束手無策。為此，筆者以離散型隨機(jī)變量為研究對象，以母函數(shù)為研究工具，討論了離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的3種計(jì)算方法??長江大學(xué)精品課程 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》。。

1 公式法

這就是離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的計(jì)算公式。

如，若X～b（1，p），則：

若X～Ge（p），則：

又因?yàn)椋?/p>

由此得X的方差為：

若X～π（λ），則：

2 隨機(jī)變量分解法

最后由期望與方差的性質(zhì)得：

3 母函數(shù)方法

母函數(shù)有如下性質(zhì)［4，5］：

（1）概率分布與母函數(shù)是一一對應(yīng)的。對于概率分布的許多研究可化為對其所對應(yīng)的母函數(shù)的研究。

（2）若隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，它們的母函數(shù)分別為G1（s），G2（s），…，Gn（s），則X＝X1＋X2＋，…，＋Xn的母函數(shù)為G（s）＝G1（s）G2（s），…，Gn（s）。

特別地，當(dāng)X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布時(shí)，Gi（s）＝G1（s），這時(shí)G（s）＝ ［G1（s）］n。

（3）設(shè)X1，X2，…，Xn，，…，是一串獨(dú)立同分布的取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，其母函數(shù)為g（s），隨機(jī)變量Y是取正整數(shù)值的，其母函數(shù)為G（s）。若 ｛Xn｝與Y獨(dú)立，則Z＝X1＋X2＋，…，＋XY（若Y＝0，則定義Z＝0）的母函數(shù)為H（s）＝G ［g（s）］。

（4）當(dāng)X 的期望與方差存在時(shí)，E（X）＝G′（1），D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2。

下面給出用母函數(shù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望及方差的簡便公式：

（2）若X ～π（λ），G（s）＝eλ（s－1），則：E（X）＝G′（1）＝λ D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2＝λ

（3）若X ～b（n，p），G（s）＝ （q＋ps）n，則：E（X）＝G′（1）＝np D（X）＝G″（1）＋G′（1）－ ［G′（1）］2＝npq

（5）設(shè) Z 是 母 函 數(shù) 的 性質(zhì) （3）中的 隨 機(jī) 變 量，此 時(shí) H（s）＝ G ［g（s）］。由于 H′（s）＝G′［g（s）］g′（s），H″（s）＝G″［g（s）］［g′（s）］2＋g″（s）G′［g（s）］，因此當(dāng)E（Xi），E（Y），D（Xi），D（Y）存在時(shí)，有：

這是計(jì)算隨機(jī)個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的期望與方差的公式。

（6）設(shè)X1，X2，…，Xn，…，是獨(dú)立同分布于0－1分布的隨機(jī)變量序列，Y～π（λ），且與X｛｝n相互獨(dú)立，則Z＝X1＋X2＋…＋XY的期望與方差分別為：

這個(gè)結(jié)果可從母函數(shù) H（s）＝G ［g（s）］＝eλ（q＋ps－1）＝eλp（s－1）得到驗(yàn)證，因?yàn)閆 ～π（λp）。

（7）設(shè)X1，X2，…，Xn，…，是獨(dú)立同分布于參數(shù)為p1的幾何分布的隨機(jī)變量序列，Y～Ge（p2），且與 ｛Xn｝相互獨(dú)立，則Z＝X1＋X2＋…＋XY的期望與方差分別為：

［1］李正耀，周德強(qiáng) .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：80－97.

［2］侯文 .常用概率分布間的關(guān)系 ［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，28（4）：503－505.

［3］匡能暉 .超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差的定義求法 ［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（4）：73－74.

［4］復(fù)旦大學(xué) .概率論 （第一冊：概率論基礎(chǔ)）［M］.北京：人民教育出版社，1979.

［5］趙天玉 .基于母函數(shù)的常用離散型隨機(jī)變量概率分布研究 ［J］.長江大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2013，10（28）：1－3.