基于母函數的常用離散型隨機變量概率分布研究

趙天玉 （長江大學信息與數學學院，湖北 荊州434023）

《概率論與數理統計》是一門應用性很強的課程，離散型隨機變量是該課程中的重要內容，它的每一個概率分布都是一個特定的數學模型，有著非常直觀的概率背景，而這些概率背景決定了這些分布之間存在著深刻的內在聯系。在一般的教學過程中，僅僅只介紹常用離散型隨機變量的概率分布，給出它們的分布率或分布表，很少對這些分布進行系統的概括總結，討論它們之間的關系，幾乎沒有對這些分布進行延伸與擴充，導致學生無法建立常用概率分布之間的聯系，影響學生對這些概率分布的應用。為此，筆者基于母函數對常用離散型隨機變量概率分布進行了研究??本文屬長江大學精品課程 （概率論與數理統計）建設項目產出論文。。

1 常用離散型隨機變量

常用離散型隨機變量大致有7種：①0～1分布或兩點分布：X ～b（1，p）；② 二項分布：X ～b（n，p）；③ 幾何分布：X ～ Ge（p）；④ 巴斯卡分布或負二項分布：X ～ Nb（r，p）；⑤ 泊松分布：X～π（λ）；⑥超幾何分布：X～h（n，M，N）；⑦多項分布［1］。這些隨機變量的最大特點是它們的取值是非負整數，因此引入母函數便于處理。因為母函數是冪級數，具有許多良好的性質，所以母函數是研究取非負整數值隨機變量的有效工具。

2 母函數

2.1 母函數的定義

2.2 母函數的性質

母函數有如下性質［2］：

（1）概率分布與母函數是一一對應的。因而對于概率分布的許多研究可以化為對其所對應的母函數的研究。

（2）獨立隨機變量之和的母函數。若隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，它們的母函數分別為G1（s），G2（s），…，Gn（s），則X ＝X1＋X2＋… ＋Xn的母函數為：

特別當X1，X2，…，Xn獨立同分布時，Gi（s）＝G1（s），這時 G（s）＝ ［G1（s）］n。

（3）隨機個隨機變量之和的母函數。設X1，X2，…，Xn，…是一串獨立同分布的取非負整數值的隨機變量，其母函數為g（s），隨機變量Y是取正整數值的，其母函數為G（s）。若X｛｝n與Y獨立，則Z＝X1＋X2＋…＋XY（若Y ＝0，則定義Z＝0）的母函數為 H（s）＝G ［g（s）］。

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3 常用離散型隨機變量概率分布的關系

3.1 極限關系

（2）當n較大、p較小，且np不大時，二項分布可用泊松分布逼近，即：

（3）當N很大而n較小時，超幾何分布可用二項分布近似，即：

3.2 隨機變量之和的關系

不過要注意這里的 X1，X2，…，Xn不是相互獨立的［3］。

（4）設X1，X2，…，Xn，…是獨立同分布于0－1分布的隨機變量序列，Y～π（λ），且與X｛｝n相互獨立，則Z ＝ X1＋X2＋ … ＋XY～π（λp）。這個結果可以從母函數 H（s）＝G ［g（s）］＝eλ（q＋ps－1）＝eλp（s－1）得到驗證。

3.3 特殊關系

證明

4 常用離散型隨機變量的特殊性質

4.1 二項分布的最可能成功次數與中心項

4.2 幾何分布的無記憶性

命題1 設X是正整數值的隨機變量，并且在已知X＞k的條件下，X＝k＋1的概率與k無關，那么X服從幾何分布。

4.3 二項分布與泊松分布的再生性

（1）設X，Y 相互獨立，且X ～b（n1，p），Y ～b（n2，p），則Z＝X＋Y ～b（n1＋n2，p）。

（2）設X，Y 相互獨立，且X ～π（λ1），Y ～π（λ2），則Z＝X＋Y ～π（λ1＋λ2）。

［1］莊光明，于興江，等 .基于伯努利試驗的概率分布及其應用 ［J］.聊城大學學報，2009，22（3）：34～37.

［2］復旦大學 .概率論 （第一冊：概率論基礎）［M］.北京：人民教育出版社，1979.

［3］匡能暉 .超幾何分布的數學期望和方差的定義求法 ［J］.高等數學研究，2010，13（4）：73～74.

［4］陶會強 .常用概率分布之間的關系及應用研究 ［J］.懷化學院學報，2011，30（5）：75～78.