利用matlab計算與模擬點電荷對的電場

薛海國

(四川理工學院 理學院，四川 自貢 643000)

1 matlab 和點電荷系的電場

點電荷是電磁學中最簡單的一種理想化模型。單個點電荷在空間某點所激發的電場強度大小和電勢U =用電場線和等勢面直觀形象地來表示這兩個物理量。電場線從正電荷(無窮遠)出發終止于負電荷(無窮遠)，電場線的切線方向代表該點的場強方向，電場線的疏密來表示電場的強弱。電場線和等勢面處處垂直。

然而在真空中某點所激發的電場通常是由點電荷組或者連續帶電體所激發。對于點電荷組在空間某點所激發的電場強度和電勢，我們可以根據電場強度矢量疊加和電勢標量疊加進行數值求解。比較有代表性的就是要求電偶極子在延長線上和中垂線上的E 和U。簡單的點電荷系的模型還有兩個等量同號點電荷系，兩個不等量同號點電荷系等。但是如果空間帶電體的數量多于兩個，并且在空間有一定規律分布，我們雖然能求出E 和U 的數值，但由于電場線和等勢面的抽象性和復雜性，此時就很難想象出空間的分布。

matlab 有強大的數學運算能力和繪圖功能，能直接利用軟件提供的函數，編寫較簡單的程序即可解決相應的物理問題。已有文獻［1］［2］［3］對電偶極子、電四極子，多個點電荷系統的電勢分布和矢量場圖進行計算仿真。

2 等量同號點電荷電場中的E 和U

如圖所示，等量同號點電荷在場點P(x，y)產生的電勢為

其中

E=－▽U，

其中，劈形算符為

在xy 平面上，場強只有兩個分量

3 利用matlab 計算和模擬電場強度和電勢

3.1 計算距離兩個等量同號點電荷遠處任一點的電位和場強

clear

＞＞syms q C0 r1 r2 x y U1 U2 a;

＞＞r1 =sqrt((x－a).^2 ＋y.^2);

＞＞r2 =sqrt((x ＋a).^2 ＋y.^2);

＞＞U1 =C0.* q./r1;U2 =C0.* q./r2;

＞＞U=U1 ＋U2;

＞＞Ex=－diff(U，x)，Ey=－diff(U，y)，AE=sqrt(Ex.^2＋Ey.^2)

運行結果

Ex =

1/2* C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* (2* x－2* a)＋1/2* C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* (2*x ＋2* a)

Ey =

C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y ＋C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y

AE =

((1/2* C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* (2*x－2* a)＋1/2* C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)*(2* x ＋2* a))^2 ＋(C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y ＋C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y)^2)^(1/2)

在中垂線上時，x=0.鍵入:

x=0，

Ex=subs(Ex)，Ey=subs(Ey)，

返回:

Ex =0

Ey =2* C0* q/(a^2 ＋y^2)^(3/2)* y

在坐標原點時，x=0，y=0，鍵入:

x=0，y=0，

Ex=subs(Ex)，Ey=subs(Ey)

返回:

Ex =0

Ey =0

3.2 繪制距離兩等量同號點電荷遠處任一點的電位和場強分布圖

clear

＞＞q=1.6e－19;C0 =9e9;l=3.0;

＞＞x=－5:0.5:5;y=x;

＞＞［X，Y］=meshgrid(x，y);

＞＞r1 =sqrt((X－l/2).^2 ＋Y.^2);

＞＞r2 =sqrt((X ＋l/2).^2 ＋Y.^2);

＞＞U=q.* C0.* (1./r1 ＋1./r2);

＞＞［Ex，Ey］=gradient(－U);

＞＞AE=sqrt(Ex.^2 ＋Ey.^2);

＞＞Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;

＞＞subplot(1，3，1);

＞＞contour(X，Y，U，＇k－＇)

＞＞axis(＇square＇)，xlabel(＇x＇);ylabel(＇y＇);

＞＞title(＇等量同號點電荷的等位線和電場分布＇);hold on

＞＞quiver(X，Y，Ex，Ey，0.7)

＞＞plot(－l/2，0，＇ro＇，－l/2，0，＇r ＋＇)，plot(l/2，0，＇ro＇，l/2，0，＇r ＋

＇)

＞＞hold off，

＞＞subplot(1，3，2);meshc(X，Y，U);

＞＞subplot(1，3，3);meshc(X，Y，AE)

通過上面的圖示，我們可以看出電場線從正電荷出發，終止在無窮遠處。電場線與等勢線垂直，任何兩條電場線都不相交。當兩個電荷的電量相等時，電場線和等勢線對中垂線是對稱的。

4 結束語

以點電荷的電勢和電場強度模型，用matlab 指令直觀形象地畫出了兩個等量同號點電荷的電場線和等勢線的平面分布，電勢和場強的空間分布。對于上述程序，稍加修改我們也可得到不等量，不同號的點電荷對的電場空間分布。

［1］王明美.一對點電荷電場的matlab 模擬實驗［J］.合肥師范學院學報，2012，30(3).

［2］湯朝紅.利用matla 模擬點電荷對的電場線分布［J］.廣西物理，2012，33(4)

［3］孔祥鯤.基于matlab 構建點電荷系的電勢和電場強度分布圖［J］.實驗技術與管理，2007，24(10)

［4］錢曦旭等著.MATLAB 及其在大學物理課程中的應用［M］.西安:陜西師范大學出版社，2006.