力學在機械工程中的延伸應用

司 建 崔立達

1中航工業河南新飛專用汽車有限公司（453000） 2新鄉市高服篩分機械有限公司（453000）

機械工程設計應用中，我們會遇到各種各樣的問題，如機械產品的系列化設計，在大小不同的型號設計中，我們如何把成熟產品的經驗成功轉移到其他系列產品中。顯然，若機械地采用幾何相似形狀比例放大是不科學的,因為構件尺寸的改變，外部受力環境的變化，其構件的力學強度、剛度、形變、體積、振動頻率等均發生了非比例的變化。再如在大型機械設備設計中，我們可以利用小型驗證機形式來檢驗大型設備的合理性和可行性，那么小型驗證機如何可靠地模擬出大型設備的機械特征，使實驗真實的反映出可靠數據，實踐證明力學模型是一個較為簡便實用的方法，下面就此展開討論。

1 固態線彈性體的相似模擬

首先我們把各式各樣的承載件抽象稱為滿足虎克定律的固態物質構成的連續彈性體,可以假定，當作用于這一物體任一點外力為零時，其任一點的內應力也為零。

設這一受密度等于P1（X,Y,Z）的面積力和密度等于P2(X,Y,Z)的體積力，物體上一點由P1產生的應力、應變、變形分別為 б1、ε1、Y1，由 P2產生的應力、應變、變形分別是 б2、ε2、Y2。

取任一曲面S將物體分離并研究分離體必有下式成立:

б是分離面上的應力，S是分離面面積，F是分離體外表面（不含S），V是分離體所處的空間。

1）如果面積力密度=P1×A,體積力密度=P2×B,則由線性系統的可迭加性知,應力=б1×A+б2×B,應變=ε1×A+ε2×B,變形=Y1×A+Y2×B。

2）當P2=0，面積力密度=P1，物體尺度變為C倍（即物體內任意兩點的距離L均變為BL）時，相當于式1中每一面積均變為C2倍，即下式成立:

從而應力=б1，應變=ε1，因為變形=原始尺寸×應變，故變形=Y1×C。

3）當P1=0，體積力密度=P2，尺度變為C倍時有:

從而 б′=б2×C,即應變=ε2×C,變形=Y2×C″。

4）綜上所述，當面積力密度=P1×A，體積力密度=P2×B, 尺度變為 C 倍時， 應力=б1×A+б2×B×C,應變=ε1×A+ε2×B×C,變形=（Y1×A+Y2×B×C）×C。

假設存在各種不同的應用環境，把不同的參數帶入公式，可得出表1中一些有用的推論。

2 固態線彈性體自由振動的相似模擬

設線彈性體作簡諧、穩態、同步的自由振動,即每點 i的位移均可表示為 Yi=ΣCij×COS(ω0j×t)，ω0j是第j階固有圓頻率(簡稱頻率),我們僅考察其某一階的固有振動。

彈性體內任一無窮小的分離體都在作相同頻率、相同相位的振動。設它的外表面是曲面S,它包圍的空間為V,在ω0j×t=Kπ時,分離體各點的位移即變形達最大值，振幅、加速度也達最大值，而速度=0。研究這一時刻的狀態，使動力學問題形式上變成了僅受體積力和慣性力的靜力學問題。

表1 固態線彈性體的相似模擬

設密度不變,物體尺度變為C倍,求固有頻率ω0j`，設體積力密度不變,即最大振動加速度不變(這一假設并無必要,因為線性系統作自由振動時的振幅與頻率無關，這里僅是為了敘述方便)，由表第6項計算結果得應力變為C倍,變形變為C2倍有下式成立:

結論:線彈性體的固有頻率與尺度成反比，或者說,線彈性體的固有振動周期與尺度成正比。

3 固態線彈性體強迫振動的相似模擬

現將振動器及振動體的尺度變為C倍,而將振動器的工作頻率變為1/C倍，由于振動體的固有頻率也變為1/C倍，故工作頻率與固有頻率之比W不變。

振動器的偏心塊質量變為C3倍，偏心塊的偏心矩變為C倍,從而振動器的偏心質量矩變為C4倍,振動力=質量矩×工作頻率平方,故振動力變為C2倍。

振動器與振動體間的作用力及振動體各構件間的作用力視為面積力，因作用面積也變為C2倍，故面積力密度不變。但因為振動體的質量變為C3倍,而振動力變為C2倍，故慣性力密度變為1/C倍。根據表中計算結果9知應力不變，我們可以計算振動強度的變化，并以振動輸送機械為例加以說明，振動強度=振動加速度/重力加速度。由于振動加速度變為1/C倍，故振動強度變為1/C倍，因此,上述方法雖然可以準確地模擬剛度和強度但不能模擬振動強度K。但對振動輸送來說,模擬為相同的振動強度K是重要的，因為平均輸送速度=A×φ(K)×g/ω，式中A是與槽體角度、振動方向有關的數,g為重力加速度,ω為工作頻率，要使振動強度不變,需要振動力變為C3倍。這時可以采取如下方法:令工作頻率=ω/C0.5,振動力變為C3倍,從而振動強度K不變，模型機的物料輸送速度=真實機的物料輸送速度×C0.5，由此可以計算真實機的產量。

上述計算對于減振彈簧同樣適用，不過重力的影響用這一方法不能模擬，但因在振動機械中重力影響較小，所以,上述結論適用于重力可以忽略的場合。一般說來,我們是用小機器模擬大機器,即C＜1狀況，若材料不變,可以精確模擬剛度，若模擬強度,還須考慮尺寸系數的影響。

4 以上論述的實際用途

1）靜力模擬的應用

如果一機器或結構的構件自身重量和慣性力很小,甚至可以忽略,并且不存在導熱等問題,那么就可以用此種方法設計。比如壓力容器、起重工具、低速傳動件、連接件等，也可以對滿足上述條件的局部按上述方法設計,對其余部分另作考慮。

2）振動機械方面的應用

振動是很復雜的問題，有些問題沒有好的算法,計算機模擬也有不足之處。另外，振動機械往往體積很大，實驗風險和投入的成本都很高。有些機器長達數十米，重達數十噸，故做小模型機試驗很合算。如果做1:10的模型,僅需1/1 000的材料消耗，實驗時電能消耗也較少。如果模型存在問題,修改或重做都簡單，另外,小機器也易控制操作，破壞性試驗的成本也小。