論牛頓對數學與實驗的統一

徐建科

一、牛頓其人

愛因斯坦說：“迄今為止，牛頓關于宇宙的統一概念還不可能被一個同樣普遍的概念所取代。如果沒有牛頓那明晰的理論體系，那么我們至今所取得的成就將是不可能的。 ”［1］215

在牛頓出生之前，近代科學的發展中已存在兩個重要且富有成效的運動：一個是由哥白尼、開普勒、伽利略等人推進的數學運動，另一個稍晚但與此同時也在不斷發展的是由培根、吉爾伯特、玻義耳等人推進的實驗運動。在此意義上，牛頓是一個幸運兒。歷史似乎要在這個關鍵點上產生一位巨人，以便能使這兩種運動有效地結合在一起，這個人只能是伊薩克·牛頓，一個在近代科學中名聲赫赫的人物。

牛頓的天才使他成為這兩個運動的共同繼承者。在一個場合中，牛頓自己評論說：“如果我比別人看得更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上。”的確，他的先驅者們——尤其是伽利略、笛卡兒和玻義耳等都是巨人。他們已經為這個人的心靈的無與倫比的成就鋪平了道路。在這里，他發明所需要的數學工具，借助于它把整個物質宇宙的主要現象歸結為一個單一的數學定律，即萬有引力定律。

近代科學的主要創造性時期是在17世紀。至于前牛頓科學，那在英國和歐陸都與前牛頓哲學屬于同一個運動，科學就是自然哲學。那個時期最有影響的人物既是最偉大的哲學家，又是最偉大的科學家，但主要是由于牛頓本人的工作，兩者之間才逐漸產生一個真正的區分，哲學逐漸把科學看作是理所當然的。

通過他那杰出的科學成就，他深刻地影響了一般有識之士的思想。在他的那些輝煌成就中，最令人驚奇的是，通過把地面上的重力等同于天體的向心運動，他以人類科學的名義征服了天體?？茖W史學家E·伯特說：“牛頓的名字今天是如此之偉大，以至于當我們想描繪18世紀的整個歐洲對他的尊敬和崇拜時，我們都感到有些困難。要是我們篤信那個時代卷軼浩繁的文獻，那么像發現運動定律和萬有引力定律這樣的成就，就表征了心靈的一種無可匹敵的重大勝利，在整個時間歷程中，這種勝利只能落到一個人的頭上，這個人便是牛頓?！保?］

一位研究物理學史的學者指出：他會在英國的天才中看到一位領先人物，這個人發明了某些像微積分之類的富有成效的對于進一步的發展來說是絕對必要的科學工具；他會在那個人那兒發現把實驗方法和數學方法統一起來的第一個清晰的表述。在精密科學隨后的一切發展中，這種統一都得到了示范；他會注意到，在牛頓那兒，積極的科學研究和根本的因果關系問題發生了分離。他接受了力和質量這樣的模糊詞項，但給予它們以作為量的連續統一的精確含義，這樣通過使用這些詞項，主要的物理現象便逐漸服從于數學處理了。正是因為這些顯著的科學活動，牛頓之后一百年的數學和力學的歷史主要是致力于吸收他的工作，并把他的定律應用到各種各樣的現象中去。物體是在他已經定義了的力的作用下在時間和空間中運動的質量，因此我們現在可以按照嚴密數學來完整地說明它們的行為［2］17。

他的科學征服所蘊涵的那種基本的宇宙哲學，他僅僅是接過了他的思想先驅在這些問題上已經為他形成的思想，只是偶爾地在他的個人發現明顯起作用的地方刷新這些思想，或者以使他感到更為愜意的形式略微重塑它們。E·伯特說：作為科學家，牛頓至高無上，“可是作為一位哲學家，他缺乏批判力、粗糙、不一致，甚至可以說是一位二流哲學家?！保?］177至少在他的實驗工作中，牛頓試圖徹底避免形而上學，他說“物理學，當心形而上學呵！”［3］12他討厭假說，他所謂的假說是指不是直接從現象中推導出來的任何東西。

在一個以徹底反叛權威為特征的時代，牛頓享有這一盛譽：他已經成為那個時代的象征，而且只有中世紀晚期的亞里士多德與現代的愛因斯坦才能與之媲美的一個權威。

二、牛頓的數學

在《自然哲學的數學原理》序言的開頭，牛頓就強調了數學方法的重要性：“由于古代人在研究自然事物方面，把力學看得最為重要，而現代人則拋棄實體形式與隱秘的質，力圖將自然現象訴諸數學定律，所以我將在本書中致力于發展與哲學相關的數學?！保?］隨后，牛頓又簡要表述了他的全部研究的科學綱領：“我的這部著作論述哲學的數學原理，因為哲學的全部困難在于：由運動現象去研究自然力，再由這些力去推演其他現象。為此，我在本書第一和第二編中推導出若干普適命題；在第三編中，我示范了把它們應用于宇宙體系，用前兩編中數學證明的命題由天文現象推演出使物體傾向于太陽和行星的重力。再運用其他數學命題由這些力推算出行星、彗星、月球和海洋的運動。我希望其他的自然現象也同樣能由力學原理推導出來。由許多理由使我猜測它們都與某些力有關，這些力以某些迄今未知的原因驅使物體的粒子相互接近，凝聚成規則形狀，或者相互排斥離散。”［4］從這個綱領中，我們不難發現他的工作思路是從運動現象→力→其他現象。這個科學程序是雙重的：從某些基本運動中推導出力，再從這樣知道的力去推演其他運動。我們不知道他是怎樣選取作為他工作出發點的運動現象的（可以猜想，他像伽利略那樣表現出其非凡的天才），然而可以肯定的是，通過假設地上現象與天上現象的同一性，牛頓用他的原理解釋了當時所能知的一切運動現象。這段話同樣也展示了他的研究方法實質上就是采用數學的方法。數學演繹在他那兒起著中心作用，我們也能從他精心選擇的標題即“自然哲學的數學原理”中可以看出，這個標題以簡要的形式充分表示了他的科學工作的根本假定。

牛頓的《普遍算術》包含了他在1673-1683年在劍橋的演講。在該書中，牛頓把算術和代數提升為基本的數學科學，相對于笛卡兒、霍布斯、巴羅等的“普遍幾何”，這就從根本上否定了當時整個西方的數學傳統。前牛頓時期，幾何學一直都是唯一具備資格的數學科學，從某種意義上說，幾何學就等同于數學。天文學、算術和音樂都只是數學即幾何學的一個分支。阿爾法拉比和羅吉爾·培根對于數學科學是按照這樣的秩序排列的：幾何學、天文學、算術、音樂，排在最高等級的理所當然的是幾何學。

可能主要是由于方法論的考慮促使他產生了這種轉變，他發明的微分運算向他提供了一個其操作不可能完全在幾何上加以表達的工具。他同時指出，如要在代數上來處理力學和光學，就必須引進 （代數）符號來表達在數學化簡中所關心的它們的一切性質。

通過把光學現象化簡為數學公式，牛頓又一次證明了數學在他的工作中的重要地位。在其《光學》第一冊中，牛頓說道：“如果允許光學會有這些[光的折射、反射等的]定理，那么就有充分的余地按照一種新的方式來對那門科學進行系統的處理；這種處理不僅要講授那些使視覺達到完美的東西，而且要在數學上決定能夠由折射產生的一切類型的色彩現象。為了要這樣做，沒有什么比找出混合光譜的分離以及它們在每個混合狀態中的各種混合比例更重要的了?！保?］179這兒，牛頓通過把數學方法應用于色彩現象，從而找出“混合光譜的分離以及它們在每個混合狀態中的各種混合比例”。在該書末，牛頓總結道：色彩的科學就像光學的任何其他部分一樣，是一種真正的數學沉思。

三、牛頓的實驗

正如他是一位完美無缺的數學家一樣，牛頓也是一位徹底的經驗主義者。同開普勒、伽利略一樣，他認為“我們工作于可感覺到的效果的原因”。在對其方法的每一個陳述中，他都強調說，我們努力要證明的正是觀察到的自然現象。不僅如此，他還認為，實驗指導和證實必須伴隨這個說明過程的每一步。在給奧爾登堡的一封信中，牛頓強調了實驗的重要性。他說：“進行哲學[指自然哲學——作者按]研究的最好和最可靠的方法，看來第一是，勤懇地去探索事物的屬性，并用實驗來證明這些屬性，然后進而建立一些假說，用以解釋這些事物本身。因為假說只應該用于解釋事物的一些屬性，而不能用以決定它們，除非它能為之提供一些實驗?！保?］笛卡兒、開普勒以及伽利略相信世界從根本上說是數學的，因此用那已臻于完美的數學方法便能完全揭示出它的秘密。可是，對牛頓而言，絕對沒有先驗的確定性。世界就是這個樣子，如果我們能夠在其中發現嚴格的數學定律，那當然很好；如果不能，那我們必須努力發展數學，或者使自己屈從于其他不太確定的方法。牛頓的這種經驗主義的試驗性態度在這里昭然若揭。因而，對牛頓來說，數學之真與物理之真是有區別的。在這點上，他與伽利略、笛卡兒等形成了鮮明對比。當然，伽利略和笛卡兒也不會假設要先驗地解決所有物理問題。一般而言，從那些被接受為自然之結構的根本的數學原理中可以推導出對那些問題的解答，只是當從數學原理中推導出來的結果不一致時，才需要用實驗來加以判定?？蓪εｎD而言，數學必須不斷模仿經驗，只要經過冗長的推導，那么這些推導結果就必須得到物理上的證實。在實驗和數學這兩方面，牛頓更偏重于前者。他似乎比一般的科學家更缺乏信心，因為他不斷要求實驗證實。

在《原理》序言中，牛頓注意到“古代人從兩方面考察力學，其一是理性的，講究精確地演算，再就是實用的。實用力學包括一切手工技藝，力學也由此而得名。但由于匠人們的工作不十分精確，于是力學便這樣從幾何學中分離出來，那些相當精確的即稱為幾何學，而不那么精確的即稱為力學?！保?］牛頓在這兒區分了幾何學和力學，他把精確的部分稱為幾何學，不那么精確的則稱為力學，但它們都來源于一門單一的力學實踐科學，即他所指稱的“實用力學”。他接著又說：“畫直線與圓是問題，但不是幾何學問題。這些問題需要力學來解決，而在解決了以后，則需要幾何學來說明它的應用。幾何學的榮耀在于，它從別處借用很少的原理，就能產生如此眾多的成就。所以，幾何學以力學的應用為基礎，它不是別的，而是普遍適用的力學中能夠精確地提出并演示其技巧的那一部分。不過，由于手工技藝主要在物體運動中用到，通常似乎將幾何學與物體的量相聯系，而力學則與其運動相聯系。在此意義上，理性的力學是一門精確地提出問題并加以演示的科學，旨在研究某種力所產生的運動，以及某種運動所需要的力?！保?］

從這段話可看出，牛頓的經驗主義傾向十分明顯。經驗的和實踐的強調是中心，幾何學是“普遍力學”的一部分，它和其他力學分支一起構成一門單一的關于物體運動的科學，而那門科學原本是為了適應實踐的需要才發展起來的。在給奧爾登堡的另一封信中，牛頓強調了用實驗的方法來判定是非的標準的重要性：“為了決定什么是真理而去對可以解釋現象的各種說法加以推敲，這種做法我不認為是行之有效的，除非我們能把所有這些說法完全列舉出來。您知道，探求事物屬性的準確方法是從實驗中把它們推導出來。我對您說過，我所以相信我所提出的理論是對的，不是由于它來自這樣一種推論，因為它不能別樣而只能這樣，也就是說，不是僅僅由于駁倒了與它相反的假說，而是因為它是從得出肯定而直接的結論的一些實驗中推導出來的。所以考察它的方法，就在于考察我所提出的實驗，是否確實證明了這個理論中應用了這些實驗的那些部分，或者是去進行為理論自身的驗證而提出其他實驗?！保?］10

牛頓認為，判定他的理論對錯的關鍵在于考察他所提出的實驗；要想推翻他的理論，關鍵在于推翻他的實驗。牛頓具體指出下列兩種異議：（1）指出他從實驗中所得出的理論的短處或缺點，以表明他用以判定這些問題的那些實驗是不充分的；（2）去做和他的理論針鋒相對的一些實驗，假如這樣的實驗有可能的話。牛頓最后總結道：如果他所提出的那些實驗有缺點，那么要舉出這些缺點是不會有什么困難的；但是，如果它們是有效的，那么由于證實了他的理論，它們必然會使一切異議變得軟弱無力。

四、牛頓的方法：數學與實驗的統一

牛頓是如何把數學方法與實驗方法統一起來的？同樣是在給奧爾登堡的一封信中，他談到了他在光學（顏色科學）中把數學論證與實驗驗證有機結合起來的一些相關見解：“我確實說過，有關顏色的科學是數學的，并且像光學的任何其他部分一樣是可靠的。但是誰不知道，光學以及許多其他科學一樣都有賴于數學的論證？而且一種科學的絕對可靠性不能超過它的原理的可靠性。我在對這些有關顏色的命題提出證據的時候，接下來就說道，這些證據是從實驗來的，所以只能是物理的，因而這些命題本身只能被視為一種科學的物理原理。假如這些原理確實能夠使一個數學家據以決定一切由折射所引起的顏色現象，并且經過論辯或論證，確實能夠從方式和程度的多少上表明折射把那些原來就帶有幾種顏色的光線分了開來或混合了起來，那么，我認為就應該承認這門顏色的科學是數學的，而且像光學的任何其他部分一樣是可靠的。我有足夠理由相信，這是可以做到的，因為自從我開始認識這些原理以來，我曾為此目的利用它們，并且在這些情況下經常獲得成功。 ”［5］113“一種科學的絕對可靠性不能超過它的原理的可靠性”，而原理的可靠性則需要實驗證據來支持，只有這樣得出的原理牛頓才把它視為一種科學的原理，并且數學家能從這些原理出發推導出一些有效的可供實驗證實的結論。那么，這樣建立起來的科學知識才是可靠的。

從牛頓的更多著作和有關研究詳細而清楚地闡明了他的工作方法。我們可以把他的那套完整的數學實驗方法解析為三個主要步驟：第一步是通過實驗對現象進行簡化，這樣就可以抓住并精確定義現象的那些定量發生變化的特征以及變化的方式；其次是對這些命題進行數學闡釋，這一點牛頓與伽利略采用的方法相同，即用數學方法來表示那些量的變化關系 （包括使用他所發明的新數學工具——微積分）；最后，如他以上所述，還必須對數學推論做進一步的實驗驗證。因此，對牛頓而言，每一個重要的科學步驟的開始和結束都要有細密的實驗工作。我們試圖要理解的總是感覺事實，但如果要使這種理解精確，那么，我們就必須用數學語言來加以描述。因而，我們首先必須用實驗來發現能夠用數學語言加以處理的特征，最后還需要用實驗來證實所得之結論。牛頓在其一般方法論中這樣闡述道：“自然哲學的目的在于發現自然界的結構和作用，并且盡可能把它們歸結為一些普遍的法則和一般的定律——用觀察和實驗來建立這些法則，從而 ［用數學方法——作者按］導出事物的原因和結果。”

牛頓認為，他的方法與先前的任何一種方法，如笛卡兒的或伽利略的方法存在著一個根本差別。伽利略拋棄了按照物理事件的根本原因來進行的說明，支持按照它們的直接方式來進行的說明，但伽利略仍然從前人那里繼承了許多形而上學偏見，他把他的數學方法樹立為一種形而上學，而且在他的工作中不把對感覺到的運動的科學研究與那些更根本的思想明確地區分開來。在笛卡兒那兒，數學形而上學占據著中心，占據著一個支配性的地位?？茖W是由假說構成的，假說的確需要盡可能地用實驗來檢驗和證實，但是在任何時候都可能出現相對立的實驗，因而我們不得不承認科學理論的虛構性。牛頓愿意承認發生例外的可能性，但他并不因此承認科學是由假說構成的。他說“我不構造假說”，他認為假說在科學中毫無地位。在給科茨的一封信中，牛頓談道：“任何不是從現象中推論出來的說法都應稱之為假說，而這樣一種假說，無論是形而上學的或者是物理學的，無論是屬于隱蔽性質的或者是力學性質的，在實驗哲學中都沒有它們的地位。在實驗哲學中，命題都從現象推出，然后通過歸納而使之成為一般。”［5］9譬如引力，引力的本質是未知的，但牛頓認為，科學沒有必要去了解那個本質，因為科學試圖要理解的是它如何作用，而不是它是什么。我們看到，科學的目的在牛頓這里已經完全轉換了，他拋棄了中世紀科學的形上的或神學的追求，轉而追求工具的或實用的目的。

總之，在牛頓看來，科學只是由闡述自然的數學行為的定律構成的，這些定律可以從現象中推導出來，并在現象中得到嚴格的證實。通過對新數學的發明以及對實驗的推崇，牛頓第一次把數學方法與實驗方法有效地統一起來，從而建構起近代科學史上第一個成熟的科學范型。

[1]愛因斯坦晚年文集[M].方在慶，等譯.海口：海南出版社，2000.

[2]伯特.近代物理科學的形而上學基礎[M].徐向東，譯.北京大學出版社，2003.

[3]恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民出版社，1971.

[4]牛頓.自然哲學之數學原理[M].王克迪，譯.武漢出版社，1992.

[5]牛頓自然哲學著作選[M].王福山，等譯.上海譯文出版社，2001.