第二數類Z 的新模型與退火法

童寧江

（臺州科技職業學院 機電與模具工程學院，浙江 臺州 318020）

1 Z 的提出與定義

1874 年，康托爾提出連續統問題[1-3]。至2013 年，問題沒有徹底解決。 針對連續統問題，康托爾提出了第二數類Z（可數集的所有序型組成的集合）。 康托爾證明，Z 是最小不可數集。

2013 年，問題取得突破，突然發現Z 可以是可數集。 這就是Z 的新模型。 7 月20 日，終于給出一個嚴格的證明。 這就是退火法。 新模型與退火法為解決連續統問題，提供了新思路。

2 Z 的通俗解釋

通俗而言：

序數0=0，序數1=1，序數2=2，…，序數w=w0，

序數w+1={0,1,2…，b1}中b1的位置，

序數w+2={0,1,2…，b1,b2}中b2的位置，

以此類推，可得

0,1,2……

w，w+1，w+2，…，

2w,2w+1,2w+2，…，…，

w2，w2+1，w2+2，…，…

這些序數組成的集合簡記{0，1，2，…，w，w+1，w+2,……}。

3 新模型與退火法

定義Z={0，1，2，…，w0，w0+1，w0+2,……}。它的元素是序數。

性質Z 可以是可數集，即可數集可表示為Z 形式。 這就是Z 的新模型。

證明（退火法）：設可數集A 的操作如下：

初始化：變量A0=A，變量J={0}，變量K={0}，變量t=2，變量Y=Φ。

現在，J、K、Y 沿著Z 的元素順序進行擴張。

標記s：j=sup(J)，J=J∪｛j｝，k=sup（K），K∪｛k｝；當j=k＞0 時，t=j，先令j* 接近且小于j，再j=j*，J=Jj，K=Kj，Y=Yj，跳回標記s；Bi（Bi是兩兩互不相交的可數集），每個Bi另記Ai（新符號Ai覆蓋舊符號Ai， 每個符號Bi被清除）；從Aj中取一個元素，記作aj；Y=Y∪{aj}，J=J∪｛j+1｝，K=K∪跳回標記s。

最后，可得集合Y={a0,a1,a2,…，aw0,aw0+1，aw0+2，…}。

因為Y 是可數集A 的無窮子集，所以Y 是可數集。 又因為Y 與Z 一一映射，所以Z 是可數集。 證畢。

4 退火法的演示

設可數集Aj 的操作如下（只給關鍵部分）：

第0 步：從Aj中取一個元素，記作aj；Y=Y∪{aj}等。

…

第w0步：t=j， 先令j* 接近且小于j， 再j=j* 等， 跳回第j步。

現在t=w0，不妨j=10000。

第10000 步：從Aj中取一個元素，記作aj；Y=Y∪{aj}等。

…

…

…

…

5

結束語

康托爾證明，Z 是最小不可數集。 新模型表明，Z 可以是可數集。這意味著，Z 在序數上是集合，在基數上不是集合。為了混淆基數與序數（即統一基數與序數），只好讓Z 無基數。

[1]華萊士.跳躍的無窮[M].長沙:湖南科學技術出版社,2009

[2]朱梧槚.數學與無窮觀的邏輯基礎[M].大連:大連理工大學出版社,2008.

[3]江澤堅,吳智泉.實變函數論[M].北京:高等教育出版社,1998