基于多項式的等高齒錐齒輪時變嚙合剛度建模

劉志峰，張志民，張敬瑩，羅 兵

（北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，北京 100124）

0 引 言

關于對齒輪動力學系統及嚙合剛度的研究，國外主要集中在時變嚙合剛度計算方法的分析上，具有代表性的有 Song He［1］和 Robert G.Parker［2］，他們利用有限元方法計算并獲得了齒輪時變嚙合剛度。還有研究者曾嘗試利用有限元方法建立齒輪時變嚙合剛度的經驗公式，或簡化為與齒輪嚙合頻率同周期的方波函數，具有代表性的有Lin等［3］。國內此方面的研究者主要有唐進元、李潤方、林騰蛟等［4－5］，時變剛度的計算方法也主要采用通用的有限元方法。韓勤鍇等［6］提出一種簡便實用的考慮輪齒延長嚙合作用時的嚙合剛度模型，稱之為“梯形波模型”，給出了該模型主要參數（單齒和雙齒嚙合剛度、提前和滯后嚙合時間）的確定方法。李亞鵬等［7］提出改進的石川公式，為齒輪動力學方程提供一個整體意義上的時變嚙合剛度計算方法。劉國華等［8］提出了反向嚙合剛度的概念，給出了漸開線直齒圓柱齒輪系統反向嚙合剛度的求解過程，推導出在嚙合區間變動及嚙合點沿齒廓不斷變動情況下輪齒嚙合剛度的計算公式。在進行齒輪的動力學分析時，常見的方法是把剛度簡化處理成多階諧波疊加的形式，這種形式只是保證了剛度的變化頻率。

本文針對航空航天機械傳動中用的等高齒錐齒輪，提出采用多項式的形式對等高齒錐齒輪時變嚙合剛度建模進行簡化。并在不同的阻尼、載荷、轉速工況下，將多項式函數展開的剛度模型和多階諧波疊加形式的剛度模型進行分析對比。

1 等高齒錐齒輪時變嚙合剛度原理

理論上，等高齒錐齒輪進行傳動時，嚙合的兩個輪齒在每一瞬間只有一個點相互接觸。由于輪齒表面的彈性變形，這些點沿輪齒齒面法線方向產生位移，于是輪齒之間形成一個橢圓接觸區域，而不再是點接觸的形式。如圖1所示，齒面上連續的理論瞬時接觸點的曲線形成一條接觸軌跡。齒面上實際的接觸區，就是由理論接觸軌跡上的許多瞬時接觸橢圓集合而成［9］。

圖1 實際接觸區域Fig.1 Actual contact area

假設只有一對齒面工作。在嚙合力作用下，輪齒發生兩種形式的變形，即接觸點沿齒面法向的位移和齒面上形成的橢圓接觸區。在某一嚙合點處，已知嚙合點的法向位移p，根據齒輪的幾何形狀和該點的幾何位置可以確定橢圓的具體尺寸。輪齒嚙合剛度隨著接觸區域的變化而變化，接觸區域越大，兩個齒面嚙合在一起的部分越多，越難以繼續產生變形，即剛度值越大。當齒輪傳遞的載荷F較小時，接觸點在齒面法線方向上產生很小的位移Δp，此時接觸橢圓區域很小，嚙合剛度K也較?。划攤鬟f的載荷很大時，形成的接觸橢圓區域變大，嚙合剛度K也隨之變大。綜上分析，可以認為剛度K值由橢圓接觸區域的大小和形狀決定，而橢圓接觸區域又由接觸點沿齒面法向的位移p決定。于是，假設單齒嚙合剛度K是關于接觸點沿齒面法向位移p的函數。

實際情況下，每一次嚙合都有若干個理論接觸點。這些接觸點在各自的齒面上所處的位置不盡相同。它們大體上均勻分布在接觸軌跡線上，有的靠近齒頂處，有的靠近齒根處，還有的靠近齒面中心。把實際中的若干接觸點綜合成一個虛擬的接觸點，稱之為綜合嚙合點。綜合嚙合點在齒面法線方向上的位移和在虛擬齒面上形成的接觸橢圓形狀分別由多個實際接觸點的位移和齒面上橢圓形狀綜合而成。根據上文分析可知，綜合嚙合點的瞬時接觸變形由輪齒的形狀和多個實際接觸點在各自接觸軌跡線上的位置所決定。由于這多個接觸點大體上均勻分布在接觸軌跡線上，所以可以認為綜合嚙合點沿齒面法向的位移可以唯一確定一個接觸橢圓，而與綜合嚙合點在齒面上的位置無關。因此，綜合嚙合剛度是一個關于綜合嚙合點的法向位移p的函數。

2 基于多項式時變嚙合剛度的等高齒錐齒輪動力學方程

圖2為等高齒錐齒輪扭轉振動模型，該模型包含了時變嚙合點、系統嚙合剛度、嚙合阻尼以及靜態誤差。非線性雙自由度純扭轉振動系統簡單描述了齒輪轉動過程中齒對嚙合的動力學特性，時變剛度引起動態穩定問題。該模型主要由兩個圓盤與一個彈簧、一個阻尼器和一個靜態誤差組成。圓盤代表齒輪的慣性質量，彈簧代表齒輪嚙合剛度，阻尼器代表輪齒的嚙合阻尼。

圖2 等高齒錐齒輪扭轉振動模型簡化圖Fig.2 Simplified figure of torsion and vibration of high－spiral bevel gear

雙自由度動態模型（主動輪p，從動輪g）轉動方程為

式中:e為靜態傳遞誤差；c為嚙合阻尼；k為嚙合剛度；λp和λg為嚙合點半徑；Ip和Ig為齒輪的轉動慣量；θp和θg為齒輪轉動角度；Tp和Tg為齒輪的轉動力矩。

動態傳遞誤差定義為

式中:cm為平均嚙合阻尼；km為平均時變嚙合剛度；動態誤差p＝δ－e，e＝f′zzccos（ωt＋φ），f′zzc為齒輪等級精度影響齒輪副齒頻周期誤差的公差值。

3 時變嚙合剛度模型

嚙合剛度分以下三種情況討論。

3.1 平均嚙合剛度值

齒厚b＝40mm，根據機械振動手冊［10］齒輪傳動中齒輪副的平均嚙合剛度km與重合度ε＝1.6和軸向重合度εl＝0.6的函數關系圖查得平均嚙合剛度實測值，該實測值經過合理處理得

3.2 簡諧波疊加形式的齒輪動力學數學模型

在進行齒輪動力學分析時，沿輪齒齒面法線方向的位移p是一個重要的待求量，其數值大小直接影響了齒輪的振動強度、疲勞及磨損。所以，在進行齒輪系統動力學分析時建立的振動方程常常是以p為未知量的一元二次微分方程。以文獻［11］為例，最終化簡得到的振動方程形式為

在分析方程時需要建立合理的剛度、阻尼、誤差模型，在傳統的文獻中［12－14］，多數把它們表示為多階簡諧波疊加的形式。典型的剛度模型建立方法如下:

在求解時由于計算量的限制，往往只取第一階簡諧波。同理，建立起來的阻尼cm和靜態傳遞誤差e的模型具有類似的形式［12］。

式中:齒輪的嚙合頻率ω＝nπz／30，k0＝1，kaj＝0.2。

3.3 多項式時變嚙合剛度模型

根據等高齒錐齒輪嚙合剛度的變化規律，齒輪嚙合剛度的大小與嚙合區域的形狀及位置有直接關系。在任一時刻，嚙合區域中心點的位置和嚙合面積的大小直接決定了嚙合剛度。一對輪齒接觸時，在嚙合力的作用下，沿齒面法向的彈性位移p越大，嚙合面積也就越大。因此，彈性位移p的值一定程度上對齒輪綜合嚙合剛度起決定作用?；谏衔姆治?，假設嚙合剛度k′m關于沿齒面法向位移p的函數關系具有多項式的形式:

式中:K′i為剛度影響系數，i＝0，1，2，…。

得到的嚙合剛度值中，只有前幾項系數K′0，K′1，…，K′n，起較大作用，因此計算分析時只研究前幾項即可:

式中:A和B為多項式的系數，其數值為

A和B的數值是根據時變嚙合剛度第一種情況:輪齒嚙合剛度參考值計算得到的，計算依據是在某一段位移p中使剛度值在一定范圍內，使得k2和k3可以進行比較，如圖3所示。

圖3 剛度的范圍Fig.3 Range of stiffness

如圖4所示，將圓錐齒輪模型簡化為圓錐臺，C為嚙合點，r代表嚙合半徑。主動輪的參數a＝20，b＝86，h＝35，r＝74；從動輪的參數a＝47，b＝86，h＝35，r＝74。轉動慣量Ip＝1.0695×104、Ig＝8.6556×103，等效質量me＝0.8736 kg。

圖4 擺線錐齒輪簡化成的圓錐臺模型Fig.4 Cone model of high－bevel gear

4 理論仿真分析

在未說明的情況下，所用到的相關數據為:齒輪等級為7級精度［15］，齒數z＝29，阻尼耗散因子系數cg＝0.05，振動頻率ω＝nπz／30，K1代表時變嚙合剛度參考值模型，K2代表多階簡諧波疊加形式的剛度模型，K3代表多項式形式的剛度模型。

4.1 K1、K2、K3 的時域響應計算比較

圖5 K1、K2、K3 的時域響應圖Fig.5 Time－domain response of K1，K2and K3

將剛度模型分別代入齒輪動力學方程中，用龍格庫塔算法ode45函數計算，用計算結果得出時域響應圖。其中由于剛度模型K1是常量，所以計算結果只取最終恒定值做時域響應分析。圖5中紅色線代表K1，綠色線代表K2，藍色線代表K3，K3與K1圖形變化趨勢相同，K2呈余弦形式振動，K3和K1振動程度隨著時間變化趨于穩定，并都趨于一條平衡線，齒輪隨著轉速n的增加而引起的振動更加劇烈，隨著負載扭矩T的增加，這種振動程度減弱，表1為在不同轉速、負載扭矩下最大振動位移K3、K2與K1的比較，可以看出K3與時變嚙合剛度的參考值模型K1的最大振動位移差值不超過20%，而K2與K1的最大振動位移差值則在20%以上?？梢钥闯鯧3的最大振動位移差值的百分比小于K2的百分比值，K3更加平穩。

表1 不同轉速和負載扭矩下最大振動位移的比較Table 1 Comparison of maximum vibration displacement under different speed and load torque condition

4.2 K1、K2、K3 的時域響應趨于穩定時間比較

由于轉速和負載扭矩的大小對齒輪振動趨于穩定所用的時間影響不大，為了便于分析比較，取轉速n＝500r／min、負載扭矩T＝2200N·m，比較K3和K2在不同阻尼耗散因子系數下，齒輪振動趨于穩定的時間。表2給出了3種剛度模型在不同阻尼系數下，振動趨于平衡的時間以及趨于平衡時間差值的百分比，可知K3的平衡時間更接近于K1，K3的振動趨于平衡的時間差值百分比要比K2小，尤其是在小阻尼情況下這種情況更明顯。

表2 在n＝500r／min和T＝2200N·m及不同阻尼耗散因子系數下趨于穩定時間的比較Table 2 n＝500r／min，T＝2200N·m，comparison of stable time under different damping coefficient

5 結 論

（1）本文基于多項式函數展開的剛度模型建立了等高齒錐齒輪動力學方程。從轉速、負載扭矩、阻尼因子系數方面對基于多項式函數和基于多階簡諧波疊加函數展開的剛度模型進行仿真比較分析。

（2）基于本文方法得出的數據可以看出:基于多項式函數展開的剛度模型振動變化更加平穩。

（3）從本文方法仿真分析可知:基于多項式函數展開的剛度模型的振動變化模擬更加精確（趨于振動平衡時間差值比較小，尤其是在小阻尼的情況下），更貼近于時變嚙合剛度參考值剛度模型。

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