基于人工蜂群算法的波達方向和多普勒頻率聯合估計

張志成，林 君，石要武，孫曉東

（1.吉林大學 通信工程學院，長春 130012；2.吉林大學 儀器科學與電氣工程學院，長春 130061）

0 引 言

近年來，波達方向（DOA）和多普勒頻率聯合估計技術在多個領域引起了廣泛的關注和研究，但估計精度、運算量和參數配對等問題一直是DOA和多普勒頻率聯合估計算法的主要制約因素。現有的DOA和多普勒頻率聯合估計方法大多由一維的子空間分解類算法發展而來。文獻［1－5］基于ESPRIT算法實現了對DOA和多普勒頻率的聯合估計，雖然其中一些算法實現了參數的自動配對，但其無法達到最佳的估計精度，且只適用于均勻線陣的情況，在低信噪比或采樣快拍數較小的條件下，其參數估計性能較差。文獻［6］提出了一種簡單有效的頻率－空間－頻率（FSF）的樹狀結構，利用三次一維 MUSIC／ESPRIT算法實現了對DOA和多普勒頻率的聯合估計，且參數可以自動配對，但該方法得到的估計結果依然不是最優估計。最大似然方法是一個性能優良的最優估計方法，但其求解過程需要進行非線性的多維搜索，大大增加了算法的復雜度。文獻［7］利用最大似然方法實現了DOA和多普勒頻率的聯合估計，并將多維最優化問題轉換成多個一維最優化問題，簡化了計算，但其估計誤差較大且需要額外的參數配對運算。文獻［8－9］利用重要性采樣技術降低了求解似然函數最大值的計算量，并實現了DOA和多普勒頻率的參數自動配對，但其需要根據信噪比的不同而不斷調整重要性采樣函數，且算法所需要的控制參數較多，不利于實際應用。

本文將狀態空間模型和最大似然方法相結合，提出了一種基于最大似然方法的DOA和多普勒頻率聯合估計算法。利用狀態空間模型能夠分析和處理時變系統的特性，將待估計的參數轉換到狀態空間模型的系統矩陣中，利用Hankel矩陣構造數據協方差矩陣來抑制噪聲，進而通過最大似然方法得到信號角度和多普勒頻率的估計值，并利用人工蜂群算法對似然函數求解進行優化。該方法可得到漸近無偏的參數估計，參數能夠自動配對，且大大減小了最大似然方法的計算量。

1 角度和多普勒頻率聯合估計

1.1 接收數據模型

假設接收陣列為具有M個陣元的線列陣，以陣列的第一個陣元作為基準，陣元間距為（0，d1，…，dM－1），共有P個遠場窄帶信號源，其中M ＞P，設波達方向為 （θ1，θ2，…，θP），且假設所有的信號都具有相同的載頻，則陣列接收到的信號可寫為

式中:v（t）為復噪聲向量，假設為高斯白噪聲；sp（t）為信號的復包絡，可寫成sp（t）＝αpej2πfpt，其中αp為復幅度，fp為第p個信號源的多普勒頻率；θp為第p個信號源的到達角度；a（θp）表示θp的方向向量，其定義為

式中:fc為信號的載頻；c為信號傳播速度。

利用歸一化頻率來描述多普勒頻率，式（1）可寫成下列矩陣形式

由此可以得到如下形式的狀態空間模型

式中:ωp＝2πfp。

1.2 信號參數的估計

為了對噪聲進行抑制，并能夠準確地對波達方向和多普勒頻率進行估計，本文方法從構造Hankel矩陣開始。

定義陣列接收數據和噪聲數據Hankel矩陣如下

式中:N、K分別為構成Hankel矩陣的行數和列數；N＋K為采樣快拍數。

定義信號采樣向量為

則式（4）（5）的狀態空間模型可以被寫成

式中:ΓK為廣義可觀測矩陣，其具有如下的形式

式（10）具有與陣列接收數據矩陣相同的形式，其可被定義為一種經過擴展的陣列接收數據矩陣。Hankel矩陣Y可表示為采樣快拍數為N的陣列接收數據矩陣，其每一列可被視作一次采樣，則式（10）可寫作

式中:ΓK已包含了待估計的角度和多普勒頻率信息。

取觀測數據Y（n）的對數似然函數:

式（13）是一個關于未知參量θ、ω、σ2和S（n）的非線性函數，其中未知參量σ2和S（n）的確定性最大似然估計分別為

式（16）的求解需要通過非線性多維搜索實現，由于ΓK是包含DOA和多普勒頻率信息的已知結構矩陣，因此在搜索過程中可實現DOA和多普勒頻率的自動配對。

2 似然函數的全局優化

2.1 人工蜂群算法

人工蜂群算法（Artificial bee colony alogrithm，ABCA）是一種基于群體智能的啟發式搜索算法［10－11］，它模仿自然界中的蜂群總能尋找到最好的蜜源這種行為，具有控制參數少、易于實現、計算簡潔等優點，在求解組合優化、多峰函數求極值等問題中顯現出了優良的特性。

人工蜂群算法將蜜蜂種群分為三部分:采蜜蜂、待工蜂和偵察蜂。對于函數優化問題，蜂群中的每個采蜜蜂對應著一組解。開始搜索時，由偵察蜂隨機搜索解空間內的解，然后偵察蜂變成采蜜蜂，將所搜索到的解按照由好到壞（根據適應度函數的高低）排序，并對其鄰域進行搜索。如果鄰域搜索到的解優于現有的最優解，則替換現有的解，反之則保持現有的解不變。在所有的采蜜蜂都完成鄰域搜索后，采蜜蜂將所搜索到的解信息與待工蜂共享。待工蜂根據一定的概率選擇采蜜蜂進行鄰域搜索，適應度高的采蜜蜂吸引更多的待工蜂。待工蜂搜索到的鄰域解與采蜜蜂的現有最優解進行比較，如果優于現有最優解則替換該解；反之則保持現有解不變并繼續進行鄰域搜索。鄰域搜索不能無限制地進行，當搜索達到一定次數但搜到的解仍沒有改善時，這組解將被放棄，所對應的采蜜蜂變成偵察蜂重新開始隨機搜索一組新的解。

在人工蜂群算法中，三種不同蜜蜂扮演了各自不同的角色。采蜜蜂用來保持優良的解集；待工蜂用來加快全局最優化的收斂速度；偵察蜂有助于跳出局部最優解。整個蜂群分工協作，直到找到全局最優解。

2.2 基于人工蜂群算法的似然函數優化

假設蜂群總數為LS，其中采蜜蜂和待工蜂數量分別為LE和LO（令LE＝LO），搜索維數為2P，角度和多普勒頻率的搜索范圍分別為（－90°，90°） 和 （－π，π）。每一組解（i＝1，2，…，LE）為一個2P維的向量，所有的初始化解均由偵察蜂按照下面的公式進行隨機搜索

式中:Xmin和Xmax分別為搜索范圍的最小值和最大值；β為在（0，1）范圍內的隨機數。由此可以得到初始解集X2P。

偵察蜂在完成初始化搜索后轉變為采蜜蜂，并進行鄰域搜索。鄰域搜索可按照下式進行:

式中:ca和cb為在（0，1）范圍內的概率系數，其取值大小將決定待工蜂選擇變為采蜜蜂的概率。適應度高的解將吸引更多的待工蜂，適應度低的解將吸引少量的待工蜂或者根本吸引不到待工蜂。

如果某一組解經過一定次數的鄰域搜索仍然無法提高其適應度，該組解將被放棄，其所對應的采蜜蜂將轉變為偵察蜂重新隨機搜索一組新的解。

按照以上的步驟進行迭代，最終將得到適應度最高的一組解，該組解即為使似然函數最大的一組角度和多普勒頻率的估計值。

2.3 計算量分析

最大似然算法需要通過多維網格搜索實現，其計算復雜度為O｛［（θmax－ θmin）（ωmax－。其中，（θmin，θmax）和Δθ分別為角度搜索范圍和搜索步長；（ωmin，ωmax）和Δω分別為頻率搜索范圍和搜索步長。利用人工蜂群算法實現參數估計的計算復雜度約為O（2PLSIN＋LS）。其中，LS和IN分別為蜂群數量和迭代次數。

表1給出了兩種算法在不同信源數情況下的計算量比較。其中，角度搜索范圍和搜索步長分別選取 （－90°，90°） 和0.5°；頻率搜索范圍和搜索步長分別選取 （－π，π）和0.01rad；蜂群數量和迭代次數分別選取100和200。

表1 網格搜索與人工蜂群算法計算量比較Table 1 Computation load comparison of grid search and artificial bee colony algorithm

由表1可以看出，人工蜂群算法的計算量遠小于網格搜索，特別是當信源數增加時，網格搜索的計算量呈指數增長，而人工蜂群算法的計算量呈線性增長。當信源數較多時，人工蜂群算法的優勢更加明顯。

3 仿真驗證

仿真實驗采用線列陣，陣元數M＝10，采樣快拍數為100。在高斯白噪聲背景下，采用100次獨立Monte Carlo實驗，以如下均方根誤差（RMSE）作為衡量算法性能的標準:

實驗1 分別采用人工蜂群算法、微分進化算法和遺傳算法對似然函數進行優化求解。由于種群數量和迭代次數是決定群體智能優化算法的關鍵參數，分別選取相同的種群數量和迭代次數可使以上三種優化算法的計算量大致相等。因此，選取種群數量為50，迭代次數為100次。仿真實驗取入射信號數P＝2，入射信號的入射角度分別為（20°，30°），入射信號的歸一化多普勒頻率分別為（0.7，0.9）。

圖1和圖2分別給出了三種算法在信噪比變化時DOA估計和多普勒頻率估計的均方根誤差的變化。從圖1、圖2中可看出，人工蜂群算法能夠很好地實現對似然函數的優化，每次優化均可以找到似然函數的最大值，具有很好的魯棒性。對于微分進化算法和遺傳算法，由于種群數量和迭代次數的限制，算法無法保證每次都能找到全局最優解，要想獲得更好的函數優化性能，必須增加種群數量和迭代次數，這將大大增加算法的計算量。由此可見，人工蜂群算法可以用較小的計算量實現對似然函數較精確的求解。

圖1 不同優化算法DOA估計均方根誤差比較Fig.1 RMSE of DOA estimation compared with other optimization methods

圖2 不同優化算法頻率估計均方根誤差比較Fig.2 RMSE of frequency estimation compared with other optimization methods

實驗2 選取兩個較具代表性的DOA和多普勒頻率聯合估計算法:JAFE［5］算法和 FSFMUSIC［6］算法，與本文算法進行比較。由于以上兩種算法只適用于均勻線陣，故采用均勻線陣對算法進行仿真。考慮入射信號數P＝3的情況，信號源的波達方向分別為（20°，30°，40°），信號源的歸一化多普勒頻率分別為（0.7，0.9，1）。圖3和圖4分別給出了三種算法在信噪比變化時DOA估計和多普勒頻率估計的均方根誤差的變化。從圖3、圖4中可以看出，本文算法的估計性能優于其他兩種算法，尤其在低信噪比下，本文算法能夠更早地貼近克拉美羅界。這主要得益于本文所使用的最大似然方法可得到漸近無偏的參數估計。

圖3 不同聯合估計算法DOA估計均方根誤差比較Fig.3 RMSE of DOA estimation compared with other joint estimation methods

圖4 不同聯合估計算法頻率估計均方根誤差比較Fig.4 RMSE of frequency estimation compared with other joint estimation methods

實驗3 考慮三個入射信號源中的兩個信源參數比較接近的情況。信源參數選擇如表2所示，取SNR＝0dB，對JAFE算法、FSF－MUSIC算法和本文算法的估計性能進行比較。由表2可見，本文算法能夠比較準確地區分出各個信源的波達方向和多普勒頻率信息，而其他兩種算法的參數估計性能均受到了不同程度的影響，不能夠準確分辨出參數比較接近的信號源。

表2 信號參數較接近時的RMSETable 2 RMSE when parameters are close

4 結束語

針對波達方向和多普勒頻率聯合估計問題，將人工蜂群算法與最大似然估計相結合，提出了一種基于人工蜂群算法的DOA和多普勒頻率聯合估計方法。該方法利用狀態空間模型將所要估計的參數轉換到廣義可觀測矩陣中，再通過最大似然方法得到信號到達角和多普勒頻率的估計。由于求解似然函數計算量巨大，本文將人工蜂群算法應用于似然函數的優化求解中，大大減小了算法的計算量。與其他DOA和多普勒頻率聯合估計算法相比，本文方法具有估計精度高、控制參數少、魯棒性好、參數自動配對等特點，且在低信噪比和小樣本下依然能夠得到較滿意的估計結果。

［1］Haardt M，Nossek J A.3－D unitary ESPRIT for joint 2－D angle and carrier estimation［C］∥IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，Munich，1997.

［2］Lemma A N，van der Veen A J，Deprettere E F.Joint angle－frequency estimation using multi－resolution ESPRIT［C］∥IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，Seattle，1998.

［3］Viberg M，Stoica P.A computationally efficient method for joint direction finding and frequency estimation in colored noise［C］∥The Thirty－Second Asilomar Conference on Signal，Systems and Computers，Pacific Grove，1998.

［4］Lemma A N，van der Veen A J，Deprettere E F.A－nalysis of ESPRIT based joint angle－frequency estimation［C］∥IEEE International Conference on A－coustics，Speech and Signal Processing，Istanbul，2000.

［5］Lemma A N，van der Veen A J，Deprettere E F.Analysis of joint angle－frequency estimation using ESPRIT［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）:1264－1283.

［6］Lin Jen－der，Fang Wen－hsien，Wang Yung－yi，et al.FSF MUSIC for joint DOA and frequency estimation and its performance analysis［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54（12）:4529－4542.

［7］Atheley F.Asymptotically decoupled angle－frequency estimation with sensor arrays［C］∥The Thirtythird Asilomar Conference on Signal，Systems and Computers，Pacific Grove，1999.

［8］王惠剛，劉強.多普勒方位聯合估計的蒙特卡洛算法［J］.電子學報，2009，37（9）:1965－1970.Wang Hui－gang，Liu Qiang.A Monte Carlo method for joint estimation of Dopplers and DOAs［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37（9）:1965－1970.

［9］Wang Hui－gang，Steven Key.Maximum likelihood angle－Doppler estimator using importance sampling［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems，2010，46（2）:610－622.

［10］Karaboga D，Basturk B.A powerful and efficient algorithm for numerical function optimization:artificial bee colony （ABC）algorithm［J］.Journal of Global Optimization，2007，39（3）:459－471.

［11］Karaboga D，Basturk B.On the performance of artificial bee colony（ABC）algorithm［J］.Applied Soft Computing，2008，8（1）:687－697.