基于虛擬支點倒立擺模型的雙足機器人質心軌跡規劃

趙九洲， 居鶴華， 王 恒

(北京工業大學深空機器人研究中心，北京100024)

人類的直立行走是一種能效很高的運動，相比四足運動與其他步行方式，直立行走可以節省大約75% 的能量［1］。目前，大部分基于主動行走方式的仿人機器人遠達不到這一效率，因此很多學者轉而研究被動步行領域，并取得了一定的成果［2-3］。但是，這種方式與主動方式相比機器人的穩定性和靈活性很差。如何將這兩個方面的成果有機結合，進而在保證穩定性和靈活性的前提下實現與人類接近的能耗是當前的研究熱點。

很多學者認為導致主動方式能耗過高的主要原因是驅動方式不符合人類的生物力學特性［4］，但這只是部分原因，步行模式與抗擾性策略也是影響步行能效的兩大因素。

文中主要探討步行模式與能效的關系，從傳統的線性倒立擺步行模型與被動步行的原理出發，以期找到一種可以有效結合這兩種方式各自優點的替代方案用于主動步行機器人。

1 線性倒立擺規劃方法分析

基于線性倒立擺模型與質量小車模型的步行規劃方法是目前最為成熟的規劃方法，這兩種方法本質上是一致的，很多著名仿人機器人均采用這種方法，如 ASIMO，HRP，P1 等［4］。為了研究雙足機器人的能耗特性，首先分析線性倒立擺的運動特點。

需要注意的是，采用簡化模型的前提是保證運動繞質心的角動量近似守恒［4］，此時才能保證零力矩點(Zero Moment Point，ZMP)與倒立擺的支點一致，這與實際工程需要和人類的正常步行中的情況很接近。

1.1 線性倒立擺的數學模型及運動特性

線性倒立擺的基本原理如圖1所示。

圖1 線性倒立擺模型Fig.1 Linear inverted pendulum model

圖1 中伸縮桿產生的作用力f豎直方向上的分量恰好補償重力，因此質心只沿水平方向運動，自由度可以由水平位移x表示，由此推出線性倒立擺的動力學方程為

由于z0不變，因此可以解出x軌跡為

其中，sh()與ch()表示雙曲正弦 /余弦，進一步可以求得系統從一個狀態到另一個狀態的過渡時間

線性倒立擺需要滿足一定的初值條件才能從初始位置擺過支點的正上方，對應的機器人才能成功地邁到下一步，這個特性稱為軌道能量特性［4］(線性倒立擺的軌道能量是恒定的)。當初速度不夠或者初始位置離平衡點過遠時，質點未到達支點上方動能就下降為0，此時就無法擺過平衡點。具體而言，就是要求軌道能量E大于0，即

1.2 基于線性倒立擺的規劃方法

機器人的步行規劃需要滿足兩個條件:①保證質心能夠從初始位置出發順利過渡到下一步的初始位置;②保證腳掌的壓力中心點在這一過程中能夠基本保持在支撐凸多邊形中，從而保證機器人不會沿著多邊形邊緣進行非預期的翻轉［5］。壓力中心也稱零力矩點，其定義、原理以及計算與測量方法見文獻［6］。

當為機器人設定了步長S與步行周期TS后，可以很容易利用線性倒立擺的特性及對稱性原則對機器人的質心軌跡進行規劃，同時滿足上面的兩個條件。

線性倒立擺規劃方法如圖2所示。

圖2 線性倒立擺規劃方法Fig.2 Linear inverted pendulum planing method

根據對稱性原則，倒立擺在步行周期開始和結束時刻的位置為-S/2和S/2，初始和結束時刻的速度相等，根據式(3)可求出:

將求得的速度與半步長作為初始條件求得如圖3所示的質心位置與速度軌跡。

圖3 線性倒立擺規劃軌跡Fig.3 COM trajectory by LIP planing method

由圖3可以看出，當質心位于支點正上方時，速度達到最小值，此時系統的機械能最小;而后，系統逐漸加速，直到與初速度相同。

1.3 線性倒立擺的能量特性分析

由式(1)可以看出，質心的加速度與位置是成正比的，這是一個典型的正反饋系統，因而不能用被動的彈簧阻尼系統進行等效，所以它的機械能不守恒。其機械能曲線如圖4所示。

圖4 線性倒立擺的機械能曲線Fig.4 Mechanical energy of LIP

由式(4)可以求出系統在初始時刻與周期中點之間的動能差

伸縮桿的正反饋特性使其在這一過程中無法儲存能量，因此需要從驅動器獲取的能量實際為式(6)的2倍。

考慮無量綱能量:

可以求出，這一過程中需要輸入的無量綱化能量為

可以看出，輸入能量是和步長與質心高度的比值成正比，當步長相對于質心高度越大，損失能量也就越多。

反觀人類的步行方式，會發現人類在行走過程中其質心高度是起伏不斷的［7］，具體如圖5所示。

圖5 人類自然步態Fig.5 Natural gait of human

在單腿支撐相類似于一個固定桿長的被動倒立擺，在擺動過程中，動能轉化為重力勢能以保證滿足步行規劃的2個基本條件。其機械能是近似守恒的，這樣質心在擺動過程中需要輸入的能量近似為零，所以人類的步行模式效率要遠高于線性倒立擺規劃出的步態。

2 虛擬支點倒立擺規劃方法

人類在單腿支撐相的運動軌跡類似于近似被動特性的倒立擺的運動，若將其應用到主動步行的雙足機器人上面，這樣既可以得到與人類接近的步態與效率，又可以應用主動步行領域取得的成果。

2.1 被動倒立擺的數學模型及運動特性

被動倒立擺的基本原理如圖6所示。

圖6 被動倒立擺的模型Fig.6 Passive inverted pendulum model

由圖6可以看出，在運動過程中，支撐桿的長度是固定的，因此質點在重力與支撐力的作用下進行變速圓周運動，由于質點的高度不是固定的，因此不能用x坐標作為系統的自由度，取z軸轉到支桿之間的角度作為系統的自由度。

在運動過程中，重力對于支點產生一個力矩，而支撐力對支點的力矩為0，由角動量定理可以推出系統的動力學方程為

該方程與線性倒立擺的動力學方程很接近，尤其是當角度范圍在0附近變化不大時。所以，線性倒立擺可以作為機器人步態規劃的一個有力工具。

和線性倒立擺類似，質點的初速度也需要滿足一定的初始條件才能保證順利地度過最高點。通過動能定理可以很容易求出這個初始條件:

可以證明，根據式(9)所求出的最小值對應的質點速度總是小于由式(4)所求出的速度。

求解式(9)可以得到

為了擺過支點，初始能量勢必大于最高點的勢能，因此式(11)等號左邊是一個非初等積分，導致這個微分方程沒有初等解。利用數值方法可以很容易的求解出這個微分方程的解軌跡，但數值方法求解速度較慢，故采用MATLAB中ODE45方法對其進行求解，結果如圖7所示。

圖7 被動倒立擺的解軌跡Fig.7 Solution of PIP

由圖7可以看出，這個解軌跡與線性倒立擺的解軌跡在局部(縱軸0點附近)是很接近的，因此可以利用線性倒立擺的某些結論對被動倒立擺進行估算。

2.2 虛擬支點倒立擺模型

在運動過程中，被動倒立擺的機械能是恒定的，與人類的步態類似。然而直接利用被動倒立擺模型進行步行的運動規劃時，會遇到一定的困難。

以踝關節作為倒立擺的支點，在擺動過程中保持支撐腿伸直，基于被動行走原理的機器人大多采取這一方式，這是一種最省能量的方式，得到的運動軌跡如圖8所示。

圖8 直腿規劃Fig.8 Straight leg gait planning

由圖8可以看出，這種方式得到的ZMP位于支桿的延長線與地面的交點上，在運動過程中，從腳的前部移動到腳跟，這與人類實際步行過程中的ZMP的運動方向正好相反，而且在支撐后期ZMP有可能脫離支撐腳的范圍，造成機器人繞腳跟翻轉。

圖9 虛擬支點倒立擺模型Fig.9 Virtual pivot inverted pendulum planing model

由此推測，與人類質心軌跡對應的倒立擺并不是繞踝關節旋轉的，為了使ZMP曲線更加接近人類步行時的特性，也為了提高穩定性，文中提出了一種虛擬支點倒立擺模型，具體如圖9所示。在這種模型中，倒立擺的支點是位于地面之下的一個虛擬點，當質心從起始位置擺動到終止位置時，ZMP點恰好由腳跟移動到前腳掌位置，這與人類實際步行時ZMP點的軌跡十分相似;并且在這一過程中，機械能是近似守恒的。需要注意的是，這種方法求出的運動模式中，膝關節不是完全伸直的，而是近似伸直的，因而這種方法的效率不如直腿規劃的效率高，但它的穩定性更好，也更符合人類行走的特點。

同時需要指出的是，人類在單腿支撐階段的初始位置和結束位置不是完全對稱的，人類腳的結構也不是依踝關節前后對稱的，甚至人類左步與右步也非完全對稱，因此作者認為非對稱性規劃方式應該作為下一步研究的重點。

2.3 虛擬支點倒立擺運動狀態的估計

虛擬支點倒立擺與被動倒立擺的動力學方程是一致的。但這種微分方程式是沒有初等解的，因而對于直接利用倒立擺方程求取步行參數造成了一定的困難。

直接利用數值方法求解微分方程雖然可以精確估算出質點的運動狀態，但計算效率并不高，而且這種沒有解析形式的軌跡也沒有便捷的方法估計系統從一個狀態過渡到另一個狀態的時間。因此，文中希望將線性倒立擺已有的結論應用到倒立擺模型中。

解軌跡與線性倒立擺的解軌跡在局部［0，x］附近是很接近的(x滿足令角度在0的值與角度在x的值是一對相反數)，這是由于當倒立擺處于0點附近時，有

由式(9)可以推出:

它與式(1)是相同形式的，因此由(2)式可以推出

同時，當給定步行時間與步幅，利用式(5)和式(3)，可以推出滿足該條件的初始角速度

為了驗證式(14)的有效性，采用不同過渡時間、初始角度以及擺長的倒立擺模型，分別用ODE45與式(14)中的表達式進行計算，得到的結果如圖10～圖12所示。

由圖10～圖12可以看出，只有初始角度的變化對擬合程度的影響最大，當初始角度在20°以內時，采用上述的估算是得到的結果是基本一致的。

對于不同的初始角度，利用式(15)求取的初速度存在一定的偏差;隨著初始角度的增大，初速度估算往往偏小，導致不能回到原來的角速度。因此，在實際使用中利用下式估算初始角速度:

所得結果如圖13所示。

圖13 倒立擺軌跡估計Fig.13 Estimation of solution of VPIP

由圖13可以看出式(14)與式(16)可以比較準確地根據步長與過渡時間估計初速度與角度。

2.4 基于虛擬支點倒立擺模型的雙足機器人步行規劃方法

當給定了步幅、過渡時間、ZMP在腳掌上的運動范圍、質心初始高度后就可以根據平衡性原則計算出虛擬質點倒立擺的初始角度，初始速度以及擺長，進而算出質心軌跡(見圖14)。在實際應用中，需要保證質心軌跡滿足機器人機構的運動學約束。

圖14 虛擬支點倒立擺規劃Fig.14 VPIP planning method

可以求出:

由此可以求出質心軌跡為

基于虛擬支點倒立擺模型規劃出運動，其質心在初始與結束時刻的速度大小相等但方向不同，因此有必要引入雙腿支撐階段以保證速度平滑地從結束時刻過渡到下一個開始時刻。設定雙腿過渡時間為td，為簡化計算，假設在此過程中豎直方向的速度分量均勻變化，并忽略地面以及腿部的碰撞、緩沖與儲能作用，以求取在這一過程中系統最多需要輸入多少能量，則時間段的中點恰好為系統機械能最低點。由此可以計算出系統在雙腿階段的初始機械能與中點的機械能之差:

考慮到

總消耗能量為式(20)的2倍，將其無量綱化得

為簡化式(22)，設

則式(22)可簡寫為

3 數值仿真

為了驗證虛擬支點倒立擺規劃出的運動效率，文中選取了一組與人類步態接近的質心高度、步幅、腳長及步行周期，分別比較其相對于采用同樣參數的線性倒立擺規劃出運動的效率。所選參數見表1，需要注意的是線性倒立擺與虛擬支點倒立擺對應的初始角度是不一致的，為了區別取線性倒立擺的初始角度為φ0。

表1 數值仿真參數Tab.1 Parameters of numerical simulation

根據式(14)可以求出系統的運動方程為

由式(19)可以計算出質心的運動軌跡為

根據2.4中假設，在雙腿支撐階段，有

由此可以推出雙腿階段的質心軌跡為

起點值可由步行參數求出，代入后得到:

這樣得到一個周期之內的步行質心軌跡，可以看出這個軌跡和人類實際運動時比較符合(見圖15)。

質心軌跡確定后，就可以根據逆運動學確定機器人各個關節的角度，用于軌跡跟蹤控制。

圖15 虛擬支點倒立擺規劃出的軌跡Fig.15 COM trajectory by a VPIP planning method

根據式(9)可以求得基于線性倒立擺的運動模式在一步之內至少需要0.138 9的能量，而根據式(24)虛擬支點倒立擺的運動模式在一步內最多需要0.016 3的能量，只有線性倒立擺消耗能量的1/8，因此虛擬支點倒立擺規劃方法在該參數下的效率是線性倒立擺的近8倍。

事實上，為了減少機構的負荷，線性倒立擺同樣需要引入雙腿階段保證速度的平滑過渡，由此需要輸入更多的能量;同時，考慮到人類在雙腿階段地面的非彈性碰撞以及支撐腿與足部的被動彈簧特性，在雙腿階段實際的能量輸入遠小于式(24)中的結果，因此實際步行中的效率比要更高。

4 結語

文中提出的虛擬支點倒立擺模型能夠較好地描述步行時質心曲線、地面反力、被動特性以及能量消耗之間的關系，與人類直立行走時的規律接近;更為重要的是，這一模型符合簡單性的原則，在建模的時候，沒有復雜的算法以及需要辨識的參數，質心的運動規律主要依賴于倒立擺模型。

仿真結果表明，通過這種規劃方法，系統可以節省近7/8的額外輸入能量，且得到和人類相似的質心軌跡。需要指出的是，人類的施力方式以及抗擾性策略同樣是影響步行效率的兩大因素，從這3個方面同時入手才能達到和人類相似的步行運動。

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