向量在幾何中的應用

劉玉彬

（惠州市仲愷中學，廣東 惠州 516229）

現在我們通過幾道例題來看向量在平面幾何、解析幾何及立休幾何的實際應用。

1 向量在平面幾何中的應用

傳統的歐氏幾何在訓練思維方面具有重要意義，但其解決問題的方法主要依靠經驗和技巧，人們對平面幾何問題既感興趣，又常常望而生畏，但運用向量方法，可以緩解這一矛盾，較簡便的加以解決。

例1 證明連結三角形的兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。

證明：設 ΔABC 的兩邊 CA,CB 的中點分別 M、N，那么，所以,且

2 向量在解析幾何中的應用

向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，這就使得向量也成為解決解析幾何問題的得力工具。

例3 勾股定理的證明：即在直角三角形ABC中∠C＝90°，求證：AB2＝AC2+BC2

圖1

例4 在直角坐標平面中,△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為 A(-1，0),B(1，0)，平面內兩點G，M 同時滿足以下條件：.試求：△ABC 頂點 C 的軌跡方程；

3 向量在立休幾何中的應用

向量可以使立體幾何問題代數化，簡單的代數運算取代了復雜的幾何證明，解題的方向明確，避免作輔助線及運用繁重的定理、公理等進行推理的思維過程。使立體幾何問題變得思路順暢，運算簡單。

例5 如圖2，知長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為 30°，AE 垂直 BD 于 E，F為A1B1的中點。（1）求異面直線AE與BF所成的角。（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。

圖2

解：在長方體ABCD—A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立如圖2的空間直角坐標系。 所以 A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因為直線 BD 與平面AA1B1B 所成的角為 30°，所以∠DBA＝30°又 AB＝2，AE⊥BD，所以 AE＝，因為

（2）易知平面 AA1B 的一個法向量，設是平面 BDF 的一個法向量，由所以取， 所以

例6 如圖3，E、F分別為空間四邊形ABCD中 AB、CD的中點，證明AD、EF、BC平行于同一平面。證明：， 且所以可 知 ，與共面，所以 EF與A D、BC平行于同一平面。

圖3

從以上幾個方面可以看出，向量知識在解決中學幾何問題中可以發揮很大的作用。

［1］孫維章.用向量解決幾何題[J].數學學報,1999,23(1)：56-57.

［2］李健生.應用初等向量代數解決平面幾何問題[J].數學通報,2000,18(2)：43-44.