現行高等數學教材中全導數概念的命名辨析

陳均

蘭州理工大學理學院 蘭州 730050

現行高等數學教材中全導數概念的命名辨析

陳均

蘭州理工大學理學院 蘭州 730050

對現行高等數學教材中全導數概念在教學過程中反映出的一些問題進行討論與分析，基于導數、偏導數、方向導數概念的一致性和數學概念命名的邏輯原則要求，提出對全導數不予命名的建議。

高等數學；教材；全導數

10.3969/j.issn.1671-489X.2013.12.098

作者：陳均，講師，學士。

導數概念是微積分學中最重要的概念之一。現行高等數學教材中主要講述一元函數的導數、多元函數的偏導數、方向導數、復合函數的全導數等概念。全面、系統、準確地理解并掌握導數概念是微積分學中最基本與最重要的教學目的之一。為了在實際教學過程中能夠順利地完成與實現這一教學目的，基于對高等教學多年的教學實踐中教與學兩方面反映出的問題的總結分析，筆者認為現行高等數學教材中關于“全導數”概念的命名有值得商榷之處。

數學思維的突破點為數學發展歷程中的一個重要轉折點，也為學生的學習難點，學習者的認知過程會“重演”它的發展經過。因此，就數學教學過程而言，學生就會有一些問題：“全導數”在什么樣的情況下提出來的？如何理解“趨近于”？想要弄清楚這些問題，就要認真研究數學的發展歷程，站在哲學的視角去認識導數。通過這種方法不僅能夠幫助了解導數的概念，還能夠幫助構建準確的數學概念。

回想導數概念的發展歷程，從中得知導數的內涵要早于極限的內涵，就像積分要早于微分一樣。大多數人都知道，于古時候的窮竭法里已有積分內涵的萌芽，然而積分的內涵與方法差不多是和近代力學一起出現并發展起來的，其也經過一段時間的醞釀。

同濟大學數學教研室編的《高等數學》（第四版）中關于“全導數”概念的表述為：將一元函數微分學中復合函數的求導法則推廣到多元復合函數的情形。定理：如果函數u=j(t)及v=ψ(t)都在點t可導，函數z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續偏導數，則復合函數z=f[j(t),ψ(t)]在點t可導，且其導數可用下列公式計算：

對于高等數學教材中導數概念的定義具有很多的爭議，很多人認為微積分是將極限理論作為理論前提的，極限運算為微積分運算的一種方法，學生只有掌握好極限，才有可能將導數知識學好；然而也有一部分人認為，極限理論的學習一直為微積分學習中的一個難點。

基于這種定義，明顯存在一些問題。

1）與多元函數的偏導數概念相比較，這種“全導數”僅僅是針對多元函數中復合函數求導數的一種特殊情形提出來的。就復合函數而言，復合過程比較復雜，有一元函數與多元函數、多元函數與多元函數，中間變量的個數為兩個以上等情形。而上述“全導數”定義中的復合函數只是一個自變量的函數，只不過同一層次的中間變量多于兩個，本質上講這種復合函數仍然是一元函數。僅此原因就引出“全導數”概念，其理由是不充足的。

2）命名中“全”字的漢語意義中，有“全面、全部、全體”等含義，用來表述一種特殊情形下的導數，邏輯上直覺表現為“定義過寬”。這種“全導數”概念與一元函數的導數、多元函數的偏導數、方向導數、全微分概念的邏輯關系難以界定[3]。

3）反映在實際教學過程中，對于學生理解有關導數、偏導數、方向導數、全微分等概念會形成障礙。

①由導數概念的實際背景，知道函數變化率就是導數。基于導數的思想及其內涵，教材中一元函數的導數、多元函數的偏導數、方向導數的定義都是建立在極限理論基礎之上，這些概念的一致性是顯然的，而所謂“全導數”概念并不具備這種一致性。學生在學習過程中總是自覺不自覺地把這些導數聯系起來，教師雖然可以對此做出解釋，卻陡增節外生枝之感。

②全微分概念是多元微積分學中又一重要概念，教材中重點討論偏導數與全微分之間的關系。由于所謂“全導數”概念的提出，教學過程中必須對其與全微分概念之間的關系加以解釋，以解學生想當然地將全導數與全微分聯系之惑，否則對于順利理解全微分概念勢必形成干擾。

通常情況下，不可以用函數f(x)于x1的極限求出f(x1)。如果f(x)在x1連續，然而導函數卻不同，即使條件不強也能夠這樣做。定理：假設函數f(x)于區間[x1，x1+k]（k＞0）里連續，并且當x＞x1時導數為有窮f(x)；如果f(x1+0)是存在的，那么導數f(x1+0)=導數f(x)。經過證明發展，其具有兩方面的意義。

第一方面的意義：導函數于某點的單側極限存在，那么此點的同側導函數一定會存在；如果該左右極限均相同，極限就為此點的導數。這表明導函數的極限能夠求解導數值。該種方法在點比較特殊的時候，導數很難求出來，然而采用導函數單側極限來求解就比較容易。

第二方面的意義：如果某點的導數是存在的，那么導函數于此點的左右極限均在而且相同，這也說明導函數不可能存在跳躍間斷點。也可以說，存在跳躍點的函數是不存在原函數的，也就是不可能為哪個函數的導函數。這表明含有跳躍點的函數是不可能求出不定積分的。

綜上所述，究其原因是由于“全導數”概念的命名形成的。想要解決這個問題可以采用兩種方法：第一種方法是重新命名高等數學教學中導數的概念；另一種方法就是不命名，仍叫其原來的名稱。作為教材中復合函數求導法則的內容，如果將導數命名為“復合導數”，不足以表達所有復合函數的導數，似為有些不妥。筆者認為，聯系高等數學的教學實際，為了突出并順利地理解掌握一元函數導數、偏導數、方向導數、全微分等有關概念，本著教材編寫中刪繁就簡的原則，避免小題大做，只將其作為“鏈式法則”中的一個導數公式即可，不必做“全導數”的命名。

[1]同濟大學數學教研室.高等數學∶下冊[M].北京∶高等教育出版社,1996∶30.

[2]郭橋,資建民.大學邏輯導論[M].北京∶人民出版社,2003∶13-33.

[3]上海市教育委員會.高等數學∶多元微積分及其教學軟件[M].北京∶科學出版社,1999∶155-156.

Discussion on Naming of Concept of Total Derivative in Advanced Mathematics

Chen Jun

Several problems about teaching of the total-derivative concept in current advanced mathematics teaching materials were discussed in this paper. It is suggested that the totalderivative don’t be named considering the uniformity of derivative, partial-derivative,directional-derivative and the logic of naming for mathematics concept.

advanced mathematics; teaching material; total-derivative

G642.0

B

1671-489X(2013)12-0098-02