以“趙爽弦圖”為模型的中考試題賞析

☉江蘇省泗陽實驗初級中學 朱 浩

以“趙爽弦圖”為模型的中考試題賞析

☉江蘇省泗陽實驗初級中學 朱 浩

勾股定理是刻畫直角三角形特征的一條重要定理，它的發現、驗證、應用蘊含著豐富的文化價值.中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理進行了證明.最早對勾股定理進行證明的是漢代數學家趙爽，他以“弦圖”為基本圖形，后人稱之為“趙爽弦圖”，利用出入相補原理證明了勾股定理，尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義.“趙爽弦圖”是一種驗證勾股定理的圖形，如圖1所示.利用它驗證勾股定理的主要思想是：利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，得到的結果應該相等.在圖1中，以弦為邊長的正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的.設直角三角形中較短的直角邊長為a，較長的直角邊長為b，斜邊長為c，則每個直角三角形的面積為ab，中間小正方形的邊長為b－a，其面積為（b－a）2.然后利用兩種不同的方法計算大正方形的面積可得等式c2=4×ab+（b－a）2，化簡后即可得到勾股定理.在近幾年中考中，以“趙爽弦圖”為模型的一類中考試題屢見不鮮.筆者從近幾年全國各地中考試題中選取具有代表性的幾例與同行分享，不足之處敬請批評指正.

例1（2009年貴州安順）圖2是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.在Rt△ABC中，若直角邊AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖3所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長（圖3中的實線）是______.

圖1

圖2

圖3

所以這個風車的外圍周長為4（DB+DE）=4×19=76.

點評：本題以“趙爽弦圖”為背景，通過適當的變化得到了一個“數學風車”，主要考查學生利用勾股定理求直角三角形邊長的能力．只要學生熟悉“趙爽弦圖”的特征及圖3的由來，就很容易求出EF=5，DB=BF=6．要求DE的長，只需要找出DE所在的直角三角形，然后利用勾股定理求出DE的長，從而可得到“數學風車”的外圍周長．其實，利用圖3還可以設計出其他數學問題，如求出“數學風車”的面積，求△DBE的面積等．

例2（2010年廣西河池）如圖4是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中說法正確的是（ ）.

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

圖5

圖4

解析：如圖5，因為大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，所以AB2=49，EF2=4.所以AB=7，EF=2.

點評：本題主要考查的知識點有勾股定理與完全平方公式，用含有x，y的代數式表示正方形ABCE與正方形EFGH的面積是解決問題的關鍵，首先要根據已知得到x2+y2=49與（x－y）2=4，然后利用完全平方公式即可求出代數式2xy+4與x+y的值.

例3（2011年浙江溫州）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖6）.圖7由“弦圖”變化得到的，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3. 若S1+S2+S3=10，則S2的值是______.

圖6

圖7

點評：本題巧妙地將“趙爽弦圖”與正方形網格相結合，得到了正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT，這三個正方形的面積都與構成弦圖的直角三角形的邊長有關.由勾股定理可知，已知直角三角形的兩邊長即可求出第三邊的長，所以只要設CG=a，CF=b，就可利用勾股定理表示出FG的長，這也是解決此題的關鍵之處；然后用含有a、b的代數式表示出三個正方形的面積，結合S1+S2+S3=10可得到關于a、b的方程.雖然不能直接求出a、b的長，但可求得a2+b2的值，由此即可得出正方形EFGH的面積，這也體現了“設而不求”的解題方法.

圖8

例5 （2011年安徽）如圖9，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）.

（1）求證：h1=h3；

（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：S=（h1+h2）2+h12；

圖9

解析：如圖10，過A作AG⊥l3，分別交l2、l3于點H、G.過點C作CE⊥l2，分別交l2、l3于點E、F.

點評：本題將正方形與平行線相結合，主要考查全等三角形的性質和判定、二次函數的性質．初看此題，感覺無從下手，其實圖中隱藏著“趙爽弦圖”，在解題時若能適當添加輔助線，即可構造出“趙爽弦圖”，聯想到“趙爽弦圖”的特點，也可為本題提供解題思路，這也是本題的難點之所在.因此，在教學中，一定要關注圖形模型，這些圖形模型的通性通法在解決中考試題時有著重要的導向作用.

唯獨有偶，2012年濱州市中考試題中也出現了與此類似的問題，不同的是將平行線l1、l2、l3、l4間的距離都變為1個單位長度，但其本質并沒有改變，由于圖形中已有“趙爽弦圖”的影子，這在一定程度上降低了試題的難度.

例6 （2012年山東濱州）如圖11，l1、l2、l3、l4是一組平行線，相鄰兩條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上.過點A作AF⊥l3于點F，交l2于點H，過點C作CE⊥l2于點E，交l3于點G.

（2）求正方形ABCD的面積；

（3）如圖12，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S.

圖1 1

圖1 2

例7（2013年北京）閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖13，在邊長為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積.

小明發現：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖14）.

請回答：

（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），求這個新的正方形的邊長；

（2）求正方形MNPQ的面積.

（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：

圖1 3

圖1 4

圖1 5

分析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a，故其拼成的正方形的邊長為a.

（2）如圖14所示，正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和，據此可求出正方形MNPQ的面積.

（3）參照小明的解題思路，對問題做同樣的等積變換.如圖16所示，三個等腰△RGF，△PDH，△QEI的面積和等于等邊△ABC的面積，故陰影三角形的面積等于三個虛線等腰三角形的面積之和，由此列方程可求出AD的長.

圖1 6

圖1 7

解：（1） 如圖14，由已知易知，AR=BF，SB=CG，DH=CT，AE=DW.

所以拼成的新的正方形的邊長為a.

（3）如圖16，分別延長RD，PE，QF，交CA，AB，BC的延長線于點G，H，I，可得△RGF，△PDH，△QEI是三個全等的等腰三角形.

將這三個等腰三角形拼成一個新的三角形（無縫隙，不重疊），則這個新的三角形的邊長與等邊△ABC的邊長相等.

點評：本題重點考查了幾何圖形的等積變換，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多個知識點．通過本題可使學生體會到運用等積變換的數學思想不僅簡化了幾何計算，而且形象直觀，易于理解，體現了數學的魅力．在古印度出現過一種拼圖證明勾股定理的方法，具體做法是：如圖17，首先用一條垂直線和一條水平線將直角三角形較長直角邊所對應的正方形分成四份，然后通過平移將兩條直角邊所對應的正方形填入斜邊所對應的正方形之中，便可完成定理的證明，被譽為“無字的證明”．本題便是以圖17為模型的中考試題，本題構思新穎，設計巧妙，是一道不可多得的好題．為了降低試題的難度，本題以閱讀理解題的形式呈現，解答這類試題時首先需要仔細閱讀材料，認真研究材料中介紹的基本方法，透過閱讀材料看出解決這類試題時應采用的解題方法，然后通過類比的方法，結合所學知識靈活地去解答．這類試題有利于培養學生的自學能力和創新思維，能培養學生自主獲取數學知識，并提高運用所獲得的知識分析問題和解決問題的能力．

以上所列舉的全國各地中考試題均以“趙爽弦圖”為背景，真正做到了將數學文化滲入了中考.廣大一線教師應當借助中考試題的引領和導向作用，將數學文化真正滲入教材、進入課堂、融入教學，讓數學教學變得生動有趣，不但可使學生理解數學、喜歡數學、熱愛數學，而且還可以激發學生的愛國熱情和學習激情，從而真正做到“情感教育”與考試功能的有機結合.

1.張寧.以勾股圖為模型的中考試題及其變式探究［J］.中學數學（下），2013（1）.