完整系統Tzénoff方程的守恒規律

鄭世旺

（商丘師范學院 物理與電氣信息學院，河南 商丘 476000）

1953年保加利亞科學院院士Tzénoff構造了經典力學系統的一種新型動力學函數稱為Tzénoff函數，他建立了一類新型運動微分方程被稱為Tzénoff方程。我國學者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學系統[1]、變質量系統[2]、變質量高階非完整系統[3]，在專著[4]中又推出了廣義Tzénoff函數和廣義Tzénoff方程.對稱性原理是物理學中更高層次的法則，動力學系統中的守恒量更能揭示深刻的物理規律，動力學系統的對稱性與守恒量之間具有一定的內在關系[5]。近年來，對稱性與守恒量的研究已經成為力學、物理學、數學等領域的一個非常活躍的課題，且已經取得重要研究成果[6-21]，這些成果大都是借助于動力學系統的Lagrange函數、Hamilton函數和Appell函數來求系統的守恒量，其實在分析力學中有多種運動微分方程，其中最為簡捷的是Tzénoff方程，只要給出系統的Tzénoff函數，研究系統的運動規律是比較方便的.目前，Tzénoff方程的對稱性與守恒量的研究也有了一些初步成果[22-29]，得到了Tzénoff方程Mei對稱性和Mei對稱性間接導致的守恒量。研究了完整系統Tzénoff方程的對稱性及其守恒規律，給出了導出守恒量的必要條件和守恒量的函數表達式，最后舉例說明了研究結果的應用.

1 完整系統的Tzénoff方程

設力學系統的位形由 n個廣義坐標 qs（s＝1，…，n）來確定，系統的 Tzénoff函數為[17]：

通過（2）式可求出所有廣義加速度：

2 Tzénoff方程的Noether對稱性及其守恒規律

取時間和坐標的群的無限小變換

Noether對稱性是Hamilton作用量在無限小變換下的一種不變性,所以研究Noether對稱性必須知道系統的Lagrange函數,而 Tzénoff方程中只給出 Tzénoff函數,所以尋找 Tzénoff方程的Noether對稱性及其守恒量，必須將Tzénoff方程變換成Lagrange方程，以找出系統的Lagrange函數。對給定的Tz-énoff函數 K 有：

采用文獻[6]的方法可求出Tzénoff方程所對應的Lagrange函數

于是有：

定理1：對于Tzénoff方程所對應的Lagrange函數,如果存在規范函數G=G(t,q)使無限小生成元ξ0，ξs，滿足恒等式

那么Tzénoff方程具有Noether對稱性,同時直接導致守恒量：

3 Tzénoff方程的Mei對稱性及其守恒規律

用變換后的動力學函數代替變換前的動力學函數,若系統運動方程的形式保持不變,則稱系統具有Mei對稱性。于是有

定義：如果用變換后的Tzénoff函數K*代替變換前的函數K時，方程（2）的形式保持不變，那么這種不變性稱為Tzénoff方程的Mei對稱性。

根據定義Tzénoff方程的Mei對稱性可以寫成下列形式：

把（6）式代入方程（10）并注意方程（2）有

判據：對于完整力學系統的Tzénoff函數K，若無限小生成元 ξ0，ξs滿足方程

則Tzénoff方程具有Mei對稱性。

我國學者對Mei對稱性進行了大量研究,一般是借助于動力學系統的Lagrange函數或Hamilton函數來求系統的守恒量。我們企圖利用Tzénoff方程和Tzénoff函數通過Mei對稱性來尋找一種新的守恒量.

定理2：對于完整力學系統Tzénoff方程Mei對稱性的生成元ξ0，ξs，如果能找到規范函數G滿足如下結構方程

證明：對（14）式求導并考慮到在Mei對稱性情況下判據方程（11）成立，有:

4 應用例子

例：已知完整力學系統的Tzénoff函數為：

試研究該力學系統的Mei對稱性及其所對應的新守恒量。

解：把 Tzénoff函數代入完整力學系統的 Tzénoff方程（2）得：

所以該力學系統有關系式：

把 Tzénoff函數代入完整力學系統的 Tzénoff方程Mei對稱性的判據方程（12）得：

可找到Mei對稱性的生成元

由生成元（17），有 X（1）（K）=0，只能得到平凡守恒量 I=0。由生成元（18）并考慮到（15）式，有：

把上面的各關系式代入結構方程（13），又由于該系統有關系式（15），可得到規范函數：

把式（18）和式（19）代入式（14），并注意式（15）可得到系統Tzénoff方程的新守恒量：

[1]程丁龍.ЦЕНОВ方程對變質量非完整系統的推廣[J].北京理工大學學報，1987,3:76-85.

[2]梅鳳翔.非完整系統力學基礎[M].北京：北京工業學院出版社，1985.

[3]梅風翔.非完整動力學研究[M].北京：北京工業學院出版社，1987.

[4]梅鳳翔，劉端，羅勇.高等分析力學[M].北京：北京理工大學出版社，1991.

[5]Noether A E.Invariance Variations problem s[J].Kgl Ges Wiss Nachr G?ttingen Math Phys.1918,Kl,II:235-257.

[6]Mei Fengxiang.Form invariance of Lagrange system[J].Journal of Beijing Institute of Technology,2000,9(2):120-124.

[7]Chen Xiangwei,Liu Cuimei,Li Yanmin.Lie symmetries,perturbation to symmetriesand adiabatic invariants of Poincare equatons[J].Chinese Physics,2006,15(3):470-474.

[8]羅紹凱.Hamilton系統的Mei對稱性、Noether對稱性和Lie對稱性[J].物理學報，2003,52(12):2941-1944.

[9]Chen Xiangwei,Zhao Yonghong and LiYanmin.Conformal invariance and conserved quantities of dynamical system of relative motion[J].Chinese physics B,2009,18(8):3139-3144.

[10]Zhang Yi,MeiFengxiang.Form invariance forsystemsof generalized classical mechanics[J].Chinese Physics,2003,12(10):1058-1062.

[11]梅鳳翔.約束力學系統的對稱性與守恒量[M].北京：北京理工大學出版社，2004.

[12]樓智美.哈密頓 Ermakov系統的形式不變性[J].2005,54(5):1969-1971.

[13]方建會，丁寧，王鵬.非完整力學系統的Noether-Lie對稱性[J].物理學報，2006,55(8):3817-3820.

[14]葛偉寬.一類動力學方程的Mei對稱性[J].物理學報，2007,56(1):1-4.

[15]李彥敏.變質量非完整力學系統的共形不變性[J].云南大學學報：自然科學版，2010，32(1):52－57.

[16]賈利群，解銀麗，羅紹凱.相對運動動力學系統Appell方程Mei對稱性導致的Mei守恒量[J].物理學報，2011,60(4):040201-1-040201-4.

[17]樓智美，梅鳳翔.二維各向異性諧振子的第三個獨立守恒量及其對稱性[J].物理學報，2012,61(11):110201-1～110201-5.

[18]方建會.Lagrange系統Mei對稱性直接導致的一種守恒量[J].物理學報，2009,58(6):3617-3619.

[19]孫現亭，韓月林，王肖肖，張美玲，賈利群.完整系統Appell方程Mei對稱性的一種新的守恒量[J].物理學報，2012,61(20):200204-1～200204-4.

[20]劉洪偉，李玲飛，楊士通.Kepler方程的共形不變性、Mei對稱性與守恒量[J].物理學報，2012，61(20):200202-1～200202-5.

[21]Jiang Wenan,Zhuang Jun,Luo Shaokai.Mei symmetries and Mei conserved quantities for higher-order nonholonomic constraint systems[J].Chinese Physics B,2011,20(3):030202-1～030202-7.

[22]Zheng Shiwang,JIA Liqun,Yu Hong-sheng.Mei Symmetry of Tzénoff Equations of Holonomic System[J].Chinese Physics,2006，15(7):1399-1402。

[23]Zheng Shiwang，Xie Jiafang.,Jia Liqun.Symmetry and conserved quantity of Tzénoff equations for holonomic systems with redundant coordinates[J].Chinese Physics Letters,2006,23(11):2924-2927。

[24]Zheng Shiwang，Xie Jiafang,Jia Liqun.Symmetry and Hojman conserved quantity of Tzénoff equations for unilateral holonomic system[J].Communications in Theoretical Physics,2007,48(1):43-47.

[25]Zheng Shiwang，Xie Jiafang,LiYanmin.Meisymmetryand conserved quantity of Tzénoff equations for nonholonomic systems of non-Chetaev,s type[J].Communications in Theoretical Physics,2008,49(4):851-854.

[26]Zheng Shiwang，Xie Jiafang,Zhang Qinghua.Mei symmetry and new conserved quantity of Tzénoff equations for holonomic systems[J].Chinese Physics Letters,2007,24(8):2164-2166.

[27]Zheng Shiwang，Xie Jiafang，Wang Jian B0，Chen Xiang Wei.Another conserved quantity by Mei symmetry of Tzénoff equation for the non-holonomic systems[J].Chinese Physics Letters,2010,27(3):030307-1-030307-4.

[28]Zheng Shiwang,Wang Jianbo,Chen Xiangwei,Xie Jiafang.Mei symmetry and new conserved quantities of Tzénoff equations for the variable mass higher-order nonholonomic system [J].Chinese Physics Letters,2012,29(2):020201-1～020201-4.

[29]鄭世旺，王建波，陳向煒，李彥敏，解加芳.變質量非完整系統Tzénoff方程的Lie對稱性與其導出的守恒量[J].物理學報，2012,61(11):111101-1～111101-5.