基于空間碎片環境的導彈空間飛行安全分析*

王劍，譚守林，雷剛

(第二炮兵工程大學，陜西西安 701125)

0 引言

空間碎片是指除正常工作的航天器外所有在軌的人造物體，包括失效載荷、火箭殘骸、操作性碎片、由爆炸和碰撞產生的殘碎片、固體火箭的燃燒剩余物、核動力衛星泄漏的冷卻劑以及因航天器老化而脫落的表面材料和組件等［1］。自從1957年，前蘇聯發射第1顆人造衛星Sputnik 1以來，已有50多個國家、地區和組織向太空發射超過4 000次，發射了近6 000個航天器，這些人造物體絕大部分在低地球軌道(low earth orbit，LEO)、太陽同步軌道(sun synchronous orbit，SSO)和地球同步/靜止軌道(geosynchronous/geostationary orbit，GEO)區域內，其中相當一部分目前仍滯留在軌道上［2］，其中90%以上為空間碎片。目前被跟蹤的直徑超過10 cm的空間碎片數目已超過15 000個，據美國約翰遜航天中心最新研究表明，即使人類再也不發射任何火箭，太空垃圾的數量還是會不斷增加［3］。由于空間碎片與空間飛行器的相對速度很高，因此具有很大的動能，一旦空間碎片與空間飛行器發生碰撞，將給空間飛行器帶來很大的危害。遠程彈道導彈由于具有很高的軍事意義和經濟價值，其飛行高度可達1 200 km，并飛過空間碎片密集區，很有可能與空間碎片發生碰撞，因此有必要開展遠程彈道導彈空間飛行安全的預警研究。

文獻［4］研究了彈頭在已知空間碎片分布密度下發生碰撞的概率，然而空間碎片的分布密度并不均勻而且計算非常復雜，目前國際上公布了直徑大于10 cm的空間飛行體軌道根數，因此可利用現有對空間碎片的觀測數據進行碰撞預警，本文即是利用現有國際上的空間碎片觀測數據結合導彈彈道展開導彈飛行安全研究。

1 遠程彈道導彈和空間碎片運動預測模型

對遠程彈道導彈與空間碎片進行碰撞預警，首先須對導彈及空間碎片位置進行預測，通過對導彈及空間碎片的運動模型進行計算導彈與碎片的實時位置，并通過坐標轉換到同一坐標系下，進而通過碰撞規則進行碰撞預警。

1.1 遠程彈道導彈運動模型

近地軌道空間碎片的壽命長短與大氣密度有很大的關系，高度在200 km左右的航天器壽命只有幾天到幾十天［5］，因此可以認為在200 km高度以下不存在空間碎片，撞擊只發生在200 km高度以上的空間。由于遠程彈道導彈的自由段起點和終點在200 km左右，為簡便計算，本文假設撞擊發生在導彈自由段階段。

對于彈道導彈的被動段，相對發射坐標系的被動段運動方程的矢量表達式為［6］

式中:X=CxdtqdtSmdt為彈頭阻力，其方向與v方向相反;g為地球重力加速度;為牽連慣性力;為柯氏慣性力。

導彈的被動段動力學方程為

式中:CxdtqdtSmdt為彈頭阻力，其方向與v方向相反;Cxdt為頭部阻力系數;Smdt為頭部最大橫截面積;qdt為頭部速度頭;m=Gdt/為頭部質量。

運動學方程為

被動段方程組為非線性變系數常微分方程組，在給定的初始條件和終端條件下，應用數值積分方法可求出其數值解，從而獲得導彈被動段運動參數。

1.2 空間碎片軌道預測模型

對空間碎片軌道的預測是進行篩選和預警的基礎，目前主要有3種軌道預報方法:解析方法(普適攝動法，general perturbation，GP)、半解析方法和數值方法(特殊攝動法，special perturbation，SP)，其中解析法速度最快但精度比數值方法低［7］，為滿足快速篩選要求，本文可利用解析方法對空間碎片軌道進行預測。

目前國內常用的解析方法包括擬平均根數法和美國的SGP4/SDP4模型。北美防空司令部(north american air defense command，NORAD)開發了用于傳輸開普勒根數的兩行軌道根數(two line mean element，TLE)，美國航天司令部(USSPACECOM)計算了絕大部分公開的兩行軌道根數，并由Goddard空間飛行中心(GSFC)發布，利用公布的TLE數據與SGP4/SDP4軌道計算模型，可以獲取較準確的軌道預測［8-9］，本文即利用該模型對空間碎片軌道進行預測。

2 導彈與空間碎片碰撞預警模型

當計算出導彈和空間碎片后將二者在同一時間的位置參數轉換到統一坐標系下后即可進行碰撞預警建模。為了節省運算時間，加快碰撞預警速度，需要對碎片進行篩選并對預警模型進行簡化處理。

2.1 空間碎片篩選方法

目前美國公布的TLE數據超過15 000個，但如果按照一定的時間步長進行計算是否會發生碰撞，則計算量相當巨大，計算時間也很長而無法滿足作戰情況下快速預警的要求，因此需要對空間碎片進行篩選，只對那些對導彈有潛在威脅的空間碎片進行預警計算，從而減少計算量節省預警時間。文獻［10-11］采用幾何篩選法以及地心距法對空間碎片進行篩選，但由于導彈與衛星等空間目標的運動特點不同，而且導彈由于發射時間的改變，其彈道在慣性坐標系下是變化的，通過分析導彈飛行特點和空間碎片軌道特性，可采用基于近地點的篩選方法、基于軌道傾角的篩選方法和基于導彈飛行時間的篩選方法等。

基于近地點的篩選方法原理為設碎片的近地點高度為Hd_min，導彈彈道的最高點為 Hm_max，如果滿足Hd_min＞Hm_max，則可認為該碎片不可能與導彈發生碰撞，故可將其排除。

導彈是從發射點升到太空后回到目標點，其軌跡不是一個閉合橢圓，因此可利用碎片軌道傾角進行碎片篩選。其方法為計算導彈在200 km高度上彈道升弧段A和降弧段B地心系下坐標，并計算該點與地心的連線與赤道面的交角θM1，θM2，如果碎片軌道傾角θd滿足:

則可認為該碎片不可能與導彈發生碰撞，從而可將該碎片剔除。

基于導彈飛行時間的篩選方法的原理為:遠程彈道導彈空間在200 km高度飛行時間只有20 min左右，通過對空間碎片數據進行分析發現，碎片最短周期在87 min左右，在導彈距離200 km高度升弧段時刻A(記為TMA)和降弧段時刻B(記為TMB)以及(TMA+TMB)/2時刻如果該碎片地心連線與赤道面的交角均小于導彈A，B點地心連線與赤道面交角，則將該碎片剔除。具體算法為分別計算空間碎片在TMA，TMB和(TMA+TMB)/2時刻的空間慣性坐標系下位置PdA，PdB和PdC;并分別計算它們與地心的連線和赤道面的交角 θdA，θdB和 θdC，如果滿足式(6)，則可認為該空間碎片不會與導彈發生碰撞，從而將其排除。

2.2 碰撞判據的確定

如果導彈與碎片的位置預測不存在誤差，則導彈是否會與碎片發生碰撞是明確的，但由于存在位置預測誤差，因此不能確定導彈與碎片是否會發生碰撞，只能給出碰撞的危險程度，目前國際上用于碰撞預警的判據有BOX判據和碰撞概率判據2種［12］。

BOX判據是20世紀90年代通常采用的碰撞判據，其本質含義是統一考慮航天器與空間碎片的誤差，把位置誤差的分布平均化，當碎片進入航天器周圍的BOX區域以內時，表示會發生碎片與航天器的碰撞事件，否則不存在碰撞危險，即把碰撞事件簡化成0-1事件。例如美國航天飛機將航天器沿跡方向±25 km，垂直于沿跡方向及軌道平面的外法向±10 km作為預警區域，當碎片進入這一區域時即發出預警。

碰撞概率判據綜合考慮航天器和空間碎片各自的誤差，并把各自的誤差假設成正態分布模式，然后綜合考慮其他交會因素來計算碰撞風險。BOX判據具有普適性的優點，對任何軌道類型和任何航天器均適用，但缺點是方法過于保守，誤警率很高;碰撞概率判據則針對BOX判據的缺點而提出的，能避免很高的誤警率，但其建立在大量誤差數據的基礎上，對誤差數據的依賴程度很高，而且模型復雜，計算量較大。本文旨在研究導彈在空間碎片環境下的碰撞風險，為簡化模型和快速計算，故采用球形判據，即設定危險交會距離ΔL，當導彈與碎片的距離小于ΔL時即可認為存在碰撞危險。

2.3 碰撞預警模型建立

文獻［11-12］采用了基于最小地心距的快速預警解析算法，但橢圓彈道理論由于沒有考慮地球旋轉所產生的牽連慣性力和柯氏慣性力，因此計算結果與標準彈道解算結果有一定偏差;運用SDP4/SGP4解析模型計算的碎片位置也為離散點，所以解析算法并不適用于導彈與空間碎片的碰撞預警，因此本文建立了基于數值法的碰撞預警模型。

計算導彈和碎片位置并轉換到同一坐標系下后，可進行碎片篩選，然后可根據一定時間步長進行碰撞預警，依據上述分析，本文建立碰撞預警模型，其流程圖如圖1所示。當導彈發射時間確定后，以導彈在彈道升弧段200 km高度時刻為起始時刻，計算i時刻導彈位置后，分別計算危險碎片的位置，并進行坐標轉換，根據2.2節中碰撞判據進行碰撞風險計算;計算完所有危險碎片后以時間步長ΔT進行時間累加，直至彈道降弧段200 km高度時刻，仿真結束后輸出碰撞預警信息。

圖1 導彈與空間碎片碰撞預警流程圖Fig.1 Flow chart of impact alert between missile and space debris

3 仿真算例

本文利用2011年1月1日公布的空間碎片作為碎片仿真來源，共16 101個;計算某遠程彈道導彈彈道，該彈道射程為8 516 km，彈道最高點距地1 039.235 km;設仿真時間步長為0.5 s，危險交會距離為10 km進行仿真。

運用上述碎片篩選模型，剔除不可能發生碰撞碎片9 479個，耗時5.4 s;設定某一發射時間后運用碰撞預警模型進行仿真，有3個碎片在危險交會距離內，共耗時2 903.15 s，其中最近交會距離為7 238.3 m，此時導彈距離地面高度為691.593 km，導彈與碎片的軌跡如圖2所示。

由于碎片在慣性坐標系下軌道的軌道變化不大，而導彈由于地球自轉的原因當發射時間改變時其飛行彈道在慣性坐標系下會發生很大變化，所以當發射時間改變時碰撞預警結果也不同，本文采用不同發射時間，取得碰撞預警結果如表1所示。

圖2 導彈與空間碎片軌跡交會圖Fig.2 Track figure for missile and space debris

表1 不同發射時間對應交會信息Table 1 Information of across for different launch times

4 結束語

本文通過對導彈彈道和空間碎片預測模型的分析，建立了遠程彈道導彈與空間碎片碰撞預警模型，仿真結果表明空間碎片對遠程彈道導彈的空間飛行安全造成比較嚴重的威脅。本文的研究成果可為導彈發射窗口選擇和導彈飛行安全預警提供理論支持。為簡化預警模型，本文中危險交會距離和步長均為假設值，對此可展開進一步研究。

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