基于空間網格的制導方法研究*

王芳，劉新學，王順宏，郭躍

(第二炮兵工程大學，陜西西安 710025)

0 引言

攝動制導是彈道導彈制導中廣泛應用的方法之一，它以小偏差理論為基礎，在主動段終點進行一階泰勒展開，得到相應的關機方程。這種方法實施方便，對制導計算裝置要求低，大量計算可放在發射前確定［1］。當出現大干擾時，攝動制導會產生較大的制導誤差，而且誤差會隨著飛行時間和射程的增大而增加。為了改善攝動制導的缺點，能夠修正大干擾對導彈的影響，彈道導彈常采用基于需要速度的閉路制導，并利用虛擬目標計算需要速度。由于虛擬目標確定時的簡化，造成需要速度的計算偏差，引起制導方法誤差［2-5］。為了解決這個問題，本文提出一種基于空間網格的制導方法(以下簡稱為“空間網格法”)。這種方法亦將大量計算放在射前準備階段，同時具有彈上計算簡單，數據存儲量少，獲取數據信息速度快，控制簡單易實現的優點，而且能實時修正大干擾造成的偏差，具有廣闊的研究和應用前景。

為了研究較為真實環境下空間網格法的可行性和規律性，文中假設地球為勻質旋轉橢球體，考慮地球自轉和扁率對彈道的影響。并在此假設條件下分析空間網格法的特點，檢驗這種新方法的可行性和適用性。

1 空間網格法概述

1.1 空間網格法的原理

簡單地說，空間網格法就是在地面將導彈飛行可能經過的空間的速度值保存下來，當導彈飛到此空域時，將導彈當前速度以保存的速度為基準進行修正，直到導彈當前位置的當前速度與保存值相同時，控制導彈關機，即可命中目標。由于不可能將空間所有點的狀態信息都記錄下來，因此，將一定的空間區域通過一定劃分原則，將其劃分成網格狀，僅保存網格節點處的狀態信息，并以此為基準修正導彈的速度偏差。如圖1所示，空間任意一點A，其速度矢量為v1，在此點的需要速度為v2，若不對速度偏差進行修正，經過時間t后飛至B點，但無法命中目標。若根據空間網格節點的速度對v1進行修正，當到達C點時達到關機條件，則關機后導彈可命中目標。

圖1 空間網格法示意圖Fig.1 Sketch map of space-gird method

通過以上分析可知，此方法的優點首先是脫離了小干擾理論，能修正大干擾對導彈造成的偏差;然后，大量計算在發射前就可準備完畢，計算速度快，彈上僅需實時獲取與當前位置吻合的網格信息，并將其參與控制量計算，對導彈進行速度修正即可;最后，具有一定的命中精度，由于射前計算可以盡量使計算機仿真條件接近實際飛行條件，并將實際飛行時彈上無法實現的數值積分解算值保存到彈上作為控制基準，確保了命中精度。

同時注意到，如果僅在節點處才能獲取網格信息并對導彈狀態進行修正，網格的密度對飛行數據的修正將會有很大影響:一種可能是網格密度大，修正能力強，但存儲量也隨之增大，不利于計算速度，導致控制延時或失效;另一種可能是網格密度小，導彈并不能連續經過網格點，導致無法獲取基準參數。因此，能否獲取網格節點外的數據，對提高計算效率和該方法的可行性及適用性有很大關系，這也是本文研究的一個重要方面。下面首先對空間網格法的建立方法進行介紹，這也是對其可行性和適用性進行分析的前提條件。

1.2 空間網格的建立方法

建立一個空間網格，需要的基本元素有時間、速度、位置、網格范圍和網格間距。其中，速度是基于其他元素通過彈道解算得到的導彈控制基準，是空間網格中最重要的元素。下面對它們逐個進行分析。

(1)基準坐標系的選擇

1)時間基準

由于地球自轉的影響，時間成為空間網格法必須考慮的因素。導彈當前點的時間應該與展開空間網格的中心點的時間一致，才能使用該網格數據，否則會造成結果偏差。可以將標準彈道上關機點附近某一時間點對應的位置為網格中心點Onet，其與標準彈道關機點時間之差為tnet，并以Onet為坐標原點在某個合適的坐標系下展開空間網格。依次類推，可以得到多組不同時間對應的空間網格，實際飛行時根據當前飛行時間選擇不同的空間網格解算網格速度 vnet。

2)速度基準

由于彈上計算是以慣性空間為基準的，飛行狀態參數為慣性系下的值。因此，網格中的速度參數為慣性系速度值，則可以直接與當前速度進行比較，提高計算速度。

3)位置基準

雖然導彈可能受到外界干擾的影響使導彈偏離標準彈道，但基本上都是在導彈飛行軌跡一定范圍的管道內。若以慣性坐標系為基準，在標準彈道某一點附近展開空間網格，由于網格走向與彈道軌跡走向有較大差別，會有大量的網格數據失效，造成不必要的計算量和彈上存儲空間的浪費。因此，以軌跡坐標系為基準，展開空間網格較為合理，可以更有效地發揮空間網格的作用。如圖2所示慣性坐標系下的一段平面彈道，取其上某點為中心展開空間網格。虛線為以慣性坐標系為基準展開的空間網格邊界;實線為以軌跡坐標系為基準，并將網格參數轉換到慣性坐標系下的空間網格邊界。通過對比可以看出，在軌跡坐標系下展開的空間網格的使用率更高，減小網格數據存儲空間的浪費。

圖2 不同坐標系下空間網格比較Fig.2 Comparison of space-grids in different coordinate systems

軌跡坐標系［6-9］定義為:取標準彈道關機點附近任意一點作為網格中心點Onet，并以此點為軌跡坐標系的原點Op;速度v方向為Opxp的指向;Opyp位于射擊平面內，垂直于 Opxp，指向上方;Opzp與Opxp，Opyp構成右手直角坐標系。

發射坐標系［2-4］定義為:取發射點為原點O，Ox軸在發射點水平面內，指向發射瞄準方向，Oy軸垂直于Ox軸指向上方，Oz軸與Oxy平面垂直并構成右手直角坐標系。

因此，使用空間網格時需要將慣性系位置轉換到軌跡坐標系方可使用。軌跡坐標系［p］與發射坐標系［g］間的關系矩陣為

式中:

式中:θ為彈道傾角;σ為彈道偏角。

彈道傾角是導彈速度矢量v與水平面之間的夾角，若速度矢量v在水平面之上，彈道傾角為正，反之為負。彈道偏角為導彈速度矢量v在側向平面上的投影與Ox軸之間的夾角。迎Oy軸頂視，若Ox軸逆時針轉到投影線上，則σ為正，反之為負。再利用發射坐標系與慣性坐標系的轉換矩陣，則可將彈上實時計算的慣性系位置轉換到軌跡系下，再與空間網格數據對比，進而獲取需要速度。

但是，需要注意的是，實際飛行軌跡與標準彈道不一定完全一致，導致當前點的彈道傾角和彈道偏角與展開空間網格的基準參數可能存在偏差，如果利用當前點的彈道傾角和彈道偏角將慣性系位置坐標轉換到軌跡坐標系，必定產生軌跡坐標系與基準軌跡坐標系的偏差。為了解決這個問題，將基準軌跡坐標系與發射坐標系間轉換矩陣的歐拉角保存到彈上，把當前慣性系位置轉換到基準軌跡坐標系中，再獲取需要的速度值。雖然基準軌跡與當前軌跡變化趨勢有一定偏差，但僅產生網格邊界的一些變化，不影響網格的使用。同時，由于網格節點的狀態參數不受彈道傾角和彈道偏角變化的影響，因此該方法不會影響精度。

(2)網格范圍和間距的選取

從導彈飛行特點來看，沿橫向和法向的位置改變值相對縱向要小很多。如果空間網格的空域范圍是正立方體，為了保證縱向距離滿足要求，相應增加了不必要的橫向和法向網格數據。因此，以軌跡坐標系為參考，將空間網格限定在縱向距離長，法向距離次之，橫向距離最短的長方體區域，可以提高空間網格的利用率。網格范圍Dgrid的確定與空間網格法的精度和外干擾影響有關。空間網格法在網格外圍的精度決定網格的空域范圍。同時，如果外干擾可能引起的導彈狀態參數偏差超出網格邊界，則彈體無法修正偏差，導致空間網格法失效。因此需要通過數學仿真，研究空間網格法的精度和外干擾的影響程度，從而確定網格范圍。

此外，節點間距hnode的選擇也很重要，這與節點之間的速度變化規律有密切聯系。如果間距過大，造成不同節點的速度變化規律的扭曲，使節點參數精度不夠，則需縮短節點距離以保證速度間的真實聯系得以反映。如果間距過小，雖然節點速度間的規律得到更為精準的描述，但是數據量大，占用存儲空間多，計算緩慢，也是不可取的。因此，需要通過仿真試驗，根據節點之間速度的變化規律和對空間位置的敏感程度，才能確定網格間距。

(3)節點速度的確定

節點速度vnet求解是空間網格法的重點和難點。根據橢圓彈道理論，經過空間任意兩點間的橢圓有無數個，因此從空間任意一點有無數個速度矢量使其通過目標點。因此，必須對速度設置限制條件，從而確定當前點到目標點的軌跡，不然無法確定網格節點速度。同時，需要規定速度的搜索順序和搜索原則，使速度變化有一定規律可循。否則節點間沒有任何聯系，導致空間網格法失效。vnet的求解思路如下:

僅通過改變一個方向的速度來同時調整縱、橫向偏差難以實現，至少需要同時改變2個方向的速度才能將縱、橫向偏差修正到要求范圍內。如果同時改變3個方向速度來修正縱、橫向偏差，由于速度組合太多，調整原則不好把握，可操作性差。因此，可以采用固定某一方向速度，設該速度用vconst表示，其他2個方向速度可變，用valter表示，通過解算彈道得到落點偏差，以先改變速度值大者，再改變速度小者，先修正縱向偏差ΔL，再修正橫向偏差ΔH為原則，得到滿足精度要求的網格速度。若假設vx一定，vy＞vz，通過彈道解算，得到節點速度;依次類推，改變vconst的大小，再重復迭代彈道［10-11］，解算落點偏差［12］，得到節點相應其他2個方向的速度。于是可以得到同一網格節點的多組不同速度組合，在使用時可以根據實際需要選擇當前位置的需要速度，節點速度的求解過程如圖3所示。

根據以上分析，空間網格法是在不同時間、不同節點位置基礎上得到能命中目標的多組節點速度的一種離散化方法。該方法能夠準確計算需要速度，但是計算產生大量數據給彈上存儲和計算帶來一定難度。因此，空間網格不同節點的速度之間是否相互聯系，不同時間對應的空間網格節點速度是否有規律可循，成為該方法能否進一步簡化，是否能得到準確的網格速度，以及進一步提高計算速度的重要環節。

2 空間網格法的規律性分析

初始條件:以彈道A的關機點為網格中心點Onet，飛行時間為 tnet;網格范圍 Dgrid，Opxp方向(-100 000，100 000)m，Opyp方向 (-15 000，15 000)m，Opzp方向(-3 000，3 000)m;節點間距hnode，Opxp方向4 000 m，Opyp方向1 000 m，Opzp方向1 000 m。假設vconst=vx，通過調整vy和 vz修正ΔL和ΔH。

根據以上條件分析如下3種情況時，vnet在空間網格中的變化情況。

(1)tnet相同，vconst唯一

這是在空間網格中對速度以外的其他元素都加以限定所建立的網格。此條件下的空間網格是空間網格法中的基礎網格，空間網格法是由多個基礎網格組成的。本小節主要是分析在僅劃分出一個空間網格時，valter的變化規律。

圖4，5分別給出vy隨x和y，vy隨x和z的變化規律，可以看出vy與x，y和vy與x，z均近似成雙線性關系。即vy與節點位置近似成線性關系。

(2)tnet相同，vconst變化

在(1)的基礎上，如果vconst=vx變化，則得到同一節點處，相同空間網格的不同vnet=vy。圖6給出了vy隨vx的變化關系，圖中顯示vy與vx也滿足線性關系。

(3)tnet變化，vconst唯一

由于飛行時間對落點有影響，因此必須分析當tnet不同時的情況。如圖7所示的vy在不同tnet條件下的變化趨勢。可以看出vy與tnet近似成線性關系。

圖7 vy隨tnet的變化規律Fig.7 vychange rules with tnet

tnet變化，vconst變化時vy的變化規律是情況(2)，(3)疊加時vy隨tnet和vconst的變化規律，這里不再給出示意圖。由于vy與vconst滿足線性關系，vy與tnet也近似成線性關系，則tnet和vconst同時變化對vy的影響，與情況(1)中分析的結果類似，即vy與tnet，vconst成雙線性關系。

以上給出了 vy隨 t，x，y，z，vconst的變化規律，vz的變化情況與之類似，這里不再具體分析。通過以上分析，可以看出空間網格法中valter的變化是有規律可循的。層層的線性關系構成空間的多維網格，當給定 t，x，y，z，vconst時，可以通過線性插值得到valter，從而確定需要速度。但是這種線性程度是否滿足精度需要，必須加以分析才能確定空間網格法是否具有使用價值。

3 空間網格法的可實現性分析

通過第 2 節的分析，valter與 t，x，y，z，vconst近似成線性關系。但是線性程度的好壞直接影響導彈當前位置需要速度的精度，能否通過線性插值或其他擬合方法得到符合精度要求的節點速度vnet是空間網格法得以使用的重要依據。利用與第2節相同的初始條件和仿真得到的空間網格數據，對空間網格法的線性程度進行分析。

分析方法是假設空間網格法符合多維線性關系，利用線性插值得到節點以外空間點的運動參數，并以此為關機點參數解算被動段彈道，計算落點偏差是否滿足精度要求。如果滿足要求，則空間網格法的線性程度好，網格數據規律性強，可以作為控制導彈運動的基準參數。如果不滿足要求，而其他曲線擬合函數也無法滿足要求，則網格數據的波動起伏較大，僅存在局部線性關系，則限制了該方法的使用。

仍以vconst=vx為例，按照第2節給出的幾種情況分別對節點以外空間點的精度進行分析。

(1)vx和 t不變時，假設 vx=6 048，t=0。vy，vz分別與x，y，z的線性程度分析如表1和表2所示。表中隨機給出多組x，y，z，通過三次線性插值得到對應的vy，vz，并計算落點偏差ΔL和ΔH。可以看出，如果導彈當前飛行時間和vx可以從保存的網格數據中找到，而位置不是保存的節點位置，通過插值得到的需要速度分量，使落點偏差基本上在1 m以內，滿足精度要求。

表1 位置偏差仿真結果1Table 1 Simulation results of position deviation1

表2 位置偏差仿真結果2Table 2 Simulation results of position deviation2

(2)x，y，z，vx不變時，假設 x=10 450，y=1 380，z=720，vx=6 050。vy，vz與 t的線性程度分析如表3所示。表中隨機給出多組t，線性插值得到對應的vy，vz，以及落點偏差ΔL和ΔH。表中數據顯示通過時間插值得到的需要速度分量，保證了落點精度，驗證了vy，vz與t具有良好的線性關系。

表3 時間偏差仿真結果Table 3 Simulation results of time deviation

(3)x，y，z，t不變時，假設 x=96 000，y=14 000，z=-3 000，t=0。vy，vz與 vx的線性程度分析如表4所示。表中隨機給出多組vx，線性插值得到對應的vy，vz，以及落點偏差ΔL和ΔH。表中落點偏差在1 m以內，證明vy，vz分別與vx的線性關系。

表4 速度vx偏差仿真結果Table 4 Simulation results of vxdeviation

從以上分析可以看出 valter與 t，x，y，z，vconst的線性程度很高，落點精度基本保證在1 m以內，滿足精度要求。當 t，x，y，z，vconst與節點參數不吻合時，通過層層的線性插值得到valter，進而得到需要速度。但是，空間網格法需要進行大量的計算，增加了彈上存儲負擔。為了在保證精度的前提下減小數據存儲量，需要通過仿真確定合適的網格距離和其他網格元素的步長。另一方面，由于良好的線性關系，如果利用線性擬合公式表示 valter與 t，x，y，z，vconst的關系，僅保存方程系數，可以大大減小存儲空間。

4 結束語

基于空間網格的制導方法是在攝動制導方法基礎上，為了增強導彈應對大干擾偏差的能力而提出的一種新方法。利用空間網格法參與制導運算，使得制導精度、抗干擾能力以及自適應能力方面均優于攝動制導，同時具有攝動制導中控制參量可以預先計算和裝訂，實時計算量小的優點。空間網格法計算簡單，速度快，精度高，具備在彈上制導計算中應用的條件;并且它將大量工作放在射前計算，彈上運算速度快，控制簡單，易操作。因此，空間網格法具有一定的發展前景，它的應用為導彈抵抗外干擾，提高彈上計算速度探索了一條新的途徑。

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