CA擺頭五軸機床校驗與優化

李 濱，林 滸，劉 峰，鄭飂默

（1.中國科學院研究生院，北京100039；2.中國科學院沈陽計算技術研究所，遼寧 沈陽110168）

0 引 言

五軸聯動數控機床具有加工精密度高，速度快和較大的靈活性，經濟效益高等諸多優點，在電力、船舶、航空航天等各領域都具有廣泛的應用。高精度雙擺頭作為五軸聯動機床中的關鍵部件，其發展水平已經成為衡量五軸機床性能的一項重要指標［1－2］，本文以CA擺頭五軸機床為研究對象，通過充分分析各運動學誤差對機床運動的影響，應用運動學建模理論，建立了一種帶誤差的CA擺頭五軸機床運動學模型，并提出了一種有效的CA擺頭結構誤差的測量和優化方法，同時，可為其它擺頭類五軸機床結構誤差的測量提供參考。

1 運動學模型

1.1 運動學變換矩陣

由齊次變換矩陣相關知識［3］，相對空間任意位置矢量L＝Lxi＋Lyj＋Lzk平移的變換矩陣通式為

繞空間任意單位矢量N＝Nxi＋Nyj＋Nzk旋轉θ的旋轉矩陣通式為

1.2 無誤差CA擺頭結構

無誤差CA擺頭五軸機床結構如圖1所示，該類型機床具有C軸、A軸兩個旋轉軸，分別繞Z軸線性軸、X軸線性軸旋轉，并且兩旋轉軸軸線與主軸軸線相交于一點。實際加工中的加工程序都是基于此種無誤差的機床結構進行編制的。

圖1 無誤差擺頭

1.3 帶誤差CA擺頭結構

在制造擺頭類五軸機床時，使兩旋轉軸相交，使旋轉軸中心在本來的位置、方向上，另外使主軸旋轉中心在本來的位置、方向上正確制造是十分困難的，會存在偏差［4－5］。這使得采用基于無誤差的機床結構編制的數控程序進行加工時，刀心點的實際位置與理想位置會存在一定的誤差，影響擺頭類機床加工精度。

帶誤差的CA擺頭五軸機床結構如圖2所示。

1.4 帶誤差運動學模型

根據如圖2所示的帶誤差的CA擺頭機床結構，設C軸單位方向矢量為 NC（NC.x，NC.y，NC.z），轉動角度為θc，A 軸單位方向矢量為 NA（NA.x，NA.y，NA.z），A軸轉動角度為θa，C 軸 與 A 軸 的 位 置 偏 離 矢 量 為 LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z），A 軸 與 主 軸 端 點 （刀 心 點）偏 離 矢 量 為LAT（LAT.x，LAT.y，LAT.z），X、Y、Z軸的運動矢量為 （Px，Py，Pz），刀心點的坐標矢量為 （Qx，Qy，Qz），以上矢量的定義，均為同一坐標系下的坐標矢量。

通過充分分析CA擺頭運動學特性［6－7］，結合運動學相關理論［8－10］，建立CA擺頭五軸機床運動學模型如下

圖2 帶誤差擺頭

式中：Trans——坐標平移變換矩陣，Rot——坐標旋轉變換矩陣［11］。

通過正向運動學求解模型 （1），可求得給定5個軸的進給量后刀心點在機床坐標系的坐標。

模型 （1）中的矢量NC、NA、LCA、LAT即為本文所提算法要測量計算的CA擺頭五軸機床的誤差參數。

2 誤差測量

由于旋轉軸位于擺頭內部，無法方便的用測量設備直接測量各誤差項的值，因此采用間接測量的方式。

通過分析各誤差項對五軸機床運動的影響，可得到如下關系：保持一旋轉軸角度不變，使令一旋轉軸轉動，刀心點軌跡所在平面的法線方向即為此旋轉軸軸向方向。又因為通過平面內三點坐標，即可確定平面法向矢量，因此，本文提出了分兩次測量，每次固定一個旋轉軸，每次測量3個刀心點的測量方法。

兩次測量具體步驟為：第一次測量保持C軸角度不變，A軸轉動3個行程內任意角度，機床X、Y、Z線性軸進給量取行程內任意值，以確定機床3個位置，測量相應位置機床刀心點的坐標；第二次測量保持A軸角度不變，C軸轉動3個行程內任意角度，機床X、Y、Z線性軸進給量取行程內任意值，以確定機床3個位置，測量相應位置機床刀心點的坐標。

算法分析及具體流程如下：

為描述方便，設第一次測量時，機床3個位置的各軸進給量相應分別為：X、Y、Z線性軸為 PAi（PAi.x，PAi.y，PAi.z）（i＝1，2，3）；A軸旋轉角度為θai（i＝1，2，3）；C軸旋轉角度為θc保持不變。同時，設測得的刀心點的坐標相應分別為：QAi（QAi.x，QAiy，QAiz，1）T（i＝1，2，3）。設第二次測量時，機床3個位置的各軸進給量相應分別為：X、Y、Z線性軸為PCi（PCi.x，PCi.y，PCi.z）（i＝1，2，3）；C 軸旋轉角度為θci（i＝1，2，3）；A軸旋轉角度為θa保持不變。同時，設測得的刀心點的坐標相應分別為：QCi（QCi.x，QCi.y，QCi.z，1）T（i＝1，2，3）。

對于兩次測量設置的每個位置，將其各軸進給量帶入模型 （1）即可得到刀心點的坐標，結合測量得到的刀心點的坐標，得到下列關系式

2.1 C軸軸向單位矢量

為計算C軸軸向單位矢量，記位置矢量Trans（PCi.x，PCi.y，PCi.z）－1×QCi＝ μci， 根 據 式 （3），位 置 矢 量 μc1、μc2、μc3位于刀心點繞C軸旋轉的圓周上。因此3個刀心點所在平面的法向量即為C軸軸向，通過向量差乘的方法，求得 C軸的單位方向矢量 NC（NC.x，NC.y，NC.z）

式 （4）中沒有其他未知參數，因此，可以通過式（4），根據已知量和測量值準確計 NC（NC.x，NC.y，NC.z）的值，當式 （4）求得的單位方向矢量的Z方向分量為正時，式 （4）右邊取正號，為負時，取負號。

2.2 A軸軸向單位矢量

為計算A軸軸向單位矢量，記位置矢量Rot（NC，θc）－1Trans（PAi.x，PAi.y，PAi.z）－1QAi＝μai。根據式 （2），位置矢量μa1、μa2、μa3位于刀心點繞A軸旋轉的圓周上。因此3個刀心點所在平面的法向量即為A軸軸向，通過向量差乘的方法，求得 A 軸的單位方向矢量 NA（NA.x，NA.y，NA.z）

式中，NC（NC.x，NC.y，NC.z）已有式 （4）求得，式 （5）中沒有其他未知參數，因此，可以通過式 （5），準確計算NA（NA.x，NA.y，NA.z）的值，當式 （5）求得的單位方向矢量的X方向分量為正時，式 （5）右邊取正號，為負時，取負號。

2.3 A軸主軸位置偏離矢量

在建立CA擺頭五軸機床運動學模型時，需要選取A軸的旋轉中心點，理論上，可選取A軸軸線上任意點作為A軸的旋轉中心點，因此，可以通過設置LAT.x的值 （稱為A軸X方向定標），以確定A軸的旋轉中心點。

分析式 （2），可得到如下關系式

結合式 （6），給定i、j，可求得LAT.y、LAT.z的值。

為描述方便記

式中：vax，vay，vaz——方向矢量μaj－μai的X、Y、Z方向分量

則計算LAT.y、LAT.z的表達式為

式中：NC（NC.x，NC.y，NC.z）、NA（NA.x，NA.y，NA.z）已分別由式 （4）、式 （5）計算得到。式 （7）、式 （8）為LAT.y、LAT.z關于LAT.x的方程，通過給A軸X方向定標，設置LAT.x的 值， 即 可 應 用 式 （7）、 式 （8）求 得 LAT.y、LAT.z的值。

2.4 C軸A軸位置偏離矢量

分析式 （3），可得到如下關系式

由此得到計算LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z）的表達式如下

式中：NC（NC.x，NC.y，NC.z）、NA（NA.x，NA.y，NA.z）已分別由式 （4）、式 （5）計算得到。LAT（LAT.x，LAT.y，LAT.z）的值已通過A軸X方向定標以及式 （7）、式 （8）求的，因此可以用式 （10）求得LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z）的值。

2.5 測量流程

經過以上4個步驟，即可求得CA擺頭各誤差項的值，進而校驗CA擺頭是否存在誤差及存在何種誤差，將各誤差項的值，補償到模型 （1）中，進行優化，得到模型 （1）的準確表達式，利用模型 （1），即可得到刀心點的實際坐標值，實現機床的準確加工。

在具體測量時，測A軸時設置的A軸的3個角度值，差距應該足夠大，否則，會影響各誤差項的測量計算精度。同理，測C軸時，C軸的3個角度值的差距應設置的足夠大。

對各誤差項的測量計算過程中，需要對A軸旋轉軸定標，以確定A軸旋轉軸的旋轉中心點，不同的旋轉中心點，線 性 偏 離 量 LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z）、LAT（LAT.x，LAT.y，LAT.z）會有所不同，但都對應同一種機床結構，即將誤差項的值補償到運動學模型中后，模型是一樣的。

為更形象、更直觀的展示本文所提算法，建立本算法的流程示意圖如圖3 （用五元組 （X，Y，Z，C，A）表示CA擺頭五軸機床相應軸的進給量）。

圖3 誤差測量流程

3 實現與驗證

根據上述算法分析及算法流程，使用VC6.0開發了一種CA擺頭誤差測量系統，系統輸入為兩次測量的刀心點位置矢量及各軸相應進給量 （如圖4所示），在輸入完成后，系統會應用本文所提算法，計算CA擺頭的各個誤差參數值并輸出 （如圖5所示）。

為驗證本算法及測量系統的正確性，根據已建立的CA擺頭五軸機床運動學模型，基于VC6.0開發了一種CA擺頭機床運動學仿真系統 （如圖6所示），系統通過設定模型中的各個誤差項的值 （machine set）模塊，形成特定的機床結構，給定機床線性軸及旋轉軸的值 （get tips coordinate values）模塊，模擬機床運動，準確計算輸出刀心點的位置矢量。

圖6 機床運動學仿真系統

針對CA擺頭五軸機床進行測量實驗，應用機床仿真系統按表1設置各個誤差項的值，并仿真測量過程，得到各軸進給量及相應刀心點的坐標，輸入到測量系統中，得到如圖5所示的輸出結果。

表1 仿真系統誤差項預設值

通過對比表1和圖5中相應誤差項的值，表明應用本文所提算法，可以準確的測量計算CA擺頭的各項誤差參數，且具有較高的計算精度。將測得的誤差項的值補償到CA擺頭運行學模型 （1）中，可實現CA擺頭五軸機床的準確加工。

4 結束語

對CA擺頭五軸機床的結構誤差進行校驗補償和優化，能夠有效提高五軸機床的加工精度，本文所提出的算法，可以準確自動測量CA擺頭兩旋轉軸方向偏差和它們之間的位置偏差以及A軸與主軸之間的位置偏差，通過分析得到的誤差項的值，可校驗機床是否存在偏差，若機床有偏差，可指導調整機床結構，也可將各測量誤差補償到所建立的運動學模型中，進行模型優化，得到準確的刀心點坐標，實現五軸機床的高精度加工。

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［1］YI Gang.Analysis and key technologies for five－axis machine head ［J］.Metal Processing，2011 （5）：46－47 （in Chinese）.［易剛.五軸頭技術水平分析及關鍵技術 ［J］.金屬加工，2011 （5）：46－47.］

［2］LI Yan，GAO Xiufeng，LIU Chunshi，et al.Current situation and key technologies of A／C axes bi－rotary milling head ［J］.Machinery design ＆ Manufacture，2011 （11）：195－197 （in Chinese）.［李焱，高秀峰，劉春時，等.A／C軸雙擺角銑頭發展現狀與關鍵技術 ［J］.機械設計與制造，2011 （11）：195－197.］

［3］Zheng L M，Lin H，Gai R L.Postprocessor based on genera lized kinematics model of five－axis machine tools ［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2010，16 （5）：1006－1011.

［4］Uddin M S，Ibaraki S，Matsubaraa，et al.Prediction and compensation of machining geometric errors of five－axis machining centers with kinematic errors ［J］.Precision Engineering，2009 （33）：194－201.

［5］LI Guangyou.Design of automatic measuring program for rotary axis’s center coordination in 5axes machine tool ［J］.Modular Machine Tool ＆ Automatic Manufacturing Technique，2010（4）：75－79 （in Chinese）.［李光友.五軸聯動數控機床旋轉軸中心坐標的自動測量程序設計 ［J］.組合機床與自動化加工技術，2010 （4）：75－79.］

［6］FIDIA S.p.A.System and process for measuring，compensating and testing numerically controlled machine tool heads and／or tables：US，7245982B2 ［P］.2007－07－17.

［7］Masako Sudo.Advanced control technologies for 5－axis machining ［J］.International Journal of Automation Technology，2007，1 （2）：108－112.

［8］ZHENG Liaomo，LIN Hu.Design of a generic kinematics model of five－axis machine tools ［J］.Journal of Chinese Computer Systems，2010，31 （10）：1965－1969 （in Chinese）.［鄭飂默，林滸.五軸機床通用運動學模型的設計 ［J］.小型微型計算機系統，2010，31 （10）：1965－1969］

［9］Giuseppe Morfino.System and process for measuring，compensating and testing numerically controlled machine tool heads and／or tables：US，7245982B2 ［P］.2007－07－17.

［10］Anotaipaiboon W，Makhanoy S S，Bohez.Optimal setup for five－axis machining ［J］.International Journal of Machine Tools ＆ Manufacture，2006，46 （9）：964－977.

［11］CHEN Zeshi，ZHANG Qiuju.The applocation of D－H me thod in the kinematics modeling of five－axis coordinated machine tools ［J］.Machine Tool ＆ Hydraulic，2007，35 （10）：88－93 （in Chinese）.［陳則仕，張秋菊.D－H法在五軸機床運動學建模中的應用 ［J］.機床與液壓，2007，35 （10）：88－93.］