矩形隧道中電磁波傳輸損耗收斂閾值頻率分析

鄭紅黨，王亞男

（中國礦業大學 信電學院，江蘇 徐州221008）

在隧道中存在的波模必滿足：

矩形隧道中電磁波傳播模式理論以文獻［1］為基礎，研究了隧道形狀、尺寸和隧道壁的電參數對電磁波的傳播特性的影響，所做分析僅針對基模或部分波模［2－5］。僅用基模或部分波模的傳輸特性來分析電磁波的特性是不夠準確的，幾何光學與波模理論分析結果的分歧也在于此［6－7］。近期，Sun Zhi等研究了多波模理論并結合陰影衰落建模［8－9］，其仿真結果與實驗結果更為接近，但在其研究中沒有考慮波模數量的問題，一旦傳播環境改變，有效的傳輸波模數目也會隨之變化。

波模理論有必要進一步推導與分析，首先應推導出隨著隧道環境變化，傳輸波模個數的公式，再對隧道內的傳播特性進行分析，于隧道無線通信系統建設提供明確的參考。

1 波模理論基礎

矩形隧道中傳輸的主要模式為：水平極化波Eh與垂直極化波Ev。若隧道的寬度為a，高度為b，隧道壁的相對介電常數為ε，根據麥克斯韋方程，可以得到水平極化波Eh的各場量的表達式［1］：

其中，色散系數kx，ky，kz滿足：

垂直極化波Ev的各場量的表達式為：

其中，色散系數kx，ky，kz滿足：

式中：m為波模在水平方向的半波數；n為波模在垂直方向的半波數。

kz中的虛部表示了波模在z方向的衰減，用dB表示水平極化波Eh的衰減系數有：

通過交換式（5）中的下標，可得到垂直極化波Ev的衰減系數：

由式（5）和式（6）可見，僅對各個波模來說頻率越高所對應的衰減系數越小，并且隧道橫截面尺寸越大，衰減系數越小。

2 傳播模式個數的推導

隧道中電磁波傳輸時的波模數目并沒有文獻給出準確的公式，一些文獻也只是通過仿真來確定在某一特定環境下，需要考慮的波模數目。但隨著環境的變化，波模數目將會改變。

分析式（2）式（4），色散系數kx，ky的虛部，由于傳輸波長選擇小于巷道尺寸，由此忽略虛部則：

在隧道中存在的波模必滿足：

進一步推導可得：

由公式（11）可知，在隧道中傳輸的波模的模數（m，n）必在以長軸為2a／λ，短軸為2b／λ的橢圓內，又因為m，n非負，所以總的波模個數M 為此橢圓的1／4面積即：

波模的數目與波長的平方成反比即隨頻率的平方而增長，符合文獻［10］的結論。

3 波導傳輸損耗推導

以水平極化波為例，不考慮天線的方向性，每個波模的攜帶能量相等，總的介質波導傳輸損耗為：

當隧道橫截面尺寸遠遠大于電磁波波長時，則公式（11）第一項累加和可化為積分形式：

同理，求公式（11）的第二項累加和得：

式（13）和（14）代入式（11）可得水平極化波考慮所有可能出現的波模時總的損耗為：

用同樣的方法計算垂直極化波的波導損耗為：

由式（15）與式（16）知，隨著頻率的升高，當波長遠遠小于截面尺寸時，總波模損耗收斂于一個穩定值，且這個穩定值與波長無關。即存在一個閾值頻率，當發射頻率增加到此閾值頻率，再提高發射頻率，對于減少波導損耗的作用不大。當隧道截面尺寸增加時，介質波導引起的損耗將減少。

因此，求出收斂閾值頻率是對于載頻的選擇有著重要的指導意義。下面通過仿真分析影響此閾值的因素。

4 仿真與分析

為了取得波長或頻率閾值的共性，分別對寬為10m，高為5m的大隧道和寬為1m，高為2m的小隧道進行了仿真分析。

圖1仿真了電磁波衰落與激勵波模數的關系，可以看出在大巷道與小巷道中電磁波隨波模數目變化的衰落趨勢是基本相同的。當激勵的波模數目大于200時，電磁波衰落值就很接近于式（15）式（16）給出的收斂值，即當波模數目大于200時，電磁波的介質波導損耗的計算可以用式（15）式（16）代替。也說明隨著發射頻率的提高，介質波導衰落不會再隨之明顯的減小，為了減小散射與傾斜度的衰落，則最佳發射頻率應取收斂點處的頻率。

圖1 隧道中電磁波衰落與激勵波模數的關系

文獻［11］通過測量數據也從另一側面說明了這個結論，“當巷道截面等效半徑與波長相差不大于10倍時（大于或小于），巷道截面尺寸對無線傳輸的影響較大，當巷道截面等效半徑遠遠大于波長時，巷道截面對無線傳輸的影響微弱”。由于波模數目與巷道截面成正比，當巷道截面較小時，也就是激勵的波模數目較少時，截面積的大小對無線傳輸的影響大，當截面尺寸繼續增大時，激勵的波模模數目超過一定的數值時，巷道截面的大小對無線傳輸影響較小，與本文的結論是一致的。

根據以上分析，把激勵波模數目M＝200代入公式（10），可以得到閾值波長，從而計算出閾值頻率，作為發射頻率的參考。表1為頻率閾值參考表。

文獻［11］中也指出煤礦最佳傳輸頻率為900 MHz，煤礦巷道橫截面尺寸為8m2附近，這也與本文所得結果一致。

表1 收斂閾值參考表

5 結論

論文運用波模理論推導分析出在矩形隧道中隨著發射頻率的提高，介質波導傳輸損耗趨于一個收斂值，其大小取決于隧道尺寸，而收斂的趨勢則取決于激勵的波模數。對不同尺寸隧道的仿真表明，當激勵的波模數目達200左右時，傳輸損耗均近似等于收斂值，對應的頻率即為收斂閾值頻率。這與文獻［10］經過測量得到的結論基本一致。收斂閾值頻率對隧道內載頻的選擇有著重要的指導意義，當載頻小于收斂閾值頻率的波導損耗會隨著頻率的提高而迅速減小，當頻率大于收斂閾值時，波導傳輸損耗是一個平穩值。

［1］ Emslie A，Lagace R，Strong P．Theory of the propagation of UHF radio waves in coal mine tunnels［J］．IEEE Transactions on Antennas and Propagation，March，1975，23（2）：192－205．

［2］ 成凌飛，孫繼平．矩形隧道圍巖電參數對電磁波傳播的影響［J］．電波科學學報，2007，22（3）：513－517

［3］ 楊維，李瀅，孫繼平．類矩形礦井巷道中 UHF寬帶電磁波統計信道建模［J］．煤炭學報，2008，33（4）：467－472．

［4］ 孫繼平，成凌飛，張長森．電導率對巷道中電波傳播的影響［J］．遼寧工程技術大學學報，2007，26（1）：96－98．

［5］ Dudley D G，Lienard M．，Mahmoud S．F．，Degauque P．Wireless propagation in tunnels［J］．IEEE Antennas and Propagation Magazine，2007，49（2）：11－26．

［6］ 張申．帳篷定律與隧道無線數字通信信道建模［J］．通信學報，2002，23（11）：41－50．

［7］ 鄭紅黨．煤礦井巷電波傳播理論和MIMO信道建模關鍵技術研究［D］．徐州：中國礦業大學，2010．

［8］ Zhi Sun，Ian F．Akyildiz，Gerhard P．Hancke，Capacity and Outage Analysis of MIMO and Cooperative Communication Systems in Underground Tunnels［J］．IEEE Transactions on Wireless Communications，2011，10（11）：3793－3803．

［9］ Zhi Sun，Ian F．Akyildiz．Channel Modeling and Analysis for Wireless Networks in Underground Mines and Road Tunnels［J］．IEEE Transactions on Communications，2010，58：1758－1768．

［10］ 保羅·德隆涅．王椿年，戴耀森，高懷珍等譯．漏泄饋線和地下無線電通信［M］．北京：人民郵電出版社，1988．

［11］ 孫繼平．礦井無線傳輸的特點［J］．煤礦設計，1999（4）：20－22．