基于Logistic回歸模型的人口預測分析*

張小樂，黃晶霞

(1.楚雄師范學院數學系，云南 楚雄 675000;2.云南大學信息學院，云南 昆明 650031)

1.Logistic回歸模型參數估計的研究意義

Logistic回歸模型不僅可以應用于人口預測，還可用于醫療衛生、社會學、經濟學等各個領域。在統計研究過程中，我們經常會遇到因變量為虛擬變量的情形，例如，在人口預測中生存率與死亡率、發病與未發病、性別比例問題。這時用線性回歸模型的方法對此類問題進行研究已不再可行，而logistic回歸模型可同時分析包含離散變量和連續變量的多個自變量，并能有效地分析自變量之間的交互作用，為多個自變量與因變量之間的相互關系提供一個定量描述。

本文在介紹Logistic回歸模型的基礎上，基于數值微分和最小二乘曲線擬合對Logistic回歸模型進行了參數估計，這種方法對人口、資源、環境等的發展和預測具有應用價值.只要滿足Logistic生長過程的事物，就可以采用Logistic函數預測，而在用Logistic函數進行預測的時候，本文中的估計方法就能發揮作用。

2.Logistic回歸模型介紹

Logistic模型是1938年Verhulst－Pearl在修正非密度方程時提出來的，他認為在一定的環境中種群的增長總存在一個上限，當種群的數量逐漸向著上限上升時實際增長率就要逐漸地減少，因而也被稱為 Verhulst－Pearl方程［1］。

人口問題是影響我國發展的重要因素，準確預測出未來人口的發展趨勢有重要的指導意義，我們考慮種內對資源的競爭，自然資源、環境條件等因素對人口的增長起阻滯作用，且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。

我們記時刻t的人口為x(t)，并將x(t)看作連續、可微的函數。記初始時刻(t=0)的人口為x0.假設人口增長率為常數r，也就是說單位時間內x(t)的增量等于r乘以x(t)。我們考慮t到t+△t時間內人口的增量，則有

令△t→0，則得到x(t)滿足如下的微分方程

阻滯作用體現在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數量x的增加而下降.若我們把人口增長率r表示為人口數量x的函數r(x)，則r(x)是減函數，于是(2)式可寫為

設r(x)是x的線性函數，即

這里的r表示人口很少時(理論上設x=0)的增長率，即人口不受環境和資源限制的固有增長率。為了明確參數s的意義，引入最大人口容量xm，即自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量。則當x=xm時，人口的增長率為零，即增長率r(xm)=r－sxm=0，從而得到，于是(4)式可改寫為

3.Logistic回歸模型的參數估計

Logistic回歸模型的參數估計的方法有很多，如極大似然估計、最小二乘估計、穩健估計、Bayes估計等等。本文用數值微分和曲線擬合法對logistic模型進行參數估計，并進行實證分析。

由Logistic模型的解(8)中可知，只要對參數xm，a，b進行估計即可，主要方法和步驟如下:

(1)首先求xm.對(6)式變形得到

(2)求參數a、b.將 (8)式變形為

4.Logistic人口模型在人口預測中的應用

根據中國統計局在《統計年鑒》中公布的“1950—2010”年人口統計數據，本文只選取1980年到2005年的總人口數據(見表1)來擬合。

表1 1980—2005年中國人口數據(萬人)

首先運用數值微分得到年增長率的值，然后再利用Matlab軟件進行擬合［6］。

通過Matlab軟件畫出散點圖(見圖1)可以看出該圖是一條單調函數的圖像，且是指數型的，因此可以選用一次多項式進行擬合。

圖1 1980—2005年擬合數據點

由表一中的數據估算出 xm=15.14(單位:億)，a=0.5726，b=0.05073，從而得到中國人口的Logistic回歸模型的具體表達式為

通過Matlab軟件進行擬合可以直觀地看到數值的變化情況(見圖2)，預測的數據和實際數據曲線擬合得比較好。

圖2 1980—2005年數據點與擬合曲線

于是求出預測中國人口的具體公式

我們取1980年的人口總數為x0=9.8705(注:單位:億)。

根據上式可以計算2000和2005年的人口數:

當t=20時，

誤差都較小，說明預測結果比較準確。

下面來預測2015年的人口總數，即取t=35，則

以此類推，我們可以估算出未來幾年的中國人口數(見表2)。

表2 由上述公式可估算未來2015—2040年的中國總人口數:(單位:億)

5.小結

本文基于數值微分和最小二乘曲線擬合對Logistic回歸模型進行了參數估計，這種方法對人口、資源、環境等的發展和預測具有應用價值，由此計算了我國2000年到2005年總人口數的誤差情況，并預測了2015年—2040年我國的人口總數。只要滿足Logistic生長過程的事物，就可以采用Logistic函數預測，而在用Logistic函數進行預測的時候，本文中的估計方法就能發揮作用。

［1］姜啟源.謝金星.葉俊.數學模型［M］.北京：高等教育出版社，2003：12—14.

［2］馬修斯 (Mathews，J，H)，芬克 (Fink，K.D.).周璐.數值方法［M］.北京：電子工業出版社，2010：12—14，207—208，261—264.

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