拖靶垂向運動傳遞函數的求解

王成軍 李世秋 鄭成軍

(遼寧興城92419部隊 125106)

拖靶系統是一類特殊的飛行器系統。拖靶系統主要包括拖帶飛機、拖纜和無動力的拖靶。其中拖帶飛機一般為有人駕駛飛機，拖纜是一根長度約幾千米而直徑只有幾毫米的鋼纜，拖靶多為外形類似導彈的無動力飛行器。拖靶系統的工作特點是用有動力的拖帶飛機，通過拖纜牽引著拖靶飛行。

拖靶系統的應用基本上為軍事應用，即用拖靶來模擬來襲的導彈類飛行器，以為各種反導彈武器系統提供防御和打擊的目標。由于在工作結束后，如果拖靶未被擊中，則可以通過纏繞拖纜將拖靶收回，所以拖靶可以多次使用，具有很高的性價比。目前，美英等國家生產和應用的拖靶已經具有多種型號并且形成系列。

在拖靶的設計中，最關鍵的是高度控制系統的設計，而拖靶垂向運動傳遞函數是高度控制系統設計的理論基礎。我國的拖靶設計生產起步較晚，目前很少見關于拖靶系統設計方面的報道。

1 拖靶的受力分析

考慮到拖靶實際供靶飛行中基本上是一個縱向的等速直線運動，且滾轉角速度為零，則可以把拖靶置身于慣性坐標系中，按剛體平面運動來分析。拖靶受力圖如圖1示。

圖1 拖靶受力分析圖

0－拖靶牽引點，即原點

01－拖靶重心

O2－壓力中心

R－牽繞點到軸線距離

Xcp－壓力中心到原點水平距離

Ycp－壓力中心到原點垂直距離

Xg－重心到原點水平距離

L－升力

D－阻力

T0－牽引點拉力

θ0－拉力相對來流的傾角

mg－拖靶重量

α－拖靶迎角（攻角）

根據受力分析，可以看出，拖靶受力的垂向分量（向上為正）包括重力-mg、牽引點拉力的分量TH和升力L，當拖靶存在垂向的速度時（拖靶的垂向速度遠小于水平速度），垂向上還有阻力D的分量Dy。

2 建立拖靶垂向運動的微分方程

根據牛頓第二定律，在垂直方向上可以得到

其中H為拖靶的高度。

在這個微分方程中，重力mg是不變的。下面計算其他三個分量。

2.1 計算TH

由于拖纜是長度約為幾千米的鋼纜，不能作為一個剛體來看待，而且拖靶系統是一個包括飛機、拖纜和拖靶在內的多體運動系統，因此牽引點的拉力計算十分復雜。在此，我們根據小擾動假設，計算在平衡狀態附近的張力。首先，可以用靜態方法計算出幾個平衡點附近不同狀態下的拖纜張力值，然后進行線性化處理。方法如下：

設靶翼角z0＝0時，即高控系統不工作狀態下，對應的拖靶飛行高度為H0，

相應的，設H0處拖纜拉力的垂直分量為TH0，

則 TH0＝ mg，

設HL處拖纜拉力的垂直分量為THL

那么基于線性假設，對于靶高H處，拖纜拉力的垂直分量

2.2 計算升力L

由于拖靶飛行時的攻角很小，而且拖靶的氣動外形基本為上下對稱，所以靶體和尾翼的升力可以忽略不計，即拖靶的升力主要來自舵翼。根據飛行力學的原理，升力的計算公式為

2.3 計算Dy

氣動阻力的垂直分量與垂向速度有關。設拖靶的水平速度為vx，由于拖靶飛行的靜穩定性較大，當拖靶具有垂向速度時，拖靶能夠迅速使迎角變為零，即對垂向速度的阻尼主要來自氣動阻力在垂向上的分量。因為垂向速度為 Hvy˙= ,則速度方向與水平面的夾角為

則有

阻力DqSCD= ，其中CD為拖靶的阻力系數。

由于在拖靶的超低空飛行階段，拖靶的水平速度Vx是基本恒定的，所以可以認為拖靶受到的空氣阻力的垂直分量與垂向速度成正比。

2.4 建立微分方程

將上述的計算結果代入到微分方程中，可以得到

在平衡點附近，上面微分方程中的系數可以認為是常數，這樣就得到了一個線性化的數學模型，從而可以采用經典的線性系統理論來進行控制律的設計。

3 傳遞函數的確定

對拖靶的線性化模型采用Laplace變換進行處理，即用各個系數在拖靶飛行的平衡工作點處的值來近似代替實際值，然后對該微分方程進行拉氏變換，就可得到系統的傳遞函數。根據Laplace變換的特性，可以得到

即

即可得到：

從舵翼角z到高度H的傳遞函數

從零位舵翼角高度H0到高度H的傳遞函數

4 結束語

拖靶的垂向運動傳遞函數是設計拖靶高度控制系統的基礎。以拖靶為研究對象，通過受力分析，得到拖靶的垂向運動微分方程，再根據線性系統理論中的小擾動假設，就能夠從靜態出發，研究平衡點附近的動態特性。應用這種方法，在拖靶的設計階段得到的傳遞函數，為拖靶高度控制系統的設計提供了定量分析的手段，對其設計工作意義重大，為分析實際拖靶的飛行狀態提供了重要的工具。

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[2] 胡壽松.自動控制原理. 科學出版社，2001

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