考慮大變形的大柔性立管渦激振動模型

吳學敏，黃維平

(中國海洋大學 山東省海洋工程重點實驗室，山東青島 266100)

渦激振動(Vortex Induced Vibration，VIV)可導致深海大柔性立管發生疲勞破壞。深水立管在深海復雜環境中，除與海底、平臺接觸外無任何支撐。研究發現，深海立管在漩渦脫落影響下發生多種振動現象:多模態振動、高階模態振動、非對稱彎曲大變形等［1－6］。正確預測深水立管渦激振動特征對海洋立管設計意義重大。

由于深水立管自身特性及所處復雜深海環境等特點，研究深水立管渦激振動特征用試驗方法不易操作。據獲得作用于結構的流體力方法不同，預測深水立管渦激振動主要有①半經驗方法，該法中的尾流振子模型較常見，典型的為基于非線性van der Pol方程的尾流振子模型，該模型因具有自激、自限性特征，故能捕捉到渦激振動現象，如:鎖定現象。但在采用該模型時，需作假設:如當鎖定現象發生時，假設漩渦脫落沿立管長度全相關。②預測方法(Computational Fluid Dynamics，CFD)，該方法被公認為較理想的預測細長立管渦激振動方法，但由于三維模擬計算量大等問題，此類模擬較少。而大多數CFD數值模擬方法中，均選取立管若干截面，在各個截面上進行二維流體數值模擬計算。此二維模擬忽略展向尾流的影響。Yamamoto等［7］用CFD方法模擬細長圓柱體渦激振動，結果與試驗結果吻合較好;秦延龍等［8］給出較全面的CFD方法研究深水立管渦激振動綜述。

目前對海洋立管的動力響應分析模型中，大多采用線性化彈性細長桿模型，忽略了深水立管的幾何非線性效應。由于海洋立管渦激振動不僅會出現多模態參與振動現象，且會出現彎曲大變形現象。因此深水立管的幾何非線性效應不可忽略。對此本文提出考慮深海立管大變形彎曲振動模型，并用有限元方法分析均勻流中某大長徑比深海頂張力式立管的渦激振動特性。

有研究表明，深海立管的順流向渦激振動振幅與橫向振動振幅具有相同數量級［9］。當立管順流向與橫流向固有頻率比與順流向與橫流向激發頻率比相等時，立管的渦激振動出現雙向共振特征，立管呈“8”字形狀［10－11］。即順流向振動對深水立管疲勞損傷同等重要。本文在所提新模型基礎上對深海立管進行順流向、橫流向自由度渦激振動大變形振動響應特征分析。

1 數學模型

在笛卡爾坐標系下建立運動方程［12－15］。假設立管不可伸長，即變形前后弧長s不變。圖1為深水頂張式立管微元段力學模型。由動量、動量矩守恒可得長ds微段立管單元平衡方程:

圖1 微元段Fig.1 Microelement

式中:F為截面內力;q為立管單位長度分布外力;ρ為立管單位長度質量;m為單位長度分布外力矩;ρ=ρtAt+ρiAi為截面力矩，為彎矩與扭矩之和，表示為:

式中:B=EI為截面彎曲剛度;H為截面扭矩。

由式(3)得:

將式(4)代入式(2)并令H=0、m=0，即忽略單元扭矩、外力矩，得:

式中:λ為Lagrange乘子;T(s，t)=r';F'為立管張力;κ2= －r'r?，κ(s，t)為局部曲率。

將式(5)代入式(1)得大撓度細長梁運動方程為:

將式(7)寫成頂張力式立管大變形彎曲振動微分方程為:

2 數值計算

為驗證模型式(8)、式(9)，本文開發出深水立管渦激振動分析程序。由于深水立管渦激振動的非線性特征，程序采用Newmark－β隱式積分法求解。Newmark－β法為直接積分法，β=0.25時無條件穩定。

設大變形深海立管頂點為坐標原點，u軸為垂直方向坐標軸，v軸為水平方向坐標軸。將彎曲振動方程式(8)、(9)離散后得深海立管大變形彎曲振動有限元方程為:

式中:［Mv］為立管橫向質量矩陣:

［Mu］為立管豎向慣性系數矩陣:

［Kv］為立管橫向剛度矩陣:

［Ku］為立管豎向剛度矩陣:

［Cv］為立管橫向阻尼矩陣:

［Cv］= ［Mv］+ ［Kv］

［Cu］為立管豎向阻尼矩陣:

［Cu］= α［Mu］+ β［Ku］

其中:α，β 為瑞雷祖尼系數，單位 s－1，s，兩者取值為［16］:取體系基頻，取體系第三階自然頻率;{Fu}為立管豎向荷載向量;{Fv}為立管橫向荷載向量;{}為立管橫向加速度向量;{}為立管橫向速度向量;{v}為立管橫向位移向量;{}為立管豎向加速度向量;}為立管豎向速度向量;{u}為立管豎向位移向量;［N］為立管單元插值函數矩陣;l為單元長度;n為單元數量。

引入大變形，系統質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣與節點曲率相關。因此在每個時間步，有限元方程的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣均未變化的。為提高計算精度，對每個時間步進行迭代，時間步長dt=0.01 s。

3 算例分析

用以上程序對1 500 m水深頂張式立管(TTR)進行VIV大變形渦激振動響應特征分析。該TTR為雙套管(雙屏)生產立管，外套管外徑324 mm，內套管外徑222 mm，油管外徑114 mm。基于彎曲剛度等效原則將立管等效為單層管分析模型，等效后內徑為292 mm，頂張力系數取1.4。計算模型邊界條件一端固定、一端簡支。

3.1 計算結果驗證

由于Shear7采用基于模態疊加頻域分析方法，計算結果為響應的均方根值。因此，本文將計算結果統計分析，給出響應均方根值。圖2、圖3為固定－簡支邊界條件的均方根位移與均方根應力沿立管軸向分布曲線，虛線為本文分析模型計算結果，實線為商用軟件Shear7分析結果。可以看出，本文所提分析模型與Shear7模態疊加法計算結果吻合較好。

圖2 均方根位移曲線(固定－簡支)Fig.2 RMS Displacement along TTR

圖3 均方根應力曲線(固定－簡支)Fig.3 RMS Stress along TTR

3.2 動力特性分析

圖4為 Re=1.2×105時水深 Z=300 m、750 m、1350 m處三水平橫截面立管節點橫向振動時程曲線。并經傅里葉變換得圖5三水平截面處橫向振動響應頻譜。由圖5(a)看出，立管在Z=300 m處有六個峰值頻率:fv=0.029 9 Hz，0.069 9 Hz，0.119 9 Hz，0.159 9 Hz，0.199 9 Hz，0.259 9 Hz;在 Z=750 m 處有五個峰值頻率:fv=0.029 9 Hz，0.069 9 Hz，0.119 9 Hz，0.159 9 Hz，0.259 9 Hz;在 Z=1 350 m 處也有五個峰值頻率:fv=0.029 9 Hz，0.069 9 Hz，0.119 9 Hz，0.159 9 Hz，0.259 9 Hz。可見，立管水平位置不同，其控制模態亦不同，均發生多模態參與現象，參與的模態數目也不相同，且參與模態間頻率間隔較小。研究發現此時所對應的頻率峰值均相同。

圖6為Re=1.2×105時水深 Z=300 m、Z=750 m、1 350 m處三水平橫截面立管表面某點順流向振動響應頻譜圖。由圖6看出:立管在Z=300 m處有六個峰值頻率:fv=0.029 9 Hz，0.069 9 Hz，0.119 9 Hz，0.159 9 Hz，0.199 9 Hz，0.259 9 Hz;Z=750 m 處有四個峰值頻率:fv=0.029 9 Hz，0.119 9 Hz，0.159 9 Hz，0.259 9 Hz;Z=1 350 m處有五個峰值頻率:fv=0.029 9 Hz，0.069 9 Hz，0.119 9 Hz，0.159 9 Hz，0.259 9 Hz。可見，同樣在立管三個不同水平位置處，立管順流向振動的控制模態也不同，但對應的頻率峰值相同。均發生多模態參與振動現象。

圖4 Re=1.2×105時立管橫向振動時程曲線Fig.4 Time-history curve of cross－ flow vibration when Re=1.2 ×105

圖5 Re=1.2×105時立管橫向振動頻譜圖Fig.5 Spectrogram of cross-flow vibration，when Re=1.2 ×105

圖6 Re=1.2×105時立管順流向振動頻譜圖Fig.6 Spectrogram of in-line vibration，when Re=1.2 ×105

圖7 Re=6 300時立管橫向振動頻譜圖Fig.7 Spectrogram of cross-flow vibration，when Re=6 300

圖8 當Re=6 300時立管順流向振動頻譜圖Fig.8 Spectrogram of in-line vibration，when Re=6 300

在Re=1.2×105時，立管的順流向、橫向振動均發生多階模態參與振動現象，頻率峰值基本相同。

圖7、圖8分別為Re=6 300時水深Z=300 m、750 m、1350 m處三個水平橫截面節點橫向、順流向渦激振動響應頻譜圖。由二圖可見，低雷諾數時立管渦激振動以低階單模態為主，漩渦脫落并未激發多個模態參與振動，此時，橫向頻率峰值為fv=0.024 9 Hz，順流向頻率峰值為fv=0.024 9 Hz，兩向頻率峰值相等。

圖9為兩種雷諾數時立管振動橫向振幅達最大的變形圖。Re=6 300時，立管橫向最大振幅為0.195 5 m，發生在Z=825 m處;順流向最大振幅0.005 8 m，發生在Z=795 m處，且立管振動以一階單模態振動為主。當Re=1.2×105時，立管橫向最大振幅為0.503 3 m，發生在Z=1 395 m處;順流向最大振幅發生在Z=810 m處，且漩渦脫落激起高階模態參與振動。立管渦激振動變形并非完全對稱，且有大變形現象。隨雷諾數的增大，立管高階模態被激發。

圖9 橫向振幅最大時立管振動變形圖Fig.9 Deformation figures of riser，when the max CF amplitude

由數值模擬結果知，雷諾數不同，立管不各位置參與振動的模態也不同。雷諾數較低時，立管渦激振動以低階單模態振動為主;隨雷諾數的增大，立管渦激振動出現多模態參與振動現象，甚至立管高階模態也被激發。渦激振動振幅也隨雷諾數的增大而增大。雷諾數相同時，立管發生渦激振動的不同時刻，其最大振幅發生的位置亦不同，且立管渦激振動均發生非對稱大變形現象。

表1 Re=6 300時立管渦激振動響應振幅Tab.1 Vortex-induced vibration amplitude of riser when Re=6 300

本文在Re=6 300、Re=1.2×105兩種雷諾數下，將考慮大變形與不考慮大變形立管渦激振動的最大振幅進行比較，結果分別見表1、表2。由表1、表2數據知，大變形在低雷諾數時對振幅影響較小，在高模態數情況下對振幅影響增大。

表2 Re=1.2×105時立管渦激振動響應振幅Tab.2 Vortex-induced vibration amplitude of riser when Re=1.2 ×105

4 結論

本文在已有研究基礎上，考慮深水立管因其大長徑比特點，在深海易發生大變形現象，提出深水頂張力式立管大變形渦激振動分析模型，研究立管在不同雷諾數下的渦激振動特性。結論如下:

(1)深海立管多模態響應與非對稱彎曲大變形等渦激振動現象在低雷諾數情況下未能體現;卻體現在高模態數情況下。

(2)考慮大變形的幾何非線性分析模型可用于深水、極深水立管系統渦激振動響應分析預測。該模型考慮深水立管在復雜深海環境下易發生大變形現象，將大變形幾何非線性特征引入深水立管渦激振動分析中，為尋求更準確模型分析深水立管方法提供參考。

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