須叢曲線理論研究

吳紅艷，王府梅

（東華大學 紡織學院，上海 201620）

1940年，文獻[1]提出照影機曲線理論，即利用梳子取樣法，在纖維長度根數累積分布圖中，一根被握持著的纖維，其左端伸出握持點的長度至少為L的概率是L右邊面積除以總面積，進而得出照影機曲線為纖維長度根數累積分布曲線的一次積分，也等于纖維長度根數分布曲線的兩次積分.

1959年，文獻[2]對Hertel提出的照影機曲線理論進行了分析與批判，并指出對各種長度的纖維而言，其左端伸出握持點的長度不小于L的事件是不等概率事件，而Hertel卻簡單地把它看作等概率事件，因此認為Hertel的理論存在缺陷.

1972年，文獻[3]采用基于氣流式棉纖維長度測試儀的鉗夾取樣器，從須叢的長度根數頻率分布角度，根據纖維頭端在夾子內的分布情況，利用條件概率和邊緣分布理論推導出3種不同的照影機曲線，并給出平均長度和變異系數的計算方程，但沒有討論須叢長度分布與原樣品長度分布的關系.此外，指出Hertel推導的方程不適宜作照影機曲線方程.

1973年，文獻[4]指出文獻[3]得到的平均長度應為質量平均長度而不是根數平均長度.

1987年，文獻[5]指出Hertel得出的須叢曲線的縱坐標應代表原樣品的相對質量而不是相對根數，這與文獻[3，6]的觀點一致，且利用須叢曲線的切線方程給出了更多的長度指標計算方法.隨后，很多學者[7－9]對須叢曲線理論進行過研究.

一個完整的須叢曲線理論應包括：須叢曲線理論方程、須叢纖維長度分布與原樣品長度分布間的關系、纖維長度根數分布與質量分布的關系、纖維長度指標的計算方法，同時應明確各個分布是長度質量分布還是長度根數分布.文獻[10-12]都指出每個方程都應明確是根數分布還是質量分布.但現有研究尚未完整、充分、明確地闡述以上關系，很多觀點存在各種各樣的爭議.為此，本文提出一種纖維長度測量的新制樣方法，推導論證新方法制得須叢曲線的理論方程，并完整地討論上述各種關系，給出各種長度指標的計算式.

1 制樣方法

本文延用由文獻[13]提出的須叢概念，即須叢為從原樣品中取出并經過制樣得到的用于長度測試的纖維試樣.

本文提出一種纖維條梳夾取樣法用于制取測試用須叢.借助纖維引伸器或其他裝置將待測纖維制成纖維條，如圖1所示，使纖維沿纖維條軸向伸直、平行且隨機排列.在纖維條的任一橫截面處用鉗夾將其夾住，扯去未被夾持的纖維，并梳去浮游纖維，如圖2所示.然后用另一鉗夾緊貼原鉗夾口夾持須叢，移去初始鉗夾，梳去另一端浮游纖維，制成寬約5cm質量約20～40mg的雙端測試用須叢，如圖3所示.

圖1 纖維條Fig.1 Sliver

圖2 須叢制作Fig.2 Production of the beard

圖3 須叢Fig.3 The beard

此制樣方法具有以下優點：纖維被夾持后不會有任何滑移、脫離的現象；纖維均伸直、平行，在夾持線處無糾纏且無一根纖維被多次握持現象；測試可以從緊貼夾持線處開始；制樣簡單、快速、方便，試樣代表性強.

2 須叢長度分布與原樣品長度分布的關系

須叢長度分布與原樣品長度分布存在某種數學關系.只有明確了兩者間的數學關系，才能通過須叢長度分布計算出原樣品的長度分布，并討論由須叢所得的各統計量與原樣品參數間的對應關系.而須叢與原樣品長度分布的關系取決于取試樣和制樣方法.

根據纖維條梳夾取樣法可知，纖維上的被夾持點沿纖維長度方向是隨機的，纖維被夾持的概率與其長度及根數頻率成正比[8]，即長度為l（0＜l≤lm，lm為最長纖維的長度）的纖維在任一點被夾取的概率為k·l·p（l，其中：k為常數，等于須叢與原樣品的纖維根數比；p（l）為原樣品長度根數頻率密度函數；l為原樣品纖維根數平均長度.

以N表示原樣品的纖維總根數，Nl表示須叢中長度為l的纖維根數，則

所以，須叢中纖維長度根數頻率密度函數f（l）為

原樣品纖維根數平均長度由式（2）計算

將式（2）代入式（1）得

由前人研究可知，纖維長度質量分布pw（l）與長度根數分布的關系[8，14－15]為

將式（3）和（4）聯立得

由此可見，由纖維條梳夾取樣方法制得的須叢長度根數分布等于原樣品的長度質量分布.

3 須叢曲線理論方程

須叢曲線理論方程是指須叢中伸出夾持線某一距離L（0≤L≤lm）的相對纖維量F（L）與L的關系.

綜上，將式（5）代入式（6）可得

式（7）為本文提出的新測試方法的須叢曲線理論方程，它與原樣品的質量頻率密度分布直接相關.

在式（7）中對L求一次微分得

求二次微分得

化簡式（9）得須叢曲線與原樣品長度質量分布的關系為

4 長度指標提取

由于實際操作中很難做到圖1所示的纖維條為理想隨機排列，導致實測須叢曲線方程難免包含一些誤差，若按式（10）求微分會進一步放大誤差，所以式（10）所示的基于須叢曲線反推纖維長度分布的問題是個難題[3].但可直接在須叢曲線上提取長度指標，由式（10）可知，須叢曲線上提取的各統計量對應著原樣品長度質量參數.

4.1 質量加權平均長度

文獻[3，5，15]都曾將數學期望應用于求纖維長度均值，這里也將利用數學期望求質量平均長度.根據數學期望的定義可得纖維長度為l的數學期望為

將式（10）代入式（11）得

利用分部積分法得

從上文的分析可知式（13）的第一部分為0，所以

再利用分部積分法得

所以原樣品的質量加權平均長度為須叢曲線與坐標軸包圍面積的2倍.

4.2 長度質量分布的變異系數

由方差的定義可得

將式（10）代入式（16）得

對式（17）進行兩次分部積分得

因此可得變異系數CV為

可利用數學軟件計算出長度質量分布的變異系數.

4.3 主體長度

須叢曲線分布如圖4所示，設F（l0）為須叢曲線上一點，F（l1）為臨近F（l0）的一點.兩點間的弧長為ΔS，作兩點的切線相交于F，夾角為Δα，兩切線分別與y軸相交于D和E.則根據曲率定義得l0處的曲率為

圖4 須叢曲線Fig.4 The fibrogram

因此，當ΔS為定值時kl0∝Δα.由圖4可知，在∠BFE中Δα＝∠BFE－∠BFD，Δα∝，所以有

另外，根據須叢曲線可求得l0處的質量頻率密度為

由式（7）和（8）聯立可得

將式（23）代入式（22）可得

所以有

聯合式（21）和（26）可得

主體長度是指在纖維長度分布中占質量或根數最多的那部分纖維長度[16]，因此當最大時，pw（l）最大，此時的l0即為纖維的主體長度lz，而此時l0處的曲率kl0也為最大，即須叢曲線上具有最大曲率點的橫坐標值就是原樣品的質量主體長度.

4.4 品質長度

品質長度是指主體長度lz以上各組纖維的質量加權平均長度[16].根據定義可得品質長度lp的表達式為

將式（10）代入式（28）的分子，并利用分部積分法可得

由式（23）可知，當L＝lz時有

將式（29）和（30）代入式（28）可得品質長度為

5 結 語

本文提出一種制取纖維長度測量用須叢的新方法——纖維條梳夾取樣法，推證分析了須叢長度分布與原樣品長度分布的關系，發現利用新制樣法得到的須叢長度根數分布等于原樣品的長度質量分布.然后建立了須叢曲線理論方程，推導出原樣品長度質量分布與須叢曲線的關系.最后給出由須叢曲線求取原樣品長度特征指標（包括平均長度、主體長度、品質長度、變異系數）的方法，其中平均長度為須叢曲線與坐標軸包圍面積的2倍；主體長度為須叢曲線上具有最大曲率點的橫坐標值；而變異系數和品質長度也可利用數學軟件快速算得.

參 考 文 獻

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