基于GMC(1，n)模型的多品種、小批量產品質量預測方法研究

張炎亮，胡琳琳

(鄭州大學管理工程系，河南鄭州450001)

隨著經濟的全球化發展，人們對產品的個性化需求日趨明顯，企業為了適應市場需求的這種差異性變化，提高其在同行業中的競爭優勢，普遍采用多品種、小批量這種柔性生產方式。該方式在保證企業為消費者提供差異化產品的同時，也能夠使企業的產品成本維持在一定的水平上。由于它具有生產周期短、生產工序繁多、工藝復雜等特點［1］，加之多屬于小樣本、貧信息系統，想獲取大量的有效數據十分困難，因此，對其進行的質量控制幾乎無法運用傳統統計模型進行系統建模，使得多品種、小批量生產過程的產品質量控制無法借鑒常規的控制方法完成。目前，很多研究者都試圖將質量預測和超前質量控制相結合的方法運用到多品種、小批量的質量管理過程中，然而，設法找到一個合適的質量預測模型已成為多品種、小批量產品質量預測的瓶頸［2］。我國學者對此也進行了大量卓有成效的研究，目前，針對多品種、小批量生產過程進行質量預測的模型主要有4種，即:神經網絡模型、動態指數平滑模型、灰色理論GM(1，1)模型以及模糊支持向量機模型［3－6］。但是由于模型本身存在的一些缺陷，使得模型預測精度不甚理想。并且，影響產品質量的因素很多，現有的質量預測模型往往只考慮產品質量指標的原始數據對預測值的影響，而忽略了產品的生產環境、生產設備以及工作人員等對產品質量的影響。因此，作者提出運用灰色理論改進的GMC(1，n)模型對多品種、小批量產品進行多因素、多質量指標權衡的質量預測，力圖進一步提高預測精度。

1 灰色理論GMC(1，n)模型及算法

灰色理論是我國著名學者鄧聚龍教授在1982年首先提出的，經過近三十年的發展，已經逐漸成為一門較為完整的獨立的科學體系。它是針對信息不完全開發的一套方法，主要解決現實生活中小樣本、貧信息問題［7］。灰色理論的主要思想是GM(1，1)模型和GM(1，n)模型，人們利用這兩個模型解決了現實生活中的很多問題，但是，由于模型的局限性，往往不能得到較為精確的預測結果。灰色卷積模型 (Gray Convolution Model，GMC(1，n)模型)是田自力［8］在灰色預測模型GM(1，n)的卷積算法模型研究一文中提出的，它是以傳統的GM(1，n)模型為基礎，在其微分方程右端的協調序列中引入GM(1，1)模型中的灰作用變量u，這樣可以使得GM(1，n)模型在沒有協調序列的情況下，退化成GM(1，1)模型進行計算;并且在進行系統參數計算時，為了不造成時間上有半個時間延遲，在對協調序列和的背景值進行取值時，均取這一時間點與下一時間點值的平均值;最后利用單位脈沖響應函數h(t)和系統作用量序列f(t)的卷積積分求出模型的預測值。

可建立白化微分方程:

這就是一階n個變量的灰微分方程模型，并記為GMC(1，n)，a為發展系數，u為灰作用量，bi(i=1，2，…，n－1)是協調系數，rp為延遲時間，其中的背景值)均取1))，記序列 [a b1b2… bn－1u]T為模型的參數列，利用最小平方法得:

其中:

最后，利用模型預測值與觀察值之間的相對誤差百分率來評價模型的預測精度，相對誤差百分率:

2 實例介紹及數據處理

近年來，隨著全球金融危機的越演越烈，各大行業都受到了不同程度的影響，尤其是汽車行業，遭受了重大創傷，各大知名汽車公司相繼調低汽車配件價格，以確保公司總體利潤。而對于汽車配件制造商而言，也面臨著前所未有的挑戰。汽車配件生產所需原材料價格的不斷上漲，汽車公司的不斷壓價，使得汽車配件制造商的空間利潤逐漸縮小，不得不更加注重公司內部的生產管理。由于消費者對汽車的需求千差萬別，很多汽車制造商，尤其是重型汽車零件制造多采用多品種、小批量生產。在進行生產管理時遇到了很大的困難，研究人員試圖采用質量預測與超前質量控制相結合的方法對零件加工進行質量控制，以軸承內圈內徑的大小監控為例進行簡單介紹。加工軸承內圈時，每批次的數量較少，檢測所得的數據較少，屬于典型的小樣本、貧信息問題［10］，無法建立傳統的統計學模型對軸承內圈內徑進行尺寸預測，因此，可以采用灰色理論模型來進行質量預測。

在軸承內圈內徑的加工過程中，尺寸的大小會隨著加工過程持續變化，并不是固定不變的，其精度受加工中各種因素的影響［11］。套圈在加工過程中起固定的作用，其材質和加工精度會影響內圈內徑的加工精度;進給部件對加工精度產生較大的影響，尤其是進給量的大小，與刀具的切削速度有著直接的聯系;刀具、工件的固定位置對軸承內徑加工也會產生較大的影響，二者在固定時必須位于一條水平線上，盡量減少角度偏差，提高內徑加工精度;加工過程中工件等會產生微震蕩，這種微震蕩雖然較小，但是對于軸承內徑的加工精度也會產生較大的影響;另外，刀具是軸承加工過程中的主要工具，是與零件直接接觸的部件，由于加工過程中摩擦以及溫度的影響，刀具存在不同程度的磨損，有時甚至會產生破損，刀具磨損以后會影響切削能力，就直接影響了軸承內圈內徑的加工精度［12］。另外，加工的溫度、環境，加工人員的技術水平和綜合素質，機床的使用情況等都會對加工質量產生影響。而傳統的質量預測，只考慮加工過程中表征質量指標的原始數據對預測值的影響，而忽略了產品的加工是一個完整的系統，它受到系統中其他因素的影響和制約，在進行質量預測時，不考慮這種影響和制約，就像是將零件的質量孤立起來，沒有很大的參考價值。因此，作者選用灰色理論GMC(1，n)模型，考慮軸承內圈內徑質量的影響因素，對一批軸承的內圈內徑的加工質量進行預測，并將模型預測結果與常規的灰色理論GM(1，1)作對比，驗證模型的有效性。

實驗是對一批軸承內圈內徑大小進行預測，孔徑規格為50 mm，尺寸公差為0.5 μm。軸承生產采用的是多品種、小批量模式，生產的數量較少，因此，選定某一時刻為開始時間，每15 min讀取一次軸承內圈內徑的尺寸大小，并做記錄。影響內徑尺寸大小的因素很多，有些是過程可控的，有些不是，根據這些因素對內徑大小的影響程度，選用切削刀具的磨損程度作為協調序列引入到模型中，對軸承內徑進行預測。記錄的數據為［50.000 38 50.000 37 49.999 61 50.000 41 49.999 57 49.000 56 50.000 47 50.000 49］單位mm，刀具磨損量［0.003 0.009 0.024 0.041 0.053 0.068 0.073 0.084］，單位是 μm。將記錄所得的軸承內徑與內徑規格做差，然后取絕對值，計算出實際尺寸偏差序列，記為，=［0.38 0.37 0.39 0.41 0.43 0.44 0.47 0.49］，以μm為單位。刀具的磨損量，作為影響內徑大小的主要因素引入模型充當協調序列，記做，)=［0.003 0.009 0.024 0.041 0.053 0.068 0.073 0.084］，以μm為單位。預測序列和協調序列的前5組數據用于建立GMC(1，2)模型，后3組數據用于內徑尺寸偏差預測。

3 結果計算及分析

利用觀察數據建立模型時，首先要對模型參數取值，文中模型的系統參數分別取rp=0，r=5，然后將模型的觀察值代入式 (4)與式 (5)，計算出B和YN，代入式 (3)，計算出模型參數列［a b u］=［－0.055 9 －0.073 2 0.339］，利用模型參數求出離散函數f(t)的值見表1，由式 (8)和式 (9)求出的預測值見表2。

表1 f(t)的離散值

表2 預測結果 μm

在處理小樣本、貧信息問題中，灰色理論GM(1，1)模型應用也非常普遍，它在對多品種、小批量質量進行預測時也取得了較為理想的效果。然而，GM(1，1)模型只考慮了表征質量的原始數據對預測值的影響，沒有考慮其他影響預測值的因素。灰色GMC(1，2)模型考慮了刀具的磨損程度對軸承內圈內徑大小的影響，它將磨損量作為協調序列引入到模型中，但是，該模型的預測是否有效，還需進一步驗證。這里將模型GMC(1，2)的預測值和模型GM(1，1)的預測值分別計算出，作圖進行對比，如圖1、2所示。將兩個模型的相對誤差百分率作圖比較，如圖3所示。

圖 1GMC(1，2)預測值與原始值對比

圖 2GM(1，1)預測值與原始值對比

圖3 誤差百分率對比圖

對比圖1和圖2發現:兩個模型對前5個數據的預測都較為準確，第6個數據預測值與原始值相差較大，但是GM(1，1)模型的預測值與原始值的差距更大，第7和第8個數據GMC(1，2)預測值與原始值之間的差值較小。如圖3所示，GM(1，1)模型的預測精度曲線波動比GMC(1，2)大，證明GMC(1，2)模型的預測精度要比GM(1，1)高，預測效果好。

通過對比發現，傳統的質量預測模型在沒有考慮質量的影響因素的情況下，對質量的預測是不準確的，因為在一個系統中，每個事物都要受到周圍其他事物或多或少的影響，要對其中一個進行研究分析，不能將它與其他的事物分割開，不然實用價值就比較小。而GMC(1，2)將影響軸承內圈內徑大小的影響因素考慮到模型中，增加了模型的復雜性，但是卻提高了內徑大小的預測精度，因此，對于多品種、小批量產品質量預測而言，是一個很好的預測模型。

4 結論

在多品種、小批量的質量預測過程中，影響質量的因素很多，例如產品的生產環境、生產設備和工作人員工作技能及綜合素質等，在進行質量預測時，不能僅考慮表征質量特征的原始數據對預測值的影響，還應該將影響因素綜合考慮到預測模型中，使得預測值更具有實用價值。有鑒于此，作者嘗試利用GMC(1，n)模型對多品種、小批量產品進行多質量指標的質量預測，結果表明:此方法在一定程度上提高了產品的預測精度，是行之有效的質量預測模型。但是，由于多品種、小批量制造工藝的復雜性以及生產過程的不確定性，影響產品質量的因素有很多，而如何將這些因素盡可能全面綜合地引入到預測模型，對產品質量進行更高精度的預測，尚需進一步研究。

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