具有彈性靜子的碰摩轉子軸承系統非線性動力特性研究

陶海亮，潘 波，高 慶，譚春青，陳海生

(1.中國科學院 工程熱物理研究所，北京 100190;2.中國科學院 研究生院，北京 100080)

轉子－軸承系統是構成旋轉機械的重要組成部分，隨著對旋轉機械高轉速、高效率的要求，轉子故障時常發生。轉靜碰摩作為一種較為常見的轉子故障，對系統的穩定性和安全性有著重要的影響。

碰摩故障通常是由基礎松動、油膜渦動、質量偏心、裂紋等引起的二次故障。目前，研究碰摩故障所采用的模型中，大多數是基于靜子固定的形式［1－7］，很少考慮碰摩后靜子振動對系統的影響。Cai等［1］分析了滑動軸承支承下碰摩轉子的動力特性，采用軸心軌跡、譜分析、Poincare截面映射及Lyapunov指數等方法對系統動力特征進行判別。Sun等［2］分析了簡單支承下Jeffcott轉子系統局部碰摩故障的混沌及分岔響應特征。Tejas等［3－4］應用有限元方法分析了裂紋轉子局部碰摩的振動特性，并分別采用 FFT頻譜及 Hilbert-Huang時頻譜的方法對裂紋、碰摩故障加以識別。Han等［5］研究了雙盤轉子在不同轉速、碰摩剛度及摩擦系數下，碰摩轉子的橫向振動特性，并與實驗進行對比。曲秀秀等［7］建立了不平衡－碰摩－基礎松動耦合故障的轉子模型，采用盲源分離方法進行耦合故障信號分離研究。張婭等［6］分析了軸向、徑向碰摩轉子的非線性動力特性，相對于徑向碰摩故障，軸向碰摩產生的非線性特征不明顯。

在實際轉靜碰摩過程中，兩者之間存在能量傳遞，轉子與靜子應看成一個耦合的系統。陳果［8］和王正浩等［9］建立了含碰摩故障彈性機匣－滾動軸承轉子系統動力學模型，分析了轉子偏心、系統阻尼、間隙等參數對系統動力響應的影響。Popprath等［10］建立了粘彈性碰摩Jeffcott轉子動力學模型，通過分析接觸角的動力特性來判斷碰摩的特征。

在上述考慮彈性靜子碰摩［8－10］的研究中，尚未對滑動軸承轉子結構進行研究。因此，本文建立了考慮非線性油膜力的具有彈性靜子的碰摩轉子系統，采用數值積分方法模擬系統的振動響應，對比在不同靜子質量、碰摩剛度下系統的響應特征，分析結果為滑動軸承轉子系統的設計提供一定的理論參考。

1 碰摩轉子系統動力學模型

本文研究的碰摩轉子－軸承模型為Jeffcott轉子模型，如圖1所示，采用滑動軸承支承，兩軸承中間為一轉動輪盤，輪盤與軸承之間為無質量彈性軸。

滑動軸承內徑為D，長度為 L，輪盤等效質量為m1，軸承處等效質量為m2，靜子等效質量為m3，輪盤處阻尼為c1，軸承處阻尼為c2，靜子處阻尼為c3，轉軸剛度為 k1，靜子剛度為 k3，碰摩剛度為 kr。Fx、Fy為非線性油膜力分別在x、y方向上的分量。

圖1 碰摩轉子系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of rotor system with rub-impact fault

1.1 非線性油膜力

本文采用Capone油膜力模型［11－12］，該模型在工程應用及非線性理論研究中具有較高的精度和較好的收斂性。其無量綱非線性油膜力分量表達式為:

式中:

因此，非線性油膜力可表示為Fx=sWfx，Fy=sWfy，s為 Sommerfeld修正系數，W為轉子重力的一半。

1.2 碰摩力模型

圖2為彈性靜子碰摩力模型。靜子中心的初始位置為O點，經過第一次碰摩后，靜子中心移動到Os處，對應坐標值為xs、ys。此時，轉子中心為Or，對應坐標值 為 xr、yr，則 轉 靜 之 間 相 對 位 移 為 r=靜止時轉靜間隙為δ，當r＜δ時，不發生碰摩，即Pn=Pt=0;當r≥δ時，發生碰摩。設轉子以逆時針方向旋轉，假定靜子徑向變形為線性，轉靜碰摩符合庫倫摩擦定律下，碰撞力Pn和摩擦力Pt分別為:

圖2 碰摩力模型Fig.2 Model of rubbing force

其中:kr為碰摩剛度、f為摩擦系數，將碰摩力在x方向和y方向進行分解，可得:

1.3 碰摩轉子系統動力學方程

轉子旋轉角速度為ω、軸承間隙為c時，系統無量綱動力學方程為:

式中:Xi、Yi為無量綱坐標，Px、Py為碰摩力，Fx、Fy為油膜力，τ為無量綱時間，g為重力加速度。

2 數值計算結果與分析

對于上述動力學模型，給定如表1所示系統參數，采用4階Runge－Kutta算法進行數值求解。為獲得系統穩態動力響應，進行了500周期的計算，舍棄了前400周期后求得。

表1 轉子系統參數Tab.1 Parameters of rotor system

2.1 無碰摩故障系統動力響應

圖3為無碰摩故障時，輪盤隨轉速增大的響應分岔圖，響應狀態如表2所示。從圖3和表2看出，隨著轉速的變化，系統響應存在周期運動、擬周期運動及混沌運動等復雜運動形式。轉速較低時，系統運行較為穩定，作同頻周期1運動。隨著轉速的提高，在非線性油膜力和不平衡力的共同作用下，系統在440 rad/s發生失穩，出現倍周期分岔。系統經倍周期分岔進入混沌運動狀態，系統在960 rad/s時，經倒分岔離開混沌狀態，并在1 240 rad/s進入擬周期狀態直至1 600 rad/s。

圖4為系統在幾個典型轉速下的運動狀態。圖4(a)和圖4(b)為轉速ω=595 rad/s時輪盤的軸心軌跡和Poincare截面映射，可以看出其軸心軌跡表現為較為混亂的軌跡線，Poincare截面表現為自相似結構，為典型的混沌吸引子。圖4(c)和圖4(d)為ω=1 000 rad/s時轉子的軸心軌跡和Poincare截面映射，該轉速下Poincare截面表現為4個離散的單點，說明此時系統作周期4的分頻運動。圖4(e)和圖4(f)為ω=1 400 rad/s時轉子的軸心軌跡和Poincare截面映射，其軸心軌跡表現為具有重復性的圖形，且Poincare截面呈現出封閉的圓環，說明系統處于擬周期運動狀態。

圖3 無碰摩時輪盤X方向分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of disk in X direction without rub-fault

表2 系統響應情況Tab.2 Steady response of rotor system

2.2 靜子質量對碰摩系統動力響應的影響

碰摩發生時，轉靜之間存在能量傳遞，應將其看成一個耦合的系統，前期的研究一般把兩者孤立開，只考慮碰摩時，靜子對轉子的影響，很少涉及兩者之間的影響。因此，本節對不同靜子質量對碰摩系統動力響應的影響進行分析。本文考察了轉軸剛度k1=8.51×106N/m，碰摩剛度 kr=3k1，靜子與轉子質量比 η=m3/m1，分別為η=1、5和10情況下下系統的動力響應特征，見圖5～7。

圖5(a)和圖5(b)分別為η=1時靜子與轉子在X方向上的響應，由圖5(a)可以看出ω≤560 rad/s時，靜子位移為0，即未發生碰摩，系統主要受非線性油膜力和不平衡力作用，此時轉子響應與圖3一致;當ω≥560 rad/s，靜子位移出現了較大的波動，發生了轉靜碰摩，在碰摩力參與作用下，轉子動力特性發生了改變，混沌區由原來的580～960 rad/s延長至580 ～1080 rad/s，并隨著轉速的進一步提高，碰摩力對系統的影響增大，出現了擬周期、周期2、周期1等響應特征。

對比圖5、6、7可以看出，隨著η的增大，即靜子質量的增大，轉子的動力特性產生了較為明顯的變化。隨著靜子質量的增大，油膜力的作用逐漸減弱，碰摩力的作用逐漸增強，在較強的碰摩力作用下，系統表現出大范圍的周期1運動。

圖4 不同轉速下轉子的響應Fig.4 Response of rotor at different speed

圖5 η=1時，碰摩系統X方向分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，η =1

圖6 η=5時，碰摩系統X方向分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，η =5

2.3 碰摩剛度對系統動力響應的影響

圖8、9、10為靜轉子質量比η=1、轉軸剛度 k1=8.51 ×106N/m 下，碰摩剛度 kr分別為 k1、3 k1及5 k1時系統隨轉速增大的響應分岔圖。對比圖8(a)、圖9(a)及圖10(a)，碰摩剛度越大引起的靜子振動范圍越大。由圖8看出，在ω≥560 rad/s轉速下，雖然發生了碰摩并激起了靜子振動，但由于碰摩剛度較小，產生的碰摩力較小，因此對轉子系統影響較小，其響應分岔幾乎與無碰摩故障時一致。隨著碰摩剛度的增大，轉子動力響應發生較大變化:無碰摩時的混沌區域580～960 rad/s在碰摩力影響下擴大至580～1 080 rad/s;在高轉速區1 400～1 600 rad/s，當 kr=3k1時，轉子表現為周期1運動，當kr=5k1時，轉子主要表現為擬周期，存在小范圍的周期5運動，見圖11。

圖7 η=10時，碰摩系統X方向分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，η =10

圖8 kr=k1時，碰摩系統X方向分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，kr=k1

圖9 kr=3k1時，碰摩系統X方向分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，kr=3k1

圖10 kr=5k1時，碰摩系統X方向分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，kr=5k1

圖11 kr=5k1時，不同轉速下轉子的響應Fig.11 Response of rotor at different speed，kr=5k1

3 結論

(1)建立了具有彈性定子滑動軸承－轉子系統碰摩故障動力學模型，對比研究了碰摩與不碰摩條件下系統的響應特征，系統存在多種非線性動力學行為，如倍周期分岔、擬周期運動、混沌運動等。

(2)在前述參數組合下，碰摩發生時，靜子質量越大，轉靜耦合作用明顯，碰摩力增大，系統易在高轉速區出現單周期運動。在實際碰摩發生時，應考慮靜子質量對系統的影響因素。

(3)碰摩剛度較小時，由于產生的碰摩力較小，即使發生碰摩，對系統的動力響應影響很小;碰摩剛度越大，產生的碰摩力越大，對系統的動力響應影響也越大。

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