對常微分方程求解及圖像性質的分析

周晨星，張重陽，琪木格

（長春師范學院數學學院，吉林長春 130032）

對常微分方程求解及圖像性質的分析

周晨星，張重陽，琪木格

（長春師范學院數學學院，吉林長春 130032）

本文對常微分方程的解的存在性和解析式進行研究，通過軟件matlab對常微方程的解析式進行驗證。針對復雜的常微分方程不僅用matlab求解，而且用圖形顯示出數值解，通過圖像去分析解的合理性。

常微分方程的解；matlab求解；解的性質與圖像

常微分方程在應用和理論上都特別重要，求常微分方程解的方法也很多，常見的方法有常數變易法、待定系數法、Laplace變換法、算子法、Lagrange變動參數法、特征根法等。但是，有時在解一些方程時也非常麻煩。我們可以通過matlab方法來求方程的解析解，然后對一些復雜的方程進行求解和作圖，這種方法比較簡單，也免去了繁雜的計算過程。

matlab符號工具箱提供了一個線性常系數微分方程的函數dsolve，這個函數允許用字符串的形式描述微分方程及初值、邊值條件，最終得出微分方程的解析解。函數dsolve輸入參變量由三部分組成：常微分方程、初始條件以及自變量，分別用單引號括起來，再用逗號隔開。函數的調用格式為y=dsolve(’常微分方程1’,’常微分方程2’,’…’,’初始條件1’,’初始條件2’,’…’,’自變量’)用字符串表示常微分方程，自變量缺省時為t，D表示一階導數，D2表示2階導數，依此類推,y返回解析解。

例1 求一階微分方程的(x-2y)y′=2x-y解析解.

先用matlab軟件求解：desovle(‘(x-2*y)*Dy=2*x-y’,‘x’)

輸出結果:x*x-x*y+y*y=C，即x2-xy+y2=C.

再驗證 x2-xy+y2=C 兩邊對 x求導，2x-y-xy′+2yy′=C.

所以x2-xy+y2=C是方程(x-2y)y′=2x-y的解.

例 2 求二階微分方程 (xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0 的解析解。

先用matlab軟件求解：y=desovle(‘(x*y-x)*D2y+x*Dy^2+y*Dy-2*Dy=0’).輸出結果：y=log(x*y)，即 y=ln(xy).

上式兩邊對 x 求導，yy′+xy′+xyy′′=2y′+xy′′.

整理得（xy-x）y′′+xy′2+yy′-2y′=0.

所以 y=ln(xy)是方程(xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0 的解.

對于復雜的方程，matlab提供了幾個專門用于求解常微分方程的函數，設計思想基于Runge-Kutta方法，基本設計思想為：從改進的歐拉方法比歐拉方法精度高的緣由著手，若在區間[x1,xi+1]多取幾個點的斜率值，再求取平均值，則可以構造出精度更高的計算方法，這些函數主要包括:ode45、ode23、ode15 s、ode113、ode23s等。其中最常用的是函數ode45，該函數采用變步長四階五階Runge-Kutta法求數值解，并采用自適應變步長的求解方法，即當解的變化較慢時采用較大的計算步長，從而使得計算速度很快，當方程的解變化得較快時，積分步長會自動變小，從而使得計算的精度很高，但是不適合剛性方程組求解。ode23采用二階三階Runge-Kutta法求數值解，與ode45類似，只是精度低一些。ode15s用來求剛性方程組.ode45函數的調用格式為:[tout,yout]=ode45(’yp rime’,[x0,xf],y0)，其中yprime是表示f(t,y)的M文件名，x0表示自變量的初始值，xf表示自變量的終值，y0表示初始向量值。輸出向量tout表示節點(x0；x1；…；xn)，輸出矩陣yout表示數值解。有了這些參數，就可以調用ode45函數對系統直接進行仿真了，在仿真結束后當然可以調用plot函數來繪制出仿真的結果曲線。

例3 求解微分方程初值問題

的數值解，求解范圍為區間 [0，0.5]。

圖1 例3仿真曲線

例4 求解微分方程

令 x1=y，x2=dx1/dt，則 dx1/dt=x2,dx2/dt=u(1-x1^2)x2-x1.

先編寫函數文件verderpol.m:

再編寫命令文件vdpl.m:

輸出結果為

圖4 例4仿真曲線

[參 考 文 獻]

[1]劉仁云,張小麗,梁四化,等.數學建模方法與數學實驗[M].北京:中國水刊水電出版社,2010.

[2]陳永勝,任燕.基于MATLAB求解常微分方程[J].通化師范學院院報,2008(4):103-105.

[3]薛定宇,陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解[M].北京:清華大學出版社,2004.

[4]劉衛國.MATLAB程序設計教程[M].北京:中國水利水電出版社,2003.

[5]李俐玲.關于數學問題的MATLAB實現方法[J].四川師范大學學報:自然科學版,2003(6):657-660.

[6]劉人麗.MATLAB中的方陣冪[J].四川師范大學學報:自然科學版,2004(2):213-215.

On the Solutions of Ordinary Differential Equations and Image Properties

ZHOU Chen-xing，ZHANG Chong-yang，QI Mu-ge
(College of Mathematics，Changchun Normal University,Changchun Jilin 130032,China)

In this paper,we study the existence of the solution of ordinary differential equations and analytic formula,and then verify software matlab analytic formula for Ordinary Differential Equations.We solve complex ordinary differential equations by matlab,display numerical solution by graph,and analyze the reasonableness of the solution by figure.

the solutions of ordinary differential equation;solving by matlab;the property and figure of solution

O175

A

1008-178X(2013)01-0001-03

2012-11-29

吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目（吉教科合字[2013]第252號）；吉林省2012年“大學生創新創業訓練計劃”項目。

周晨星（1962-），女，吉林長春人，長春師范學院數學學院副教授，從事應用數學研究。