“天元術”的衰落：一個文化史視角的審視

張建雙，周巧姝，劉鵬飛

（1.吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000；2.長春師范學院，吉林長春 130032）

“天元術”的衰落：一個文化史視角的審視

張建雙1，周巧姝2，劉鵬飛1

（1.吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000；2.長春師范學院，吉林長春 130032）

13世紀左右，中國古代數學中發展起來的“天元術”在中國數學史乃至世界數學史上具有重要的地位，達到了當時世界數學發展的頂峰。但是由于各種原因，“天元術”在元代中葉到明代逐漸衰落，歷史的分析能給我們一些有益的啟示。

天元術；數學史；文化史

“天元術”作為中國古代數學尤其是宋元數學重要的數學成就之一，在當時的世界發展史上取得了輝煌的成就。但最終“天元術”卻逐漸衰落，至明清時期甚至成為絕學，這其中有著數學自身發展規律的因素制約，更重要的是文化價值觀層面的因素影響。數學文化層面的審視有助于我們客觀地評價天元術，對當前和今后的數學發展、數學傳播帶來有益的啟示。

1 天元術在數學史上的地位

中國自古以來形成了一套以算為中心的籌算制度，就是應用算籌進行計算的方法。算籌是中國古代數學家長期使用的計算工具，它是一種長條形物品，或竹或木，也有金屬、象牙或獸骨制作的。《說文解字》中說：“算，數也，從竹、具，讀若筭。筭，長六寸，所以計歷數者，從竹、弄，言常弄乃不誤也。”

算籌記數方法很簡單，5以下的數，幾根就表示幾；6、7、8、9四個數，以一根籌放在上面表示5，再在下面放1、2、3、4根分別表示6、7、8、9。籌的擺法分縱橫兩種，即：

算籌記數，采用縱橫交錯的十進位值制記數法，空位表示零。最早記載于《孫子算經》中：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”如51603用籌算表示出來就是：

同時，劉徽指出：“正算赤，負算黑，否則以邪正為異”，即用赤、黑兩色分別表示正、負數。此外，還有采用以三角式表示正，以四方形表示負的。算籌是我國古代進行加、減、乘、除、開方等計算的工具，我國傳統數學擅長計算，許多計算方面卓越成果的取得，都得益于籌算，天元術無疑就是得益于籌算的一項巔峰成果。12世紀以前，盡管不少國家和地區都有一套解一次和二次方程應用問題的方法，甚至出現了一些解某些三次方程應用的方法。但是，所有這些方法都不是像現在這樣，通過設未知數立方程然后求根的。設未知數立方程的這種方法最早形式出現在我國傳統數學中，古代數學家把這種方法稱作“天元術”。

宋元時期高次方程數值求解技術的發展，引起了對列方程方法的需求。現存于數學書中的“天元”這個名稱，最早出現于秦九韶的大衍求一術。在流傳至今的數學著作中，首先對天元術進行系統敘述的是李冶的《測圓海鏡》（1248年） 和《益古演段》（1259年）。朱世杰的《算學啟蒙》（1299年） 和《四元玉鑒》（1303年）二書也曾使用過天元術，尤其是朱世杰的《四元玉鑒》中設天、地、人、物的四元術，還記述了多元高次方程的列方程方法。20世紀美國著名的科學史家喬治·薩頓曾評價說：“朱世杰是屬于漢民族及他所生存的時代的，同時也是古今數學史上最杰出的一位數學家；《四元玉鑒》是中國數學寫作中最重要的一部，同時也是中古最出色的數學著作之一。”[1]

天元術列方程的方法，與現代代數中的列方程法相似。首先“立天元一為某某”，相當于“設x為某某”，“天元一”表示未知數，在籌算盤上列天元式，先確定未知數一次項系數的位置，在其旁置一個“元”字，其余各項按未知數冪次相對于一次項上下遞增或遞減排列。李冶在常數項旁置一個“太”字來代替一次項旁置“元”字。如果方程有負系數，就在這系數的個位籌碼上加上一斜杠。例如，方程式25x2+280x-6905=0，用天元式表示為如下兩種形式。

則表示方程x+150+2160x-1=0。

天元術理論成果上的進步是巨大的，尤其是實現了從幾何直觀思維向代數抽象思維的轉變。原來的方程解法一直受“條段法”的直觀圖形思想的影響，常數項只能為正，因為常數項通常是表示面積、體積等具體存在的事物。且方程次數不高于三次，因為一般高于三次的方程就很難找到現實問題的原型了。天元術的產生，標志著方程具有了理論化、抽象化的發展，開始脫離原型僅僅考慮模型自身的問題。李冶對天元術探討，則使方程問題開始離開圖形直觀，單純地通過代數方法研究方程。

天元術的出現，為人們提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯的代數學進步得多。而在歐洲，到了16世紀才能做到這一點。我國宋元時期的天元術要領先于世界三四百年之久。而后，人們將天元術進一步發展，創造了二元術、三元術乃至四元術，解決了具有兩個、三個、四個未知數的高次方程的解法問題，可以說天元術是我國甚至當時世界“半符號”代數學的起源。

然而，天元術作為中國宋元時期如此先進、重要的數學成果，卻在元代中葉及至明代時期逐漸衰落了，在清中葉乾嘉學派重新發掘研究之前，像天元術這樣一些宋元數學的精粹，竟長期失傳，無人通曉。天元術、四元術、高次方程的數值解法、級數求和、招差法幾乎成為絕學。中國傳統數學研究不僅沒有新的創造，反而倒退了。究其原因是多方面的[2]。

2 基于數學史角度對天元術衰落原因的分析

2.1 天元術的研究超越了實用理性

中國古代一直崇尚將“數學作為實用工具”的數學價值觀，這使當時的人們對數學的理解更加趨于實用化，很少對數學觀念、方法及構造進行深入的理論層面的思考與研究。宋代的歷史條件下，雖然“實用”作為科學思想乃至于思維方式的主流，但還是出現了一些不以實用為目標的研究可能和實現可能的條件，于是天元術理論研究成為現實。而天元術在當時并不具有實用領域，它不是作為一種實用數學研究的結果，而是由于研究者的興趣產生。蘊涵在天元術其中的深層次算理更不是一般人所能理解與領悟的。

到了明代，實用思想不僅仍為科學思想的主流，而且成為人們具體從事數學工作的指導原則，于是非實用性的研究就成為一件不可能推廣的事了。天元術作為宋元數學的巔峰成就，隨著時間的推移，延續下來的東西越來越少。在中國傳統中“經世致用”的實用主義思想指導下，人們的數學探索不會超越工具理性、實用理性而指向“無用”的東西，天元術沒有被后來的籌算數學家們運用與發展，而是在明清之際被更加實用快捷的“珠算”數學所替代。

2.2 天元術使用的符號不夠徹底

適當而系統地使用數學符號及形式化的數學語言，這是數學發展的重要條件之一。失去完整的數學符號系統，就相當于失去了數學高速發展的推動力。我國古代數學正缺乏這種適當的數學符號，一切算式都是依靠數字的位置來表示的。數學史家卡約黎將宋代數學未能取得迅速推進的原因歸咎于“采用了一種缺乏適應能力并且具有束縛性的記法”，這是有一定道理的[3]。

天元術只能表示一個未知數的方程，即使通過天元術演化的四元術，也只是以上、下、左、右來表示4個未知數相對的位置關系，如果有5個或5個以上的未知數就無法表示，更不能推廣了。要使方程變得具有一般化，就必須突破籌算的限制，向符號化的代數轉化。現代數學的研究表明：符號的形式可以引起一些抽象的聯想，從而在符號基礎上有所發展。這便使天元術乃至宋、元后期的數學成果因缺乏較先進的符號而錯過了發展契機和動因。

此外，天元術雖然發明的很早，但由于記載天元術的古書中對于運算過程的解釋過于簡略，在籌算的運演過程中，數字隨著運演的進行而消失，中間出現的數字沒有保留下來，最后看到的只是運演結果。每一步是否有錯誤，很難查出，也不容易發現一般規律，使得后人不能理解，進而增大了傳播天元術的難度。

2.3 計算工具逐漸發生改變

中國古代數學對算籌存在較強烈的依賴性，這種依賴性在宋元數學時期達到更為嚴重的程度。元明之際，中國古代數學的計算方法由籌算轉變為珠算，這并不是偶然的巧合。中國古代數學對算籌的依賴，不僅是依賴其作為計算工具，而且依賴其獨特的運演過程對某些抽象的數學內容的理解，而這些是靠算籌和運演動作的直覺把握和直觀領悟實現的。這種直覺把握和直觀領悟是很難用文字表述的，只能依靠言傳身受。然而，在實用主義價值觀念的引領下，當時數學計算工具由“算籌”逐漸變成“算盤”，越來越多的人開始放棄對籌算的學習和研究。正是由于上述特點，一兩代人以后，人們已經喪失了對算籌及其運演方法掌握，用籌算記載的天元術的高層次、高水平著作，如《測圓海鏡》、《益古演段》等無人能看懂就可以理解了。試想，這些著作的一些內容就是目前對現代數學有相當了解的人士研究起來還頗受爭議，當時明代人自然更看不懂那些抽象的數學著作了[4]。

天元術乃至中國古代數學確實存在著很大的弊端和弱點，但若把這些作為天元術衰落的決定性原因未免有些牽強，這些弱點在整個古代數學的發展過程中是普遍存在的。雖然，14世紀初，我國數學發展呈現倒退趨勢，且倒退了幾個世紀。但不可否認的是，在同樣的這些弱點存在情況下的13世紀，我國數學發展達到當時世界數學發展的高峰。一項成就的弱點會導致這項成就的衰落，這種說法本身就是值得商榷的，任何思想或成就在其產生之初都是不完善的，都會存在很多弱點，如果這些弱點成為其衰落的主要原因的話，任何理論都無法起步了[5]。

3 基于文化角度對天元術衰落原因的分析

數學的概念存在于文化之中，即存在于人類的行為和傳統思想的主體之中。數學是文明和文化的重要組成部分，所以研究數學史要從民族文化層面出發[6]。天元術的衰落固然有著數學自身發展史上的因素影響，更重要的是基于民族文化傳統和文化價值觀層面的因素影響，這也是影響整個數學發展的重要因素。

3.1 動蕩的社會文化背景影響

天元術的衰落是在蒙古人大規模入侵后改朝換代的過程中產生的，而當時的改朝換代有著極其殘酷的性質：當時的蒙古正由奴隸制轉向封建制，生產方式遠落后于中原。在征服其他民族時，蒙古貴族攻略各地，所過殘破，而且常常屠城，變村莊為牧場，以致十室九空。元代統治幾十年間，人民的起義從未停止過，改朝換代的戰爭和動亂日益激烈。火器的使用使物資和人員的損失更大，對社會生活的破壞更是達到了巨大的程度。不僅如此，元代知識分子的社會地位極其低下，統治者將群眾分為十個等級，知識分子被放到第九等，竟然在娼妓之下，僅比乞丐高一個等級。這種社會條件下，還有誰會愿意做一名知識分子？還有誰會來研究“毫無意義”的天元術呢？由此我們也就不難理解，雖然朱世杰才高八斗、博學多才，卻一直流落民間，以教書為生。而他教學二十余年，他的門第中竟沒有出現一個數學家。這并不是朱世杰教導無方，而是當時封建專制不允許人才出現。

恩格斯曾說過：“人們首先必須吃、喝、住、穿，然后才能從事政洽、科學、藝術、宗教等等，所以，直接的物質的生活資料的生產，因而一個民族或一個時代的一定的經濟發展階段，便構成為基礎……”[5]如果生產、生活乃至生命都不能保證，還談何數學研究呢！正是基于這種特定的文化歷史背景，天元術喪失了更好的發展空間，天元術在這樣的文化歷史背景下被人們逐漸忽視。

3.2 封建的科舉文化傳統的影響

誕生于隋朝的科舉取士制度至明朝，發展到了一個新的層次和極致，明代在文化專制上達到了無以復加的程度。朱元璋廢掉宰相，嚴禁隱居，他在《大誥》中規定“寰中士大夫不為君用者，罪至籍抄”，取消了歷來士子們無條件享有的“隱居權”，像李冶那樣隱居山林研究數學，像朱世杰那樣云游四方、設帳授徒研究數學都成為了不可能的事。此外，當時禁止私人學習立法編算，實際上就是禁止私人研習高深的數學。文化專制和思想禁錮的直接結果就是士人不敢治史，學者不敢言學，嚴重影響了數學及其他學術的發展。天元術經過長時間的擱置，逐漸無人問津。

與封建文化專制加強最為密切相關的是明代科舉考試開始了“八股取士”的政策，規定科舉考試必須從《四書》、《五經》中命題，是一種明顯的思想禁錮方法。這使得大多數年輕學子放棄了對數學的研究，成了數學盲。在封建思想的教育下，多數知識分子秉持著一心只讀“圣賢書”的思想，幻想著“朝為田舍郎”，通過八股考試，“暮登天子堂”。而八股考試是不考數學的，以至于大多數學生選擇只讀一些“子曰詩云之類的宣揚封建禮教與數學無助的文科經書。逐漸地，數學研究失去了群眾基礎[6]。

3.3 封閉的數學文化傳播的影響

不同文化的交流可以促進數學的發展，反之，環境的封閉或對于外來文化的抵制則可能阻礙數學的發展。天元術的成果難以得到必要的交流和傳播，這是影響天元術深入發展的重要原因之一。中國傳統數學家擁有濃厚的民族數學價值觀的傳統[7]。天元術的發展是具有地區性的。從一系列天元術的著作中不難發現，其產生地域基本為現今的河北、山西兩省的南部及太行山一帶。在金元之際，這些地方一度成為商業中心區及文化中心區。天元術在這些地方產生及發展，與當時的經濟文化發展有著密切的關系。目前為止，人們還未找到天元術在其他地區有類似的發展。在元朝滅掉宋朝之前，由于長時間的戰爭和地形的阻隔，南北方的學者之間幾乎斷絕了學術交往。南方數學家對北方的“天元術”幾乎一無所知，而北方數學家也很少受到南方同仁的影響。正因如此，數學家秦九韶、李冶各自完成了一套解方程的術語理論，兩者體系卻十分相似。這對數學的發展來說，無疑是巨大的人力浪費。

國內尚且如此，當時與國外的交流更是少之甚少，文化沙文主義的價值觀念使得中國傳統數學家也不可能認同西方的數學傳入。李約瑟曾指出：“中國早先幾乎與世隔絕，存在排外的社會因素，從中國傳出去的東西比傳入的東西多得多。”例如，我國的《九章算術》很早就傳到日本、朝鮮、印度等國家。但當時反對接受外國數學者大有人在，認為學習外國數學是“不遵守成法”，“失其故步”[8]。正是這種故步自封的社會風氣，使得天元術等這些偉大的成就得不到更好的交流完善，逐漸被歷史的洪流所淹沒。

4 天元術衰落給我們的啟示

學術的流傳就像一場環環相扣、無窮又無盡的接力賽，其中一環中斷，就可能導致整個學術的衰落。天元術無疑是宋元時期一項重要的數學成果，天元術的發展歷程真實地反映了宋元數學乃至整個中國傳統數學的歷史演變趨勢，體現了我國傳統數學“實用主義”的數學價值觀念。客觀地審視天元術的衰落原因，并從文化的角度進行分析，不僅能夠幫助我們更好地學習數學，更能在現有基礎上促進數學更好地發展。

近百年來我們作為一個科學技術上后進的民族一直在努力救亡圖存、富國強民，使我們還沒有時間仔細思考數學作為一種文化帶給我們的啟示。知識的傳播需要一個過程，一種思想觀念的轉變更需要一個緩慢的過程。受到中國傳統學中數學是實用計算方法觀念的影響，人們的潛意識中形成了一種技術實用性的數學價值觀念。從鴉片戰爭開始，人們一直把數學看作實用、富國強兵的工具。從而缺乏理性精神和邏輯精神，長時間停留在感性認知之上，中國古代數學并未構成一個完整的理論體系。對數學知識的過分看重，特別是在功利主義思想的驅使下，數學背后隱藏的文化價值都被忽視了。雖然從技術層面看，我們在短時間內取得了十分突出的成果，體現了民族所擁有的勤勞與智慧，不過在這種學習過程中卻極易忽視制度與文化的差異。數學是附帶有民族文化傳統、民族文化心理的一門學問。作為民族文化的一個要素，數學是我們必須從文化層面給予深入研究的知識內容。

中西方古代數學是兩種不同文明中的產物，它們具有不同的數學符號、運演方式和理論結構模式，使得中西方的數學價值觀念產生差異。數學在古希臘是一種理性的信仰，在基督教是一種理性的情感，在現代的西方文明數學是一種超越方法意義上的理性精神[11]。相比較于中國傳統數學，西方數學具有的這種理性的思想構建方式，正是中國傳統數學所缺少并值得借鑒學習的。一直以來我們對數學價值觀的研究都缺乏這種數學的理性精神和形式邏輯模式化的思維方式[9]，沒有從數學文化的角度去審視數學的歷史。特別是在近百年來我們的數學發生重大變革后，大多關注的是數學內容本身，而忽視了數學作為一種文化的研究。我們中國古代傳統數學很難躍出本民族范圍對整個人類文明產生深遠影響。而這種理性精神的成長和思維習慣的建立只能通過數學、數學文化教育的層面來完成。

文化學者的研究告訴我們：文化精神的發展和現代化，離不開原有的民族文化精神，因為民族文化精神是獨立地存在于整個社會群體之中的。“一種文化的價值和意義一旦被創造出來，一種文化精神一旦形成，就會存在于整個社會群體之中，世世代代傳遞，并作為一個有特殊價值和意義的文化世界，建構不同民族一代代人的文化心理和價值觀念。朝代可以更替，國家可以盛衰，但文化的固有價值和意義，卻不為堯存，不為桀亡。一代人生下來了，他們雖然要從整個時代文化發展中獲得精神氣質，但是，歷史上留下來的風俗、禮儀、倫理道德、哲學觀念、民族志、宗教信仰以及語言、神話等等的文化價值和意義，是不會消失的，而且還會積極地建構著新的一代人的文化觀念，建構著一代代人的習性、心理、思維方式、行為方式、人格及各種精神氣質。他們的習性、行為及種種精神生活雖然也有變化，也向前發展，但總的精神氣質，卻還是民族的。”[11]

在西方數學引入中國這一百余年來，我們一直將其作為一種方法和技術來學習。在文化層面來說，即便今天我們把數學廣泛應用于人類各種活動中，也只是以一個方法論的層面理解。數學作為西方文化中的一種精神、一種信仰、一種理性還沒有被我們更好地理解、運用。所以，我們需要更進一步了解、學習和借鑒西方文化中的數學精髓，進而使我們的數學乃至華夏文明有更深遠的內涵和更長足的發展。

[參 考 文 獻]

[1]G.Sarton.Introduction tothe HistoryofScience.Vol.I[M].Baltimore:Williams&Wilkins,1927:701.

[2]李文林.數學史教程[M].北京:高等教育出版社,2000:104.

[3]吳振英,湯志娜.宋、元兩代數學衰落的原因探析[J].肇慶學院學報,2006,27(5):16.

[4]孫宏安.中國古代數學思想[M].大連:大連理工大學出版社,2008:265.

[5]孫宏安.十四世紀中國數學中斷的原因淺探[J].遼寧師范大學學報自然科學版,1986(S1):57-65.

[6]鄭毓信,王憲昌.數學文化學[M].成都:四川教育出版社,2000:26-27.

[7]徐乃楠,王憲昌.數學文化熱與數學文化史研究[J].自然辯證法通訊,2009,31(3):17.

[8]王樹禾.數學思想史[M].北京:國防工業出版社,2003:106.

[9]劉鵬飛,徐乃楠,王憲昌.數學價值觀是數學文化研究的重要內涵[J].數學教育學報,2012,21(3):2.

[10]王憲昌,劉鵬飛,耿鑫彪.數學文化概論[M].北京:科學出版社,2010:7.

[11]司馬云杰.文化價值論[M].西安:陜西人民出版社,2003:385-386.

The Decline of Tian Yuan Shu:A Scanning From the Angle of Cultural History

ZHANG Jian-shuang1，ZHOU Qiao-shu2，LIU Peng-fei1

（1.College ofMathematics，Jilin Normal University，SipingJilin 136000，China；2.Changchun Normal College，Changchun Jilin 130032，China）

In the thirteenth century,Tian Yuan Shu,which developed from Chinese ancient mathematics,played an important role in Chinese mathematical history and even the world mathematical history,so as to reach the top of the mathematical development in the world.But it gradually faded between the middle of Yuan dynasty and Ming dynasty.There are various reasons tocause its sudden decline.Analyzinghistorycan give us some beneficial enlightenments.

Tian Yuan Shu；historyofmathematics；cultural history

O11

A

1008-178X(2013)01-0016-05

2012-10-29

吉林省教育科學“十二五”規劃課題（GH11187）；吉林省教育廳“十二五”社會科學研究項目（吉教科合字[2012]第112號）。

張建雙（1987-），女，吉林長春人，吉林師范大學數學學院碩士研究生，從事數學文化史研究。

劉鵬飛（1979-），男，吉林遼源人，吉林師范大學數學學院講師，東北師范大學教育學部博士研究生，從事數學教育、數學文化史研究。