二次曲線（面）所圍圖形的面（體）積

湯 宇1，趙 虹2

(1.吉林工商學院基礎部，吉林長春 130062；2.長春師范學院數學學院，吉林長春 130032）

二次曲線（面）所圍圖形的面（體）積

湯 宇1，趙 虹2

(1.吉林工商學院基礎部，吉林長春 130062；2.長春師范學院數學學院，吉林長春 130032）

本文首先討論二元(三元)二次曲線(面)所圍封閉圖形的面(體)積計算，之后將結果推廣到n元二次曲面所圍n維封閉圖形的體積，并給出所圍n維封閉圖形體積的一般表達式.

二次曲(線)面；n維超橢球體；體積；歐拉函數

由解析幾何[1]知二次曲線表示的圖形有9種，非退化的實軌跡有3種：橢圓、雙曲線、拋物線，只有橢圓為封閉圖形；二次曲面有17種，非退化有實軌跡的有5種：橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面，其中只有橢球面為封閉圖形.本文將討論這些封閉圖形所圍圖形的面積或體積，并給出在二次曲線或二次曲面為一般表達式下的所圍圖形的面積或體積公式，最后將結果推廣到一般n元超曲面所圍超立體體積.

1 基本知識

定義1x,y關于的二元二次的實系數方程

（其中a11,a12,a22不全為0）所表示的曲線，稱為地次曲線，分別稱

為二次曲線的二次項系數矩陣和系數矩陣.

稱det(-λE)=0為二次曲線的特征方程，其根稱為二次曲線的特征根.

定義2 稱關于x,y,z的三元二次實系數方程

（其中a11,a22,a33,a12,a13,a23不全為0）表示的曲面稱為二次曲面，分別稱為二次曲面的二次項系數矩陣和系數矩陣.

稱det-λE)=0為二次曲面的特征方程，其根稱為二次曲面的特征根，同樣利用矩陣乘法，可把f(x,y,z)表示為，稱為二次曲面的矩陣表示.

定理1.1的證明見一般的空間解析幾何書[1].

由定理1.1的(2)知f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2-1=0 在A＞0，AC-B2＞0 時表示橢圓.

證明見一般的數學分析書[2].

2 二次曲線所圍圖形的面積

定理2.1 二次曲線f(x,y)=(1x y)(1x y)T=0在表示橢圓時，其面積為

又由特征根性質，λ1λ2=det,則

I=時，表示的橢圓所圍的面積為

3 二次曲面所圍圖形的面積

定理3.1 二次曲面一般方程f(x,y,z)=(1x y z)I(1x y z)T=0時在表示橢球面時，其所圍成的體積為

注 一元的二次函數f(x)=a00+a11x2+2a01x=0也有類似結論.

在a11＞0,a012-a00a11＞0時，能圍一線段（即兩個實根間線段），且此線段長為

4 n元二次超曲面圍超橢球體體積

由上面的推導此可推測，對n元二次超曲面

[參 考 文 獻]

[1]周建偉.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]華東師范大學數學系.數學分析下冊[M].4版,北京:高等教育出版社,2010.

[3]林源渠,方企勤.數學解題指南[M].北京:北京大學出版社,2003.

Areas(Volumes)of N-dimension Ellipsoid Enclosed by Quadratic Curve(Surface)

TANG Yu1,ZHAO Hong2
(1.Department of Basic Course,Jilin Business and Technology College,Changchun Jilin 130062,China；2.Department of Mathematics,Changchun Normal University,Changchun Jilin 130032,China)

This paper deals with area（volume）calculation of enclosed graphic by quadratic curve(surface).The result has been generalized to the case of the volume calculation of enclosed graphic by n-variete quadratic surface.At last,general expression of volume of n-dimension enclosed graphic are given.

quadratic curve(surface)；n-dimension ellipsoid；volume；Euler Function

O174

A

1008-178X(2013)01-0004-04

2012-10-16

長春師范學院自然科學基金資助（長師院自科合字政策[2010]第019號）。

湯 宇（1971-），女，吉林長春人，吉林工商學院基礎部副教授，碩士，從事函數論研究。