處理兩體問題的拉格朗日方法實例分析

郭俊華

（運城學院物理與電子工程系，山西運城 044000）

處理兩體問題的拉格朗日方法實例分析

郭俊華

（運城學院物理與電子工程系，山西運城 044000）

兩體問題一直受到人們的關注。本文對采用拉格朗日方法處理兩體問題的理論作了詳細闡述，并給出應用這一方法解決具體問題的實例分析。

兩體問題；拉格朗日函數；廣義坐標

兩體問題是指由兩個質點或物體組成的力學系統在僅僅受到內力作用下的動力學問題。兩體問題不僅是最簡單的質點系力學問題，也是唯一一例在質點系力學中被徹底解決的問題。處理兩體問題時，總的運動可以看成是質心的運動和相對于質心的運動這兩部分的合成。由于兩體之間的相互作用是內力，不會影響質心的運動，因此，如果不存在外場，則質心做慣性運動；若還考慮外場作用，那么質心的運動應該由質心運動定理決定。所以質心運動部分可認為是已知的，關鍵是討論相對運動部分。

兩體問題一直受到人們的關注。統編力學教材例如理論力學具體討論了行星-太陽系統的運動、量子力學也介紹了氫原子問題。近年來也有部分文獻對兩體問題進行了不同側面的討論。1992年范繼美[1]對兩體問題中的折合質量進行了討論，給出了將兩體問題約化為單體問題求解的普適方法；1994年王文科[2]對兩體問題中的相對運動進行了討論，指出了解決兩體問題時比較簡便的坐標系的建立方法，并從理論上進行了簡單的闡述；1997年白靜江[3]討論了兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律，并闡述了它們的應用；2001年梁志強等人[4]選用質心坐標系對兩體問題進行討論，給出了有關兩體問題的動力學方程并展開討論；2008年李銀山[5]首次采用分析力學中的拉格朗日方程來處理兩體問題，為兩體問題的研究提供了新的方法。本文將對兩體問題的拉格朗日處理方法給出系統的理論分析，并結合具體實例來理解這一方法的物理含義。

1 兩體問題的拉格朗日函數

對于質量為M和n的兩粒子組成的系統(圖1)，C為它們的質心。質心坐標表示為：

兩粒子的自由度為6，取和為廣義坐標。系統相對于慣性坐標系的動能為：

體系的勢能只考慮兩粒子的相互作用勢能，此勢能只與兩粒子的相對位置有關，用表示。

則體系的拉格朗日函數為：

由(1)和(2)式可解得：

將(5)式代入(4)式整理得：

選取質心坐標和兩粒子間的相對位矢 為廣義坐標后，兩體問題的拉格朗日函數分解為反映質心運動的拉格朗日函數和反映兩粒子間相運動的拉格朗日函數兩個獨立的部分。這樣就把兩體問題分解為兩個單粒子問題。

圖1 兩體問題圖示

圖2 例題示意圖

2 實例應用

例 質量m1及m2為及的兩質點互相以力吸引，引力與其質量成正比，與距離平方成反比，比例常數為k。試討論兩質點的運動情況。

解 兩質點間僅受引力作用，則此體系為保守系，可利用保守系下拉格朗日方程求解。建立如圖2所示的坐標系，選擇體系的質心坐標xC及兩質點間的相對坐標x為廣義坐標。

則體系的拉格朗日函數為：

拉格朗日方程為：

將拉格朗日函數(7)分別代入拉格朗日方程(8)中解得：

其中，(9)式表明體系的質心加速度為零，質心做慣性運動，這一點從牛頓力學很容易看出，因為體系不受外力作用。(10)式是質量為μ的“質點”的動力學方程，這就把兩體問題簡化為單體問題。

3 結論

拉格朗日方法處理兩體問題與牛頓力學方法類似，都是將兩體問題簡化為單體問題。但是此方法的引入可以為兩體問題的處理提供更為廣闊的思路，也為多體問題的解決奠定了基礎。

[參 考 文 獻]

[1]范繼美.兩體問題中的折合質量[J].昆明工學院學報,1992,17(2):121-128.

[2]王文科.關于兩體問題中相對運動的討論[J].工科物理,1994(2):19-21.

[3]白靜江.兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律[J].大學物理,1997,16(3):11-14.

[4]梁志強,唐文校.質心坐標系中的兩體問題[J].泰安師專學報,2001,23(3):54-57.

[5]李銀山.采用拉格朗日方法來處理兩體問題[J].科技創新導報,2008(6):137.

An analysis of Actual Example to Deal with Two-particle System by Lagrange Method

GUO Jun-hua

(Department ofPhysics and Electronics Engineering,YunchengUniversity,YunchengShanxi 044000,China)

The problem of two-particle system has been subject to attention.In this paper,the theory to deal with two-particle system by Lagrange method has been given in detail,and an analysis of actual example also has been given.

two-particle system;Lagrange function;generalized coordinates

O316

A

1008-178X(2013)01-0011-03

2012-11-12

郭俊華（1979-），女，河南鶴壁人，運城學院物理與電子工程系講師，碩士研究生，從事超快光學研究。