系統頻率測量方法研究及基于DFT的測頻算法仿真

蘇東波，金恩淑，汝曉鵬

（1.東北電力大學 吉林 吉林 132012；2.海軍航空工程學院 山東 煙臺 264001）

頻率是電力系統運行質量和安全情況的最主要標志之一，因而頻率的動態過程成為電力系統中控制、保護和運行監測裝置的關鍵監測量。自然，正確測量動態頻率便成為這些自動裝置正確動作以及確定電力系統有關元件頻率動特性的前提。測頻的實質是信號觀測模型的動態參數識別問題，即輸入真實系統物理信號，利用信號處理和數值分析方法實現對預定模型參數的估計。

隨著大容量、超高壓、分布式、異構型復雜電力網絡的形成和人們對其行為特性的深入理解，基于傳統的純恒幅正、余弦信號基礎上定義的電力系統頻率概念及其測量技術在解決現代電網諸多問題時遇到了巨大的挑戰：取得的信號含有頻率不停變化的基波、豐富的諧波、非周期分量和噪聲成分。

許多學者對測頻技術進行了廣泛的研究，其中算法是頻率測量的核心環節。文獻[1]對1999年前國內外測頻算法進行了論述，隨著數字信號處理軟、硬件水平的提高，不少學者進行更深入的研究，筆者對近年來使用較多的測頻算法進行歸納和比較并且對DFT算法加以仿真，以滿足對測頻算法的實時性和準確性的要求。

1 電力系統的測頻算法

1.1 周期法

原始的周期法通過測量信號波形相繼過零點的時間寬度來計算頻率，該方法物理概念清晰，易于實現。但該算法具有3個主要的缺點：首先，在進行過零點檢測時，肯定會引入誤差；其次在每個周期中，只有兩到三個點用于頻率計算，即用于計算的信息很少；最后，在每個周期只能獲得一個新的頻率。測量裝置使用周期算法時，需要對其測量精度和實時性進行改進。典型的改進算法有水平交（level crossing）算法、高次修正函數法和最小多項式曲線擬合法，它們以計算量和復雜度為代價來提高算法的精確度和響應速度（原始周期算法的時延決定于信號的特征而非計算量）一定程度上喪失了原有零交算法的簡明性。

1.2 解析法

對信號模型進行數學變換 將待測量f或Δ f表示為樣本值的顯函數來估計，解析法測頻的特點是：涉及到復雜的數學推導，為了簡化分析和計算，只使用一個簡單的觀察模型，難以考慮諧波，非周期分量和噪聲的影響；算法簡單，計算復雜度低，但是難以對非穩態頻率進行測量，即使在穩態條件下，必須有一個嚴格的預過濾。整體算法推導由于采用近似化，精度不高。文獻[2]采用測周期求倒數的方法將頻率f轉化為:f=（2T0-T）/。文獻[3]基于正弦函數特性通過3個特殊采樣值的測量得到:f=|u’|max/π（umax-umin），該法最快可在 1/2周期內測出采樣信號的基波頻率，不受采樣時刻的限制，但對硬件的要求較高。文獻[4]采用基于數字微分和拉格朗日插值的方法由可測量的頻率范圍較寬、計算量不大，但難以考慮諧波和噪聲的影響，故難用于實際測量。該方法可以應用于速度和精度要求都不高且信號的非特征分量可以忽略的場合。

1.3 誤差最小化原理類算法

該類算法假定輸入的含噪聲信號中的有效信息符合某一確定的模型，使輸入樣本數據最大限度地擬合于這一模型，并將擬合過程中剩余的部分作為誤差盤，使其均方值或誤差的某種范數減小到最小。由于數學分析和信號處理領域對此類算法有詳細的闡述，故問題的關鍵在于將測量求解轉化為相應的標準格式，并減少計算量。

1.3.1 最小二乘法

1.3.2 最小絕對值近似

1.3.3 牛頓類算法

牛頓類算法（Newton2type algorit hm）是將牛頓迭代類算法和最小二乘原理結合起來求解超定非線性方程組該算法的主要用于測量系統諧波，計算具有的特定的迭代次數，當含有更多的高次諧波成分時，工作量是非常可觀的；并且迭代參數的初始值選取不當時，易發生數值不穩定或不收斂的。在線測量或控制非常困難。

1.3.4 離散（擴展）卡爾曼濾波算法

離散擴展卡爾曼濾波算法 （discrete[extended]Kalman filter algorithm，縮寫為 D[E]KF）[10-11]是一種高效優化的信息處理方法，它對離散隨機動態過程及其噪聲量測變化：

或

1.4 正交去調制法

正交去調制法（Quadrature Demodulation Algorithm，QD）將采集到的信號 x（t）乘以一個去調制復載波 e-2πfdt， 得到x′（t）=x（t）·e-j2πfdt。在信號 x′（t）的基礎上測量原信號的頻率[1]。由于x′（t）包含了豐富的諧波分量和噪聲，故一般需要精細的濾波技術來與之配合。去調制測頻算法的快速響應特性使它在頻率的實時測量控制、控制系統中得到廣泛的引用。文獻[5]提出了一種用正弦、余弦濾波器的輸出測量電力系統頻率的新方法，該方法將正弦、余弦濾波器的幅值增益影響直接在測頻公式中進行了補償，但是增益補償方法較復雜，不適合用于實時處理。

1.5 虛擬轉子法

為解決人們對普遍沿用物理學和電工學對標準正弦交流電頻率—即 “每秒變化的周期數”定義的局限性。以及基于相應的周期法測頻原理不能正確反映在發生各種電磁過渡過程和機電過渡過程時電力系統的真實頻率。文獻[6]提出了電力系統動態頻率的定義和虛擬轉子法測頻的概念。從電力系統的整體原理上對系統的動態頻率做出了新的解釋。同時推導出虛擬轉子測頻算法：電力系統的動態頻率可以由觀測節點三相電壓的正序基波分量合成的空間矢量在某一相應的虛擬轉子轉動慣量制約下的旋轉速度來求得。該法反映了電力系統動態頻率的本質，因而解決了諸如諧波影響、噪音干擾、暫態過程中直流分量影響以及相位躍變等問題，但是該方法實現起來稍顯復雜，運算量較大。

1.6 DFT（FFT）類算法

DFT（FFT）是一種典型的數字濾波技術，也是頻譜分析的主要工具， 目前在電氣信號頻率測量乃至電參量檢測領域應用最為廣泛。DFT（FFT）分離信號的基波及各次諧波分量，從而得到信號的基波頻率，即使頻率稍微偏移標稱值，選擇合適的采樣技術和數據窗，利用前后窗DFT（FFT）結果能夠準確地估計系統的基頻，精度和穩定度好，計算量較小，具有內在的不敏感于諧波分量的特性，但噪聲對其測量精度影響較大，而且對信號的周期延拓可能引入頻率混疊，實際應用中需要精細設計前置濾波器。文獻[7]利用DFT（FFT）過程求取模型參數進而計算頻率偏移的方法，過于簡單粗糙，精度很低，實用性不強。文獻[8]基于變步長自適應陷波濾波器的電氣信號頻率測量算法，步長因子的選取對算法的影響很大，步長過大，收斂快，但測量誤差隨之增大，而且可能出現過早收斂；步長過小，測量精度高，但收斂慢，實時性差，由于步長的選擇，現實運用具有一定的局限性。文獻[9]在等角度采樣原則的基礎上提出了一種基于DFT的自適應測頻算法，該算法跟蹤速度快 測量偏差小，實時性高。

2 DFT頻率測量算法的仿真

在實際運用時，即需要考慮測頻算法的實時性，又需考慮具有一定的精度，故本論文對DFT測頻法進行了仿真驗證，本方法基于相角矢量方法。使用遞歸公式對每個連續的相量進行計算將得到當前的實部和虛部，因此第k個相量的角度可以得出：

假設相角為采樣點數的二次函數。

φ（k）=a0+a1k+a2k2，則有

或

從而可以得出系數矩陣a

a=[XTX]-1XTΦ，其中[XTX]-1XT可以離線求出。

由角度二次函數可知：

利用上述公式，可以得出f=f0+Δf及滑差頻率。

對其進行仿真驗證。沒有諧波時仿真結果如表1所示。

為考察察諧波條件下算法的性能，設原信號為：

u（t）=sin（2πft+φ1）+0.2sin（2×2πft+φ2）+0.1sin（3×2πft+φ3）初相角隨機選擇，測量結果如表 2所示。

可以看出測量頻率與實際頻率的測量誤差在0.01 Hz范圍內，完全滿足精度的要求。

表1 純正弦輸入波形時頻率測量情況Tab.1 Pure string input waveform frequency measurement results

表2 信號中含噪聲時的測量結果Tab.2 Signal containing harmonic measurement results

3 結 論

本論文通過前人頻率測量研究成果的分析和總結，認為頻率測量有如下的發展趨勢：系統頻率的測量信號模型不斷完善，能更好的與實際電力系統的頻率吻合，能較好的排除諧波直流分量的影響；隨著微電子工藝的發展和可編程器件性能的提高，為實現高性能算法和實時控制奠定了基礎；求解方法從直觀的函數解析，進入復雜的數值分析和數字信號處理領域。

此外通過對一種基于DFT測頻算法的仿真，結果證明其精度完全可以滿足實際的需要。

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