具有遲滯效應的交通基本圖模型及仿真

吳中，王梅妞

(河海大學 土木與交通學院，南京 210098)*

0 引言

道路交通流作為數學、物理、信息技術和交通工程的跨學科基礎研究，在國內外取得了很多重要的研究成果.上世紀 50年代 Lighthill＆Whitham［1］、Payne［2］等人提出交通流的運動學模型 和 動 力 學 模 型;其 后，Kühne［3］、Kerner-Konhaüser［4］以及我國學者張紅軍［5］，薛郁［6］等人從不同角度加以改進，提出相應由偏微分方程描述的基于“流體”思想的交通流模型;此外，基于顆粒流理論和多智能體理論的交通流模型與仿真方法也得到了長足的發展.近年來，德國學者Kerner［7］等人通過現場實測發現 q-ρ關系圖的數據分布不同于傳統線性或非線性理論，提出了交通流的分相理論—三相交通流理論.三相交通流理論的提出沖擊了傳統理論，也對不斷發展的運動學、動力學模型提出挑戰，使得深入揭示交通流本質、提高模型精度成為現代交通流研究的重要方向之一.

1 Kerner與傳統基本圖的區別

在傳統的交通流理論中，交通流量q和交通密度ρ的關系被表達成靜態的確定關系，其二維關系圖被稱為基本圖，具有物理意義明確、直觀的特性，是表達交通流特征的重要方法.線性理論的圖形曲線為二次拋物線，可由Greenshields速度與密度模型推導而得(圖1).國內外根據交通流實測資料，將基本圖表達成多種形態，接近于拋物線的曲線或折線.它們雖沒有給出具體的數學表達式，但經驗基本圖具有曲(折)線連續、密度ρ對應單值流量q、流量存在確定的上限值、只有當密度為零或為阻塞密度時流量為零以及有包括正斜率自由流與負斜率擁擠流的特點.交通流的動力學方程以流體動量方程為基礎，設想并描述了車流隨體加速度隨車流密度梯度、速度梯度或速度偏離值改變的車流狀態變化特性.交通流動力學方程是人為構造的，沒有嚴格的物理學基礎，本質上只是流體運動的近似，即使確定了隨體加速度，也難以直接給出固定空間位置的基本圖關系.Kerner在基本圖(圖2)上將交通流分為暢行相(自由流F線)、寬幅運動阻塞相(J線)和同步交通流(二維陰影區)，明確提出了存在高流量的亞穩定狀態(大于qout的F曲線部分)和同步交通流，并依此可以解釋“幽靈”阻塞現象和非暢行相條件下的交通流因加減速速度差引起的遲滯現象(圖3)，而遲滯(環)現象在傳統基本圖上幾乎無法正確解釋.

圖1 Greenshields q-ρ基本圖

圖2 Kerner交通流基本圖

圖3 ［8］實測交通遲滯(環)

2 具有遲滯效應的基本圖模型

2.1 模型構建原則

由于傳統模型無法描述交通的同步流狀態，其數值仿真也難以表達擁擠的交通流走走停停、忽快忽慢的特征;Kerner的q-ρ圖因曲線不連續、同步流的q的多值特性，也不能夠作為數值模型的控制方程.要在基本圖控制模型或方程中表達擁擠車流的復雜特性對流量、流速的影響，需要結合上述兩類基本圖的特點，構造新的基本圖模型.模型的構造遵循下列原則或假定:

(1)模型能夠合理表達Kerner三相流理論的主要特性，包括同步流、交通遲滯(環);

(2)模型曲線連續，q-ρ關系變化規則明確，具有可計算性;

(3)考慮相同性質的單一車流，排除因車輛或駕駛行為差異而導致的最大流量值大小不定，即流量存在確定的最大值，僅當密度為零或阻塞密度時流量為零;

(4)模型引入合理邊界條件，能夠解釋同步流與遲滯環現象的產生機理.

2.2 模型構建

依據上述原則或假定構建基本圖(圖4).圖中具有正斜率的直線段為自由流，直線頂端對應最大交通流量，相當于Kerner基本圖亞穩定狀態交通流的最大值.由于只有在交通流內部車輛之間協同關系最理想時才能達到最大通過量(實際情況下較難達到)，交通流量最大點只能出現在車流秩序最好的暢行相直線F頂端qm;同步流因交通秩序不如暢行相好，其最大流量、q-ρ二維包絡線頂端值不可能大于暢行相qm值.暢行相直線頂端qm可依據大于等于實測同步流二維數據包絡線頂端值確定.流量存在確定的最大值，暢行相直線頂端qm與阻塞密度之間的直線J可以認為寬幅運動阻塞相(圖2、4).

在阻塞相直線J上下的區域為同步交通流，因車流中車輛擁擠程度與道路物理條件有關，同步流量的上下邊界曲線1、2應依據極端的實測數據包絡線或經驗值確定(圖5)，同時也反映在速度-密度(V-ρ)平面的上下限曲線1、2(圖6).

圖4 新構建的具有遲滯效應的基本圖

圖5 具有遲滯效應的q-ρ圖

圖6 具有遲滯效應的V-ρ圖

模型認為均一車流的同步流q-ρ二維區域是由各種大小不等的動態遲滯環覆蓋而形成.車流在擁擠區加速、減速會因加速動力一般弱于減速動力而產生加速的遲滯，即在V-ρ及q-ρ圖上顯示出加減速的不同車流狀態路徑.引入交通流任意狀態點都可以達到極端狀態的自然邊界條件，每一時刻加減速狀態變化路徑按下列思想確定(圖5):①在0～ρm區間內的車流狀態變化沿F直線運動(式(1));②在ρm～ρj區間內的車流若要改變狀態(加速或減速)，車流狀態改變必須沿著一條從當前狀態點出發，加速能夠達到ρm上限值、減速可達阻塞密度ρj下限值的V-ρ或q-ρ路徑.車流狀態由低速向高速變化，其V-ρ平面上的移動軌跡接近曲線2;狀態由高速向低速變化，移動軌跡接近曲線1，在q-ρ平面上也是如此(圖5、6).加速與減速的不同路徑形成了遲滯環，遲滯環的速度曲線由Pipes-Munjal模型曲線族方程表達.盡管車流一時步狀態改變并不一定能夠達到上、下限值，但狀態變化路徑卻必須滿足自然邊界條件，提供車流到達上下限值的可能，且狀態變化路徑方程并非不變，它是逐步逼近上下極值點(式(3)、(4));③為數值計算方便，當車流狀態從暢行相進入阻塞相時(由0～ρm區間進入ρm～ρj區間)，車流狀態變化按阻塞相直線J選取q-ρ關系(式(2)).

構建模型可以表達為如下方程或計算式:

暢行相F:

阻塞相J:

寬幅運動相:狀態變化路徑是動態的.記n時刻交通流狀態為 ρn，qn，下一時刻狀態為 ρn+1，qn+1.若ρn+1＞ρn，則車流量向阻塞狀態靠近，其狀態變化方程(路徑)以當前的ρnvn為上限流量，以阻塞狀態為下限，車流狀態單時步變化方程為:

若ρn+1＜ρn，則車流量向暢行相靠近，其狀態變化方程(路徑)以ρmvf為上限流量，以當前的ρnvn為下限，車流狀態單時步變化方程為:

式(3)(4)中，因mn+1的取值不同，車流加速與減速的狀態改變路徑被區分(圖5).若mn+1等于1，方程(3)、(4)退化為傳統的折線基本圖模型，既不存在同步流，也不存在遲滯環.此外，從式(3)、(4)中容易得到單時步車流速度變化方程.

表達偏離程度m值是時變的，以a、b為曲線1、2的極限指數值，0＜β＜1，為遲滯環路徑改變速率參數，m變化規則可表達為:

式(5)中，a、b值可按調查數據取得或根據經驗值選取.

3 數值模型與解法

3.1 數值模型

不添加擴散項，采用純粹的車輛守恒方程為控制方程，交通流的“流動”的全部特性由方程或計算式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)基本圖模型表達，相應數學模型為:

其中，mn+1的取值見式(5).

3.2 數值解法

以下標i表示空間坐標，控制方程(6)在時間與空間上進行離散，采用Lax-Friedrichs格式，截斷誤差為時間一階、空間二階精度.離散方程可表達為式(8).

由于在ρm處q不可導，數值計算中多少會引起q數值結果的離散.符合Kerner觀測數據在亞穩定狀態qm處流量值離散與分裂的現象.

4 數值算例

模擬簡單路段長8 km的單向兩車道，模擬時間長2 200 s，空間步長10 m，時間步長0.1 s;暢行速度取80 km/h，阻塞密度取200 pcu/km，臨界密度取50 pcu/km.車輛入流端為按時間步長給定的密度值，出流端為無反射開邊界.使用sufer軟件繪圖，k表示密度、q表示流量、u表示速度;simulation time(s):仿真時間，section length(*10 m):仿真空間.

4.1 恒定密度輸入

路段初始密度值為40 pcu/km，低于臨界密度;入流源交通流密度波為恒定輸入80 pcu/km，高于臨界密度.由于高密度車流的輸入，隨時間推移，高密度車流將在空間上向前移動，密度波峰面處會發生擴散.

圖7為沒有遲滯環與同步流的退化模型的三參數計算結果，由于ρ和q一一對應(基本圖僅由圖5中F和J線構成)，三參數計算曲面連續光滑，與其它成果一致.由于本文退化基本圖模型在ρm處產生轉折，計算密度與流量曲面上也有相應有曲面波動.由于Lax-Friedrichs格式有較強的頻散性，加之時間步長很小，ρm處q不可導對計算結果的離散影響很小.

圖7 三參數時空圖(沒有遲滯環與同步流)

考慮遲滯環與同步流，取a=0.8，b=1.6，遲滯環路徑改變速率參數β=0.01，三參數計算結果見圖8.與圖7比較，密度、流量和速度隨時間的變化趨勢大體相同，車流在低密度暢行相區域三參數仍然曲面光滑.但在同步流區域三參數時空上變化更為劇烈，明顯表現在流量與密度在空間上更大梯度的變化.由于遲滯環效應，高密度波向低密度擴教過程中產生車流速多次的快慢脈動(圖8(c)).同時密度、流量圖上也有起伏(圖8(a)、圖8(b)).

加大遲滯環效應，取a=0.8，b=2.0，三參數計算結果見圖9.同步流區域三參數時空上梯度增大，由于擴散至低密度區的原高密度流車輛因遲滯環存在而減速，使得高密度波的擴散受到一時的阻礙，車輛被阻堵在最大流量密度ρm附近處，這種現象比圖8更加明顯，這也是輸入恒定高密度車流引起的.此外，車輛加速減速幅度增加(圖9(c))，也使在部分空間區域上密度在時間上時大時小，流量也有更大起伏，產生車流“走走停停”的現象.

圖9 三參數時空圖(加大遲滯環效應)

4.2 孤立密度波輸入

路段初始密度值為40 pcu/km，入流交通流為40 pcu/km密度上的正弦孤立波，峰值60 pcu/km高于臨界密度.圖10為退化模型的三參數計算結果.密度在傳播過程中逐步擴散、降低峰值(圖10(a))，部分車流段密度的下降致使低速度“溝”逐漸收窄(圖10(c)多峰形)，曲面狀態的改變緩慢光滑.

圖10 三參數時空圖(退化模型)

考慮遲滯環效應，取a=0.8，b=1.8，β=0.01，交通流孤立密度法輸入不變，計算的三參數時空曲線見圖11.與圖10退化模型比較，密度波的擴散更快，密度與流量在空間分布上產生三個峰值(圖11(a)、圖11(b))，除了原先輸入密度峰值外，輸入密度波突然變化之處也會因密度的突然變化，使車流依據基本圖與守恒方程產生加減速，并形成多峰形密度和流量的傳遞波.當密度發生較為劇烈變化時，遲滯環效應使得交通流行為更加復雜.

圖11 三參數時空圖(考慮遲滯環效應)

5 結論

研究結果表明，所建的包含遲滯環的均一車型交通流基本圖模型，與傳統的退化模型計算結果比較，計算三參數時空曲面發展趨勢一致，細節上的差異能夠合理解釋，說明模型構建合理可信;時步流量變化模型描述了車輛中的遲滯環現象，同時也給出了同步流的合理解釋，它是研究混合車型車流與不同駕駛行為車輛交通流的基礎;算例比較表明，遲滯環是誘發車流降低穩定性的主要原因，加減速的不同路徑會引起車流“走走停停”，甚至“幽靈”塞車的“罪魁禍首”.遲滯環效應越強烈，對穩定交通流的干擾就越大;依據包含遲滯環的交通流基本圖模型，密度波因遲滯環而更快地擴散，這可能是交通密度波擴散速度大大快于擴散方程所描述的速度的原因;因為遲滯效應，在同步流相區間的交通流量很可能不同于退化模型所計算的流量，包含遲滯效應的交通流比傳統交通流復雜很多.

真實的遲滯環現象很復雜，車輛、道路、駕駛人員因素都會影響到遲滯環的形成和遲滯路徑，文中所提遲滯環是觀測數據、合理假定與邊界條件下的合理結果，仿真結果能夠解釋傳統模型難以解釋的交通現象，也能夠解釋三相交通流理論和現象.遲滯環研究還剛剛起步，探索交通流中的奧秘還需深入研究.

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