基于泰勒級數法的邊坡穩定性分析方法

潘 健,馬 勇,高 玨

(華南理工大學土木與交通學院,廣東 廣州 510640)

0 引言

可靠度分析方法的引入對土木工程設計方法的革新起到了巨大的推動作用.特別是在結構設計領域,可靠度方法已形成了一套完整的基于概率理論的極限狀態設計方法.然而,在巖土工程領域,特別是邊坡工程領域,雖然有大量的學者投入到這方面的研究[1-5],但實際應用可靠度理論還是局限于少數特殊工程.

美國著名巖土工程師Duncan在其文章中指出:"制約可靠度理論在巖土工程中的應用主要有兩點原因.其一,大多巖土工程師不熟悉可靠度理論的概念和模型;其二,人們常常誤以為可靠度分析需要更多資料,會花費更多時間和精力[4]".為此本文嘗試采用泰勒級數法這一簡單的概率分析方法,將可靠度分析方法與傳統的安全系數法結合起來,形成了一種簡化的可靠度分析方法,并將其應用于邊坡工程可靠度分析中.

1 泰勒級數法

泰勒級數法由美國土木工程師Wolff[3]首先提出,后來Duncan[4]又對其應用進行了一系列研究,最終形成了一套系統的、簡便的、可靠的巖土工程可靠度分析方法.國內該方法的應用不多,作者曾嘗試將該方法應用于地基沉降計算[6].

1.1 土坡穩定安全系數

我國現行規范通過土坡穩定安全系數描述土坡的可靠程度.針對不同的邊坡類型,采用對應的安全系數計算公式.只要計算出來的安全系數大于目標安全系數,人們就認為土坡就是穩定的,這一過程可以歸結為以下公式:

式中,K為安全系數;R為抗力;S為作用力;[K]為目標安全系數,可根據邊坡工程安全等級和計算方法確定.

這一方法被稱為安全系數法,又稱單一安全系數法,將設計變量視為非隨機變量,在強度上根據經驗打一折扣作為安全儲備.由于抗力和作用都是定值,所以安全系數也是定值,這種方法屬于定值法.由于土性參數具有一定的不確定性,傳統的安全系數法并不能恰當地考慮不確定性的影響,結果出現安全系數滿足規范要求仍然發生邊坡失穩的情況[4].可靠度理論是建立在概率統計基礎上,以隨機變量和隨機過程為研究對象,它與定值分析方法最大區別是考慮了變量的隨機性,并用嚴格的概率度量結構的安全度,就土坡穩定分析而言,可靠度理論是建立在土體具有的抗力大于荷載效應的概率基礎上進行設計和校核的,因此更符合客觀實際.可見在邊坡工程設計中,引入可靠度分析方法是十分有必要的[17].

1.2算例

圖1所示,某工程場地勘測地基土分為兩層.第一層為粉質粘土,天然重度γ1=18.2 kN/m3,標準差 σγ1=0.91 kN/m3;內摩擦角φ1=23°,內摩擦系數(內摩擦角的正切值)f1=0.424,標準差σf1=0.036;黏聚力c1=5.8 kPa,標準差σc1=0.44 kPa;層厚h1=2.0 m.第二層為粘土,天然重度γ2=19.0 kN/m3,標準差σγ2=0.95 kN/m3;內摩擦角φ2=18°,內摩擦系數f2=0.325,標準差σf2=0.026;黏聚力c2=8.5 kPa,標準差σc2=0.64 kPa;層厚h2=8.3 m.基坑開挖深度5.0 m,基坑開挖邊坡為1:1,不考慮地下水的作用.

圖1 邊坡算例示意圖

(1)土坡穩定分析

整體穩定分析采用《建筑邊坡工程技術規范》(GB50330-2002)推薦使用的圓弧滑動面法進行分析,則土坡穩定安全系數K公式為:

式中,φi為第i個土條的內摩擦角;n為土條的數目;Qi為第i個土條的自重;αi為第i個土條法向分力與垂線之間的夾角;L為圓弧的總長度.

計算可得K=1.14.

(2)土坡穩定安全系數的可靠度分析

對邊坡穩定性分析來說,影響安全系數K的強度參數主要為內摩擦角φ與黏聚力c.對內摩擦角φ來說,現行的做法是將內摩擦系數f(tan φ)而不是內摩擦角φ作為隨機變量[4].

參與計算土坡穩定安全系數K的參數均包含不確定性,因此K也包含了一定的不確定性,對其進行可靠度分析是有必要的.采用Wolff等人提出的泰勒級數法進行分析,公式如下[4],

式中,σK為土坡穩定安全系數K的標準差;δK為土坡穩定安全系數K的變異系數;ΔKi為考慮第i項參數變異性時安全系數K的差值(i=1,2,…,n,n為存在不確定性的參數的數目),ΔKi=(K1+-K1-),K1+和K1-分別為保持其它參數取平均值不變時,使用第i個參數的平均值加上一倍和減去一倍標準差求得的安全系數;δK為安全系數的變異值;E(K)為安全系數的期望值,即常規計算所得的安全系數.計算結果如表1所示.

表1 泰勒級數法分析土坡穩定可靠度

由此,可以將計算參數中所包含的不確定性量化為安全系數的標準差和變異系數.將該結果代入安全系數可能服從的概率分布類型,即可求得對應的可靠度指標和失效概率.

1.3 邊坡穩定失效概率

在邊坡穩定性分析中,可靠度指標[5]的值是邊坡狀態函數(以基本變量為自變量,反映邊坡完成功能狀態的函數)的平均值除以狀態函數標準差的商,或是在n維狀態空間中,n維極限狀態面至坐標原點的最短距離.在標準正態空間中,可靠度指標β與失效概率Pf有數值上的對應關系.

多數學者認為安全系數服從正態分布或對數正態分布[4-5,7-8].針對這兩種不同的概率分布類型,都可以通過簡單的概率計算求得安全系數的失效概率.

(1)安全系數服從正態分布

如果安全系數服從正態分布,則可通過以下公式計算出對應的可靠度指標βN,

式中,βN為正態分布下的可靠度指標;δK為安全系數的變異系數;E(K)為安全系數的期望值,即常規計算所得的安全系數.

計算可得βN=2.36,之后通過標準正態分布累積公式,即可求出安全系數對應的失效概率Pf,

式中,β為可靠度指標.

將可靠度指標βN代入式(6),可得安全系數K服從正態分布時的失效概率Pf為0.91%.

(2)安全系數服從對數正態分布

如果安全系數服從對數正態分布,則可通過以下公式計算出對應的可靠度指標βLN,

式中,βLN為對數正態分布下的可靠度指標;δK為安全系數的變異系數;E(K)為安全系數的平均值,即常規計算所得的安全系數.

計算可得βLN=2.50,將可靠度指標代入式(6)可得安全系數K服從對數正態分布時失效概率Pf為0.62%.

由此可以看出,泰勒級數法提供了一種計算可靠度和失效概率簡單有效的方法,為邊坡穩定性分析提供了一條新的思路.另外,上述計算中,安全系數無論是服從對數正態分布還是服從正態分布,失效概率均比較小,因此認為該邊坡工程基本穩定,工作性能良好.

1.4 泰勒級數法的步驟

應用泰勒級數法對邊坡穩定安全系數進行可靠度分析的步驟如下:

(1)使用各參數的平均值,采用常規理論或經驗公式計算安全系數K.

(2)采用下文介紹的方法估算存在不確定性的參數的標準差.

(3)使用Excel或者其它電子表格類程序,逐一采用各參數平均值加(或減)一倍標準差后的值重新計算安全系數.計算時,每次只改變一個參數,其它參數采用平均值.這里包含2n次計算,n是存在不確定性的參數的數目.先通過計算求得n個K+和n個K-,繼而求得ΔK.計算出對應不同參數的ΔK,并按照式(2)、(3)計算安全系數的標準差σK和變異系數δK.

(4)選擇安全系數最可能服從的分布情況,計算其失效概率Pf.

應用泰勒級數法最主要的工作在于步驟(2)、(3)中數據分析的評估,特別是參數標準差的確定需要審慎的判斷.

2 土性參數標準差的取值方法

參數所包含的不確定性將直接影響安全系數的不確定性.準確的標準差取值將使得可靠度分析的結果更加具有參考價值.根據掌握的數據資料的多少,可以通過以下方法來取得較合理的土性參數標準差.

2.1 直接計算法

如果有足夠的數據,可以根據標準差的定義,直接采用以下公式計算,

式中,σ為標準差,xi為參數x第i個值,xˉ為參數x的平均值,N為樣本總數.

雖然這一公式的數學定義明確且便于計算,但是其實際應用往往受到樣本總數的制約.當樣本總數偏小時,計算求得的標準差往往也會偏小.而在實際工程中,數據往往不是很充分,而且很多參數是通過相關性估計得到的.因此在實際應用時,通過下面兩種方法得到的標準差往往更加接近實際情況.

2.2 已有資料

由于我國正處在基礎建設高速增長的時期,通過不同工程實踐積累了大量的數據.因此在處理類似區域,類似土層的問題時,可以參考其它工程的經驗.表2列舉了不同地區粉質粘土物理力學參數的統計情況.在得到了相關參數的變異系數之后,即可通過以下公式計算標準差,

表2 部分地區粉質粘土物理力學參數統計表[9-14]

式中,σ為標準差,xˉ為參數x的平均值,δ為變異系數.

2.3 三倍標準差法則(3σ法則)

三倍標準差法則是Dai和Wang[15]首先提出的,對于一個具有正態分布的參數,99.73%的數據都分布于平均值加減3倍標準差的范圍之內.因此可以采用已有數據中最大值與最小值之差值的六分之一作為參數的標準差,即

式中,σ為標準差,xmax為參數x的最大值,xmin為參數x的最小值.

穩定分析中采用的巖土參數如抗剪強度指標c、φ,材料重度γ等均可以采用3σ法則在沒有足夠數據的情況下進行參數變異性分析.

3 工程實例

3.1 工程概況

廣東佛山某房地產項目,位于佛山市南海區里水鎮洲村,總占地面積約126 000 m2,塔樓超高層建筑層數為32~45層.擬建地塊在道路西南側,場地地形地貌變化大,存在高陡邊坡,其周長約1 000 m,呈U形,邊坡最高高度為48 m,邊坡安全等級為一級.

依據地塊總體規劃,擬建項目隨山體坡勢,在場地周邊分布為外環路,其路寬約6 m,對于外環路以外的邊坡作為景觀設計保留.在外環路以內為高層建筑群,以路面標高為小區建筑地坪,建筑群下設置為互相連通的大底盤1-4層地下室,地下室邊線分布于外環路內邊沿.部分區域基坑開挖作業將在現邊坡坡腳下形成與開挖深度相對應高度的新人工邊坡,其穩定情況將成為制約本工程成敗的關鍵.

建設方考慮到施工過程中可能遭遇的風險,邀請本文作者為該項目提供項目咨詢服務.針對該工程的特殊情況,我們表明了進行可靠度研究工作的必要性.在征得建設方同意后,對主要5個坡段采用泰勒級數法進行了可靠度分析.

現選取一代表坡段說明,如圖2所示,該段坡高30 m,坡度1:1,已采用格構及坡面種植植物等支護措施,設3道馬道,馬道寬2 m.基坑開挖采用1:1放坡開挖,開挖深度為6 m,由于場地原因將直接在原邊坡坡腳處開挖.根據地質勘察資料,該區域邊坡主要由兩種粉質粘土組成,土層與邊坡呈逆坡向,土層傾角為10°左右,為簡化計算,考慮土層為水平分布,不考慮地下水作用.

圖2 基坑開挖前后邊坡對比圖

3.2 巖土材料參數的確定

地質勘察共取40組原位土樣進行常規土工試驗.分別采用上文提到的直接計算、已有資料和三倍標準差法則估算各參數的標準差,計算結果如表3所示.標準差的最終取值采用三種方法求得的最大值.

3.3 邊坡可靠性分析

根據式(2)可以求得,邊坡穩定安全系數為K=1.39,滿足規范要求.

根據式(3),(4)求邊坡穩定安全系數的標準差和安全系數,結果如表4所示.

將邊坡穩定安全系數的標準差和安全系數分別代入式(5),(7)可得可靠度指標βN=1.88,βLN=2.15.

將βN和βLN分別代入式(6),可知當安全系數服從正態分布時,失效概率Pf=3.0%;當安全系數服從對數正態分布時,失效概率Pf=1.58%.為了對泰勒級數法的正確性進行驗算,本文利用可靠度分析中常用的蒙特卡洛法(MC法)對本邊坡進行了計算,在統計參數變量均為對數正態分布時計算的失效概率為1.48%,與本文中的計算非常接近(誤差為6.33%),完全能滿足工程要求.可見,雖然常規計算結果滿足規范要求,但由于土性參數的不確定性,邊坡還是存在一定風險的,特別當參數的變異性大于估計值時,這種失效的風險將變得更大.

表3 巖土材料參數表

表4 泰勒級數法可靠度分析

3.4 失效概率的評估和應用

失效概率的評價并沒有唯一的標準,這里我們采用《地鐵及地下工程建設風險管理指南》[16]中推薦的風險事故概率評定標準.

根據風險發生的概率,本工程的風險等級為四級(1%≤Pf<10%),可能發生.同時,考慮到安全系數本身滿足規范要求(根據《建筑邊坡工程技術規范》(GB50330-2002),邊坡安全系數>1.30),參考類似工程的經驗及經濟性要求,我方分析認為該邊坡基本穩定,無需大面積設置錨桿、擋土墻等支擋結構.但是,由于本工程邊坡開挖面積較大,基坑暴露時間較長,廣東地區雨季降水較多.同時考慮到場地水土保持以及文明施工等因素,必須采取對應的坡面防護及排水措施,具體建議措施如下:

(1)邊坡坡頂、坡面、坡腳和水平平臺應設排水系統,在坡頂外圍應設截水溝;

(2)當邊坡表層有積水、地下水滲出或地下水露頭時,應根據實際情況設置外傾排水孔、盲溝排水、鉆孔排水、以及在上游沿垂直地下水流向設置地下水廊道以攔截地下水等導排措施;

(3)開挖后的坡面應及時鋪設纖維網,同時完成種草等植物防護措施;

(4)應視開挖后情況采用噴錨或格構等措施,必要時,在開挖面形成初期可先使用水泥砂漿護面;

(5)施工過程中對邊坡進行嚴格監測,出現險情時,及時處理.

經過坡面防護后的邊坡經歷了廣東地區雨季的強降雨天氣,雖然個別區域出現了較大位移,但總體保持穩定,監測數據處于正常范圍.表明泰勒級數法能較好的反映土性參數的不確定影響,對工程實際有較好的指導作用.

4 結 論

(1)嘗試將泰勒級數法應用到實際工程領域進行可靠度分析.實際情況表明,泰勒級數法簡單有效,可以就實際情況給出合理的可靠度分析結果.

(2)泰勒級數法使用簡便,不需要比常規分析更多的數據.在原始數據不足的情況下,可以參考其他工程的經驗選取相關數據計算出邊坡的失效概率.

(3)泰勒級數法是以安全系數法為基礎的一種可靠度分析方法,將土性參數的不確定性反應成安全系數的不確定性.在評估應用泰勒級數法的分析結果時,應結合安全系數使用.

(4)通過泰勒級數法得到的失效概率反映了安全系數小于1的概率.但是,如何將失效概率與邊坡等級、工程等級、場地情況甚至施工質量掛鉤仍需要在工程實踐中探索.

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