關于諧振子第一積分的研究

丁光濤

1 引言

諧振子是力學和物理學中基本的模型之一,很多理論研究和工程實際應用研究都建立在這個模型之上[1,2].微振動系統是可積系統,然而,有關的問題,例如系統存在多少個不含時的獨立積分以及如何導出這些積分,仍是受關注的課題,很多系統的量子化與這些積分(守恒量)有關[3-6].文獻[7]用擴展的P-S方法得到了二維非對稱諧振子系統分振動的頻率比為有理數情況下的第三個獨立的積分,但是,對分振動的頻率比為無理數情況下是否存在第三個獨立的積分問題,未做明確回答.

本文繼續研究諧振子系統不含時的獨立積分問題,探討構造這種特殊系統積分的新方法.首先,對一維諧振子提出基本積分的概念,以及與之相關的構造系統其他積分的直接方法.其次,將這種概念和方法推廣到二維系統,并給出利用不同自由度的基本積分構造系統其他積分的方法,證明所有的二維諧振子,包括對稱的和非對稱的兩種系統,以及對非對稱的系統中分振動的頻率比為有理數和無理數兩種情況,都存在能量積分之外的第三個獨立的與時間無關的積分,并對這些積分進行了分析討論.最后,將一維和二維系統的結果直接推廣到n維諧振子系統,利用上述方法直接構造獨立的不含時積分,從而證明這種系統存在2n-1個獨立的不含時的第一積分.

2 一維諧振子的基本第一積分

一維諧振子的運動微分方程為[1,2]

方程的兩個第一積分為

將t=0時的初始條件I11代人,即可知道I1和I2分別與初位置和初速度直接相關,它們是兩個獨立的積分.由這兩個積分可以直接得出方程(1)的解

而且利用它們能夠構造其他的積分,例如

容易證明,I3是振子能量,直接與振幅A相關

I4與振子初位相φ相關

在上述積分中,I3與時間無關,給出了系統在相空間的軌道,然后直接積分這個一階微分方程,或是結合另外的與時間相關的積分用代數方法求解,就能確定諧振子的運動規律.

從運動積分還能夠直接構造諧振子的Lagrange函數[8],例如,由I3可以構造得到

由I1和I2還可以分別構造得到兩個Lagrange函數族

其中函數F應滿足條件

因為(2)式中兩個積分與初位置和初速度直接相關,既能直接導出諧振子的解,又能構造其他積分,還能構造Lagrange函數和函數族,所以我們將它們稱為諧振子的基本積分,這個概念是下面討論的出發點.在此指出,下面只討論構造諧振子的積分問題,而不再涉及構造Lagrange函數問題.

3 二維對稱諧振子的第一積分

將上述一維情況推廣到二維情況.首先討論對稱諧振子,其運動方程為

方程的四個獨立的基本積分為

這四個獨立的積分的物理意義清楚,利用它們同樣能夠導出二維諧振子的解,也能利用它們構造二維諧振子其他的積分.例如,與兩個分振動對應的能量積分和初位相積分

由此還可以得到涉及整個系統的積分,例如,總能量

和(初)位相差

以及其他整個系統的積分,例如,

積分I11與兩個分振動的振幅和初位相差相關,I12相當于角動量守恒,對于二維對稱諧振子而言,這兩個積分也是重要的積分.

由于(13)和(14)式中四個第一積分的任意函數都是新的積分,故二維對稱諧振子的積分有任意多個,其中大部分是含時的.但是,在討論系統運動時,人們往往更重視尋找與時間無關的積分[1,3,7],如(15),(17),(19)—(22)式中的積分,每一個這樣的積分都表示系統相點在相空間中一個不隨時間而變化的曲面上運動,對2個自由度的系統而言,如果導出3個獨立的不含時積分,這些積分在相空間表示不同的固定曲面,它們的交線就是系統相點的軌道,如果再導出一個與時間相關的積分,那么,相點在軌道上的運動規律就可以確定[1,2].上面給出的二維對稱諧振子的6個不含時積分并不是彼此獨立的,例如,I5,I7和I9,不是彼此獨立的;I6,I8和I10也不是彼此獨立的.對二維系統而言,最多只能有4個彼此獨立的積分,而獨立的不含時積分最多只能有3個.二維對稱諧振子是簡單可積系統,它的四個獨立第一積分是容易全部得到的,例如,(13)和(14)式中四個第一積分就是彼此獨立的,(15)—-(18)式中四個積分也是彼此獨立的,三個獨立的不含時積分也容易給出,如(15),(17),(20)式,或(19),(20),(22)式等.總而言之,利用四個基本積分,構造二維對稱諧振子的其他積分問題,包括構造獨立的不含時積分問題,就完全解決了.

4 二維非對稱諧振子的運動積分

討論二維非對稱諧振子,其運動方程為

同樣可以得到方程的四個基本的運動積分

利用這四個積分同樣能夠導出二維非對稱諧振子的解,以及構造二維諧振子其他的積分,例如,與兩個分振動對應的能量積分和初位相積分

應當再次指出,二維諧振子運動無論是對稱的還是非對稱的,都是可積系統,都能得到四個獨立的運動積分,如(24)和(25)式中或是(26)—(29)式中的四個積分.

仍存在其他涉及整個系統的積分,如總能量

但是,直接與上面(20)—(22)式對應的積分則不存在了,這是因為ω1/=ω2的緣故.不含時的能量積分I9和I5,I7彼此相關,獨立的只有兩個.因此,要討論第三個這樣的不含時的獨立積分是否存在,如果存在將如何構造的問題[7].

通常認為,第三個不含時的獨立積分是否存在的問題與系統的相軌道是否閉合,系統的運動是否為周期運動的問題相關[1-3,7].已經明確的是,當兩個自由度的振動頻率之比為有理數,即ω1/ω2=p/q,p,q為整數時,二維諧振子運動的相軌道是閉合的,系統運動是周期的,第三個不含時的獨立積分存在;然而當振動頻率之比為無理數時,二維諧振子運動的相軌道不是閉合的,系統運動是非周期的.第三個不含時的獨立積分是否存在呢?有關文獻中并沒有回答.我們將在上面討論的基礎上,直接從構造運動積分的途徑,來研究第三個不含時的獨立積分的問題,對振動頻率之比為無理數情況給出答案.

不難看出,前面一維振子和二維對稱諧振子,從四個基本的含時的運動積分導出不含時的運動積分是通過代數運算消去時間因子得到的.在二維非對稱振子情況,振動頻率之比為有理數時,除了能量積分外,仍然能夠通過有限次的代數運算從四個基本的含時的運動積分中再消去時間因子,得到新的不含時的積分.這里的方法與文獻[7]不同,作為實例并為了簡化討論,下面只處理ω1/ω2=2的情況,此時(24)和(25)式可以改寫成

由(32)式可導出

從(31)和(33)式消去時間因子,導出新的獨立的不含時的積分為

這個積分與文獻[7]中的結果一致.

但是,還有一種更簡單的方法直接導出另一個獨立的不含時的積分

這個積分可以看作(20)式中積分的推廣,可以將它變換成代數函數形式

這是一個不同于I10的積分.

當ω1/ω2為無理數時,不能導出類似I10的積分了,但是,能夠導出類似I11的積分

這就是第三個不含時的獨立積分.然而,由于ω1/ω2為無理數,積分I11與積分I12之間有重要區別,I12不能變換為代數函數形式,積分I11在相空間的曲面是閉合的,而積分I12在相空間的曲面不是閉合的,與其他積分曲面的交線構成不閉合的相軌道,系統的運動是非周期的.應當指出,(37)式形式的積分是一種普遍的形式,并不僅限于ω1/ω2為無理數的情況.ω1/ω2為有理數,包括等于1的情況,都存在這種形式的積分,(20)和(35)式的積分是其特例.

上面給出了從二維諧振子同一個自由度和不同自由度的基本積分構造諧振子系統其他積分的方法.利用這種方法證明了對二維諧振子不論是對稱的,還是非對稱的,也不論兩個振動的頻率比是有理數,還是無理數,都可以在能量積分之外構造得到第三個獨立的與時間無關的積分.頻率比是有理數的系統第三個獨立的與時間無關的積分是代數函數,或是可以變換成代數函數形式,三個獨立的與時間無關的積分在相空間中曲面的交線是閉合的相軌道,系統的運動是周期的;頻率比是無理數的系統第三個獨立的與時間無關的積分是超越函數,不能變換成代數函數形式,系統的相軌道不是閉合的,運動不是周期的.這種討論是純理論的.諧振子模型是一種理想模型,在實際的物理系統中,頻率比是1,是有理數,還是無理數,都只是理想情況.兩個自由度間微小的耦合,運動初始條件的細微變化,系統非線性的微弱存在,都會對系統的運動,特別是長期運動產生影響.

5 多維諧振子系統的運動積分

對一維和二維諧振子的積分問題的討論,得到了如何從同一個自由度振動和不同的自由度振動的基本積分構造其他積分的方法,顯然,這種方法容易推廣到n維諧振子.設n維諧振子系統的運動微分方程組為

其中n個頻率ωi可以相等或不相等;不相等的頻率之比,可以為有理數或無理數.對應于每一個自由度的分振動都存在(2)式形式的基本積分

這2n個積分是彼此獨立的第一積分.利用它們能夠構造對應于振動能量和位相的積分

這2n個積分也是彼此獨立的第一積分.(40)式中n個能量積分與時間無關,還可以進一步推導其他的與時間無關的第一積分.對頻率相等的分振動,可以得到(20)式形式的積分,它們對應著分振動的初位相差,也可以得到(21)和(22)式形式的積分;對頻率不相等的分振動,可以得到(37)式形式的積分,等等.顯然,能夠導出的不含時的第一積分是相當多的,而我們關心的是能夠構造得到多少個獨立的不含時的第一積分.

下面用構造法證明對n維的諧振子系統,總能夠得到(2n-1)個獨立的不含時積分.取第一個分振動為基準,設頻率等于ω1的分振動有m個(m≤n),將這m個分振動排在前面,即ω1=ω2=···=ωm,余下的n-m個分振動的頻率與ω1不相等,這n-m個分振動的頻率之中可能又分為相等或不相等的,但是對下面的證明沒有影響.首先,(40)式形式的能量積分有n個,它們是獨立的;這些能量積分可以將幾個分振動組合起來,甚至整個系統,即全部分振動的能量加起來,得到更多與能量相關的積分,但是,獨立的只有n個.其次,m個頻率相等的分振動,可以導出m-1個獨立的初位相差積分,例如,

余下的n-m個頻率與ω1不相等的分振動,可以構成n-m個(37)式形式的不含時積分

(42)和(43)式中共有n-1個獨立的不含時積分.總而言之,(40),(42)和(43)式中共有2n-1個獨立的不含時積分.這些積分分別與分振動的能量和位相相關,而能量(振幅)和位相是振動現象中具有特征意義的物理量.導出2n-1個獨立的不含時積分,就確定了系統代表點在相空間的軌跡,再利用一個含時的第一積分,就可以確定相點沿相軌跡運動的規律.綜上所述,n維的諧振子系統是完全可積系統,(39)式中2n個第一積分,或(40)和(41)式中2n個第一積分,都是系統的獨立的第一積分;而且通過直接構造得到(40),(42)和(43)式形式的與時間無關的第一積分,證明n維的諧振子系統存在著(2n-1)個獨立的不含時的第一積分.

6 結束語

本文研究諧振子的不含時積分問題,給出構造這種積分的新途徑,在力學和物理學中,人們往往對這樣的運動積分更重視,它們與經典力學中系統相點在相空間的軌道的封閉性和運動的周期性相關,與量子力學中系統的不同量子化模式相關.首先,本文討論一維諧振子,提出基本積分的概念,以及利用基本積分構造其他積分的方法.其次,將基本積分的概念和構造其他積分的方法推廣到二維情況,并解決如何利用不同自由度振動的基本積分構造新的與時間無關的積分的問題,證明了對不同類型的二維諧振子都存在3個獨立的不含時的積分.最后,將這種方法推廣到n維諧振子系統,利用直接構造法證明n維諧振子總是存在2n-1個獨立的不含時積分,并給出這樣2n-1個獨立的不含時積分的實例,這些積分由基本積分導出并分別與振動能量和位相組合相關.

本文對二維諧振子的積分問題討論得比較詳細,對稱的二維諧振子可以構造得到的不含時積分函數形式比較多.對非對稱二維諧振子系統而言,兩個分頻率比是有理數還是無理數,兩種情況存在重大區別.頻率比是有理數時系統的相軌道閉合,運動是周期的;頻率比是無理數時,系統能量積分之外的第三個獨立的與時間無關的積分是超越函數,相軌道不能閉合,運動是非周期的.但是,研究結果表明,相軌道是否為閉合的運動是否為周期的,并不能決定第三個獨立的與時間無關的積分能否存在,各種類型的二維諧振子系統都存在三個不含時的獨立積分.

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