喉栓式變推力固體火箭發動機壓強控制模型分析①

成 沉，鮑福廷，劉 旸，許 昊

(西北工業大學 航天學院，西安 710072)

0 引言

為提高未來導彈的機動性和突防能力，其動力裝置需要具備根據戰術要求隨機控制推力的能力。實現推力的隨機控制將是固體火箭發動機技術領域的重大突破之一。目前，固體火箭發動機推力可調方案很多，其中喉栓式固體火箭發動機，由于其推力可調范圍大、可隨機調節、響應速度快的特點，成為研究的熱點［1－8］。要實現對喉栓發動機推力的精確隨機控制，要求發動機氣動控制系統的壓強響應具有快速性、精確性和穩定性。國外對喉栓式發動機壓強響應控制系統進行了一系列研究。CFDRC公司開發的喉栓發動機分析軟件APMOD［1］中的控制算法能使喉栓的運動與發動機的壓力操作緊密耦合。Bergmans［2］采用了空氣渦輪發動機(ATR)中的燃氣發生器技術，用詳盡的數學模型描述了組件的氣動特性，建立了應用于導彈轉向和彈射座椅中的喉栓發動機的控制模型，實現了喉栓運動的閉環壓力控制。該模型的仿真結果很好地預示了喉栓運動狀態改變時的推力反向脈沖現象。但該模型中的參數需要根據對特定的發動機進行實驗來確定，不具備通用性。國內對喉栓發動機的研究處于起步階段，對氣動控制系統的原理性研究主要是通過實驗和流場仿真來分析壓強響應過程。西北工業大學的魏祥庚等［3］通過實驗分析了非同軸式喉栓發動機的響應特性。北京理工大學的王佳興等［4］通過流場仿真對壓強響應的影響因素進行了分析。流場仿真的方法直觀，成本低，但計算量大，計算過程復雜，并且考慮到閉環控制系統復雜的反饋特性，流場仿真現在只能對開環控制的喉栓系統進行分析。而實驗方法成本高昂，次數有限。建立計算簡單的實用模型不僅對實驗的設計有指導意義，提高實驗的效率，并且能提供快速的工程估算方法。

本文運用控制工程的方法，將喉面－壓強響應系統近似為一階線性氣動控制系統，通過建立傳遞函數，對影響壓強響應的因素進行了分析。為提高計算精度，進一步修正了傳遞函數，對采用開環控制的喉栓發動機系統進行求解，得到了壓強響應及理論響應時間。

1 傳遞函數

用拉氏變換法求解線性系統的微分方程，可得到控制系統在復數域中的數學模型——傳遞函數。傳遞函數為線性定?？刂葡到y輸出與輸入2個量的拉氏變換之比，它不僅可表征系統的動態性能，而且可以用來研究系統的結構或參數變化對系統性能的影響［9］。喉栓式發動機的氣動控制系統為喉面－壓強響應系統?，F推導其傳遞函數。

1.1 傳遞函數推導

假設喉栓發動機噴管內部為一維定常等熵流動，其壓強響應數學模型可以用式(1a)表示:

由于壓強響應時間很短，忽略自由容積與燃面面積的變化，可將其視為定值。

上述微分方程為非線性方程。欲建立線性模型，需對Pnc和PcAt兩項進行線性化近似處理。為了降低線性化近似誤差，先對式(1a)進行變形。

設Pc0為初始平衡壓強，將式(1a)變形為

1.2 影響壓強響應的因素分析

由于誤差僅來自于線性化的過程，只會對含n的項產生影響，因此不影響對其他參數的定性分析。下面用傳遞函數對采用開環控制的喉栓發動機壓強響應影響因素進行定性分析，并驗證分析結果。

(1)壓強響應影響因素的定性分析

金融資源和實體經濟之間存在著密不可分的關系，單獨的金融資源很難發揮自身應有的功能和作用，而實體經濟就是金融資源發揮自身作用的完美平臺，只有當金融資源完全融入到實體經濟中，才能完整地體現出金融對經濟的促進作用。

一階線性定常系統中，時間常數T0是系統的固有特性，反應了系統響應的快慢，決定了壓強響應時間。當t=4T0時，系統響應將達到穩態值的98.2%，可認為系統達到穩態，此時認為系統壓強響應時間為4T0。從T0表達式可看出，c*、At0、Γ2/Vc與響應時間成反比。而ρp、Ab、a對T0沒有影響，所以不影響響應時間。

(2)分析結果驗證

依次改變以上各參數，用四階龍格庫塔法求解原方程，同樣按照系統響應達到穩態值98.2%的標準來求取響應時間。圖1為改變c*時，響應時間的變化曲線，該結果與用傳遞函數方法分析所得出的結論完全一致。同樣，在改變At0、Γ2/Vc時，得到的結論也完全相同;而改變ρp、Ab、a時，響應時間完全沒有變化。

可以看出，分析傳遞函數的方法很好地說明了這幾個參數對響應時間的影響。從理論上解釋了Vc越小，Γ、c*、At0越大，壓強響應越快，是因為它們影響了壓強響應系統的時間常數;而ρp、Ab、a不影響壓強響應時間，是因為它們不影響系統時間常數。At0越大，響應越快，說明同樣的調節比，正向調節(喉部面積減小，壓強升高)比逆向調節(喉部面積增大，壓強降低)要慢，這與魏祥庚等人做的實驗［3］中觀察到的現象一致。

1.3 傳遞函數誤差分析

考慮系統的階躍響應，即原方程中At為常數At1，Pc初值為Pc0時的響應，此時的輸入量為

圖2和表1將用式(11)計算的解析解與原方程用四階龍格庫塔法得到的數值解進行了對比?？梢?，當ε1偏離1不太大時，用傳遞函數計算壓強響應的誤差較小，但隨ε1偏離1的程度增大，誤差將越來越大。這是由于ε1偏離1的程度越大，線性化的誤差越大。為了提高精度，需要對傳遞函數進行線性化修正。

表1 解析解與數值解的誤差Table 1 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

1.4 傳遞函數線性化修正

對傳遞函數加入修正系數，依次對穩態項和時間常數進行修正。

(1)穩態項的修正

(2)時間常數的修正

考慮模型的誤差來自于方程的線性化，用初始點來對方程進行線性化，導致了變量對初始點的偏離越大時誤差越大。若能根據變量與初始點的偏差選擇用來線性化的點，就能減小線性化的誤差，提高精度。

將式(4)代入式(3)，得到線性方程:

上式的穩態項不如式(15)準確，只用它來修正時間常數。

得到傳遞函數:

選擇合適的α取值，就能得到較好的結果。經過一系列計算發現，取α=0.71時，誤差較小。由于誤差的大小只與ε1有關，而與所計算的壓強范圍及發動機設計參數無關，所以可以取定α=0.71。表2和圖3將不同ε1下的解析解與用四階龍格庫塔法求的數值解進行對比，可以看出誤差已經明顯減小。

綜上所述，得到喉面－壓強響應系統的傳遞函數:

式中 K′為穩態項;T′為時間常數。

經線性化修正的傳遞函數雖然精度提高了很多，但并不是嚴格意義上的傳遞函數，因為其中包含了輸入項ε1，不妨稱之為偽傳遞函數。它可用來求解采用開環控制系統的喉栓發動機的壓強響應曲線。

表2 解析解與數值解的誤差Table 2 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

2 開環控制系統分析

2.1 開環系統壓強響應計算

采用開環控制系統的喉栓發動機的氣動控制模型可認為是喉面－壓強響應系統的斜坡響應，喉栓的運動速度反應為斜坡響應的斜率。

開環系統傳遞函數:

得到壓強響應的解析解為

解方程y(t)=(1－Δ)y(∞)，求得開環控制系統的壓強響應時間為

式中 Δ為允許誤差范圍，本文Δ=0.01，即認為系統響應將達到穩態值的99%時的時間為響應時間。

2.2 誤差分析

斜坡響應微分方程為

表3給出了用四階龍格庫塔法求解此方程的數值解與式(28)計算出的解析解的對比，結果表明誤差在可接受范圍內。

表3 解析解與數值解的誤差Table 3 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

2.3 壓強響應延遲分析

根據上述計算得出的結果，從響應時間上來看，發動機的壓強響應相對于喉栓運動速度的延遲只與時間常數T′有關。圖4表示了不同的時間常數T′下，響應時間隨喉面調節時間Tv的變化。

由圖4可看出，各個T′下的響應時間與圖中的實線對比(實線為喉面調節時間Tv)，時間常數越大，響應相對于喉栓運動的延遲越明顯。設計發動機時應盡量減小時間常數T′。若 T′能達到0.01 s，壓強響應相對于喉栓的運動可以幾乎沒有延遲，此時壓強響應基本取決于喉栓運動的速度。

3 結論

(1)喉栓發動機的壓強響應系統可以用一階線性模型近似表達。用建立傳遞函數的方法求解壓強響應曲線能得到壓強響應的近似解析解，并求得響應時間表達式，解的精度能滿足要求。為喉栓發動機的壓強響應提供了快速估算的方法。

(2)對傳遞函數的分析得出了喉栓發動機設計參數對壓強響應的影響規律。分析表明，Vc越小，Γ、c*越大，壓強響應越快;ρp、Ab、a不影響壓強響應時間;同樣的調節比，正向調節(喉部面積減小，壓強升高)比逆向調節(喉部面積增大，壓強降低)響應速度慢。

(3)對應用開環系統的喉栓發動機響應時間分析可以得出:時間常數T′越大，壓強響應相對于喉栓運動的延遲越明顯。設計發動機時應盡量減小時間常數T′。若T′達到0.01 s，壓強響應相對于喉栓的運動可以幾乎沒有延遲，此時壓強響應基本取決于喉栓運動的速度。

［1］Ostrander M J，Bergmans J L，Thomas M E，Burroughs S L.Pintle motor challenges for tactical missiles［R］.AIAA－2000－3310.

［2］John L Bergmans，Robert I Myers.Throttle valves for air turbo－rocket engine control［R］.AIAA－97－3188.

［3］魏祥庚，何國強，李江，等.非同軸式喉栓變推力發動機壓強響應分析［J］.固體火箭技術，2009，30(4):409－412.

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［9］胡壽松.自動控制原理［M］.3版.北京:國防工業出版社，2000.