分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的分析及電路實(shí)現(xiàn)*

賈紅艷 陳增強(qiáng) 薛薇

1)(天津科技大學(xué)自動(dòng)化系,天津 300222)

2)(南開大學(xué)自動(dòng)化系,天津 300071)

(2013年3月12日收到;2013年3月11日收到修改稿)

1 引言

盡管分?jǐn)?shù)階的微積分理論很可能在300多年前就已經(jīng)出現(xiàn)了,但在1960年以前,關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究很少能引起研究者的關(guān)注[1,2].這或許是由于存在著許多不一致的微積分定義,或許是由于缺乏對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的充分的幾何解釋[3].直到近幾十年,尤其當(dāng)發(fā)現(xiàn)一些實(shí)際的物理系統(tǒng)展現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)特性以后,例如,管道的邊界層效應(yīng)、電解電極、黏彈性受阻結(jié)構(gòu)等過(guò)程中都存在分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)特性[4-7].關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究開始引起了越來(lái)越多的關(guān)注,隨后對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中的混沌動(dòng)態(tài)研究逐漸成為了一個(gè)研究熱點(diǎn),相繼有一些分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)被提出和研究,例如,分?jǐn)?shù)階的Chua’s電路[1]、分?jǐn)?shù)階的Lorenz系統(tǒng)[3]、分?jǐn)?shù)階的Chen系統(tǒng)[8-10]、分?jǐn)?shù)階的Lu¨系統(tǒng)[11]、分?jǐn)?shù)階的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]、分?jǐn)?shù)階的Duffi ng振子[13]等.

通常認(rèn)為在維數(shù)低于3的系統(tǒng)中,不能發(fā)現(xiàn)混沌動(dòng)態(tài),而在分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中存在混沌動(dòng)態(tài)使得在維數(shù)低于3的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象成為可能.在更低維的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象或許會(huì)成為一個(gè)研究動(dòng)力,促使研究者們更進(jìn)一步地分析和研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng).這里所說(shuō)的系統(tǒng)維數(shù)是指系統(tǒng)中所有的微分方程的階次的總和.此外,出于應(yīng)用的需要,關(guān)于分?jǐn)?shù)階混沌同步和控制研究以及電路設(shè)計(jì)等也正逐漸成為了一個(gè)研究熱點(diǎn)[14-20].分?jǐn)?shù)階混沌理論的研究工作將為混沌應(yīng)用提供一些新的技術(shù)手段,從而促進(jìn)混沌應(yīng)用的發(fā)展.

然而由于對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌的研究剛剛起步,上述關(guān)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究絕大多數(shù)都是通過(guò)Lyapunov指數(shù)、吸引子相軌跡圖、電路仿真等數(shù)值仿真分析方法說(shuō)明系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài).而分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的分岔分析以及硬件實(shí)現(xiàn)等卻很少涉及.本文將主要通過(guò)分岔分析和模擬電路實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行研究.前者可以給出分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨參數(shù)變化的演化過(guò)程,分析系統(tǒng)的一些動(dòng)態(tài)特性,找到系統(tǒng)中的混沌吸引子和周期吸引子.后者不僅可以幫助從物理意義上說(shuō)明混沌的存在性,而且可以為分?jǐn)?shù)階混沌應(yīng)用提供電路模型.

2003年,Grigorenko和Grigorenko[3]分析了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài),不僅給出了當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)大于或等于2.91時(shí)的一些吸引子相軌跡圖和分析,而且也給出了當(dāng)維數(shù)小于或等于2.91時(shí),該系統(tǒng)不存在混沌動(dòng)態(tài)的結(jié)論.但非常遺憾的是,2003年在和Grigorenko的私人通信中,Li證實(shí)了文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論是錯(cuò)誤的,并于2004年在文獻(xiàn)[2]中做了說(shuō)明.2009年Yu等[21]進(jìn)一步研究了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)且給出了其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析,說(shuō)明了該系統(tǒng)的Hopf分岔現(xiàn)象,同時(shí)也給出了2.96維的混沌吸引子的數(shù)值仿真圖.那么在更低維的分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)是否存在混沌動(dòng)態(tài)呢?

本文在上述研究的基礎(chǔ)上,首先對(duì)分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)在更低維的分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)存在著混沌現(xiàn)象.然后,為進(jìn)一步說(shuō)明混沌特性隨參數(shù)變化的演化行為,又給出了不同分?jǐn)?shù)階次的系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖和吸引子相軌跡圖,通過(guò)數(shù)值分析方法說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌特性,即數(shù)值仿真結(jié)果和分岔圖是一致的.最后,基于整數(shù)階混沌電路的設(shè)計(jì)方法[22-31],用模擬電路實(shí)現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng),通過(guò)模擬示波器觀察到了與數(shù)值仿真一致的結(jié)果.不僅從物理意義上說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌特性,也為混沌應(yīng)用提供了技術(shù)上的準(zhǔn)備.

2 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)及其分形分析

2.1 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)

最近,Grigorenko和Grigorenko分析了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài),該系統(tǒng)可以被描述為

其中,a,b,c,d是系統(tǒng)參數(shù),α,β,γ是分?jǐn)?shù)階次.在文獻(xiàn)[2,3,21]中分別對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真分析和平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析等研究,分別說(shuō)明了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在2.91維和2.96維的混沌特性.現(xiàn)選取a=40,b=3,c=10,d=25,α=β=γ=0.9時(shí),通過(guò)數(shù)值仿真可以觀察到該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在2.7維的一個(gè)混沌吸引子的相軌跡,如圖1所示.

圖1 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子(α=β=γ=0.9)

2.2 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)分形分析和數(shù)值仿真

然而,僅僅憑借圖1不能說(shuō)明分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài).為進(jìn)一步對(duì)其混沌特性加以驗(yàn)證,下面將通過(guò)Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步研究.本文中采用的分?jǐn)?shù)階微分為Riemann-Liouville定義：

那么,在該定義下的Laplace變換為

這樣,傳遞函數(shù)1/sα可以用一個(gè)近似的整數(shù)階傳遞函數(shù)表示.實(shí)際上當(dāng)研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài)時(shí),頻域傳遞函數(shù)近似方法是常用的數(shù)值方法之一,這種方法在很多研究中常被采用[1,2,32,33].且誤差不會(huì)超過(guò)2 dB.本文分別采用了文獻(xiàn)[1,33]中所給出的兩種不同的頻域近似,對(duì)分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了研究,通過(guò)對(duì)Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖和數(shù)值仿真分析,都發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài).鑒于篇幅原因,本文只給出了采用文獻(xiàn)[33]的頻域近似方法的分析結(jié)果.其中所用到的近似函數(shù)分別為

同時(shí),基于連續(xù)整數(shù)階混沌系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的Jacobian計(jì)算方法,本文計(jì)算了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù).與整數(shù)階系統(tǒng)計(jì)算方法不同的是,在計(jì)算不同分?jǐn)?shù)階次Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)時(shí),本文將整數(shù)階的積分器1/s轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)階的積分器1/sα,就可以得到系統(tǒng)的相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階次的Lyapunov指數(shù).

圖2 分?jǐn)?shù)階次為α=β=γ=0.9的Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數(shù)圖;(b)分岔圖

這樣當(dāng)a=40,c=10,b=3,變化參數(shù)d時(shí),可以得到分?jǐn)?shù)階次為α=β=γ=0.9,系統(tǒng)維數(shù)為2.7的Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖,如圖2所示.通過(guò)對(duì)該Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖分析,可以發(fā)現(xiàn)在2.7維的Lorenz系統(tǒng)的確存在混沌特性.采用相同的方法,也可以分別得到分?jǐn)?shù)階次為0.8和0.7,系統(tǒng)維數(shù)為2.4和2.1的Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖,如圖3和圖4所示.

通過(guò)對(duì)上述Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖的分析,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)階次從0.7到0.9以步長(zhǎng)0.1變化時(shí),即系統(tǒng)維數(shù)從2.1到2.7以步長(zhǎng)0.3變化時(shí),分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)不僅存在混沌特性,而且也存在周期特性.為了進(jìn)一步驗(yàn)證我們的分析,本文中也給出了一些不同分?jǐn)?shù)階次或系統(tǒng)維數(shù)的數(shù)值仿真圖.現(xiàn)選取a=40,b=3,c=10,當(dāng)分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階次從0.7到0.9變化時(shí),其x-y平面的相軌跡圖分別如圖5所示.其中當(dāng)分?jǐn)?shù)階次為0.9,a=40,b=3,c=10,分別取d=40,d=33.8時(shí),分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)為單周期吸引子和雙周期吸引子,如圖5(a)和5(b)所示;當(dāng)分?jǐn)?shù)階次為0.8,a=40,b=3,c=10,分別取d=40和d=41.7時(shí),分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)為混沌吸引子和周期吸引子,如圖5(c)和(d)所示;當(dāng)分?jǐn)?shù)階次為0.7,a=40,b=3,c=10,分別取d=40和d=46時(shí),分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定的相軌跡和混沌吸引子,如圖5(e)和(f)所示.考慮到篇幅原因,本文僅給出部分吸引子的相軌跡圖.通過(guò)數(shù)值仿真觀察到的吸引子相軌跡與指數(shù)圖和分岔圖所呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性是一致的.

圖3 分?jǐn)?shù)階次為α=β=γ=0.8的Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數(shù)圖;(b)分岔圖

圖4 分?jǐn)?shù)階次為α=β=γ=0.7的Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數(shù)圖;(b)分岔圖

圖5 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的x-y平面的吸引子相軌跡 (a)α=β=γ=0.9,d=40時(shí)單周期吸引子;(b)α=β=γ=0.9,d=33.8時(shí)雙周期吸引子;(c)α=β=γ=0.8,d=40時(shí)混沌吸引子;(d)α=β=γ=0.8,d=41.7時(shí)周期吸引子;(e)α=β=γ=0.7,d=40時(shí)漸進(jìn)穩(wěn)定的相軌跡;(f)α=β=γ=0.7,d=46時(shí)混沌吸引子

3 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

為了進(jìn)一步從物理意義上驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌特性,基于整數(shù)階混沌電路的設(shè)計(jì)方法和頻域近似方法,使用電阻、電容、模擬運(yùn)算放大器LF347N和乘法器AD633,本文也設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路實(shí)現(xiàn)了0.9階次的分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng),如圖6所示.其中R5=R15=R24=1.55 MΩ,R6=R16=R25=62 MΩ,R7=R17=R26=2.5 kΩ;C1=C4=C7=0.73μF,C2=C5=C8=0.52μF,C3=C6=C9=1.1μF,上述電阻和電容的數(shù)值都是根據(jù)0.9階次的頻域近似確定的.R1=R2=2.5 kΩ,R3=R8=R9=R10=R13=R18=R19=R22=R27=R28=10 kΩ,R4=R12=R14=R21=R23=1 kΩ,R20=33.3 kΩ,R11是可調(diào)電阻,這些電阻阻值都是根據(jù)分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)確定的,其中R11隨著系統(tǒng)(1)中的參數(shù)d的變化而變化.這樣當(dāng)調(diào)節(jié)可調(diào)電阻R11時(shí),可以通過(guò)示波器觀測(cè)到混沌吸引子或周期吸引子的相軌跡,本文分別給出了x-y和y-z平面的混沌吸引子、雙周期吸引子和單周期吸引子的相軌跡圖,如圖7所示.通過(guò)與數(shù)值仿真的結(jié)果比較,可以發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的數(shù)值仿真、分形分析、電路實(shí)現(xiàn)的結(jié)果是一致的.

圖6 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的模擬電路

4 結(jié)論

采用頻域傳遞函數(shù)近似方法,研究了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng),分別從系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖和吸引子相軌跡圖等數(shù)值仿真分析驗(yàn)證了其混沌特性.與已有的研究不同的是,本文發(fā)現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)豐富的動(dòng)態(tài)特性,當(dāng)分?jǐn)?shù)階次從0.7到0.9以步長(zhǎng)0.1變化時(shí),即系統(tǒng)維數(shù)從2.1到2.7以步長(zhǎng)0.3變化時(shí),分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)不僅都存在混沌特性,而且也都存在周期特性.另外,也設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階次為0.9的Lorenz系統(tǒng),且通過(guò)示波器觀測(cè)到的相軌跡圖同數(shù)值仿真分析是一致的,從物理意義上進(jìn)一步驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌特性.上述研究結(jié)果表明,在更低維的Lorenz系統(tǒng)中也存在著混沌特性.本文的研究工作或許將為混沌應(yīng)用提供更為豐富的分?jǐn)?shù)階模型,為其應(yīng)用提供技術(shù)上的準(zhǔn)備.

圖7 示波器觀測(cè)到的分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的相軌跡 (a)x-y平面混沌吸引子;(b)y-z平面混沌吸引子;(c)x-y平面雙周期吸引子;(d)y-z平面雙周期混沌吸引子;(e)x-y平面單周期吸引子;(f)y-z平面單周期吸引子

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