基于分布式光纖測(cè)溫系統(tǒng)的單芯電纜瞬態(tài)溫度場(chǎng)數(shù)值計(jì)算

邢 雅， 侯 喆， 楊宇琦， 李洪杰

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西西安710049)

0 引言

隨著城市電網(wǎng)的不斷發(fā)展，交聯(lián)聚乙烯(XLPE)電力電纜在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用越來(lái)越普及。為了保證電纜長(zhǎng)期可靠、經(jīng)濟(jì)地運(yùn)行，采用精確的方法計(jì)算電纜的溫度分布以及載流量是非常重要的。目前，35 kV等級(jí)以上的電力電纜基本都安裝了電纜溫度在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，重要線路的高壓和超高壓電纜已沿線安裝了分布式光纖溫度測(cè)量系統(tǒng)(DTS)，采用DTS可以實(shí)時(shí)沿線監(jiān)測(cè)電纜表面溫度［1-2］。電纜的載流量取決于導(dǎo)體的最高持續(xù)運(yùn)行溫度。計(jì)算電纜載流量主要有兩種方法:一種是基于國(guó)際電工委員會(huì)IEC 60287標(biāo)準(zhǔn)的熱路分析法［3-5］;另外一種是數(shù)值計(jì)算方法，常用的數(shù)值計(jì)算方法有邊界元法、有限差分法、有限容積法及有限元法［6-11］。鑒于有限元法能夠方便地應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的電纜敷設(shè)環(huán)境和邊界條件，本文采用有限元法，結(jié)合實(shí)時(shí)負(fù)荷和DTS所測(cè)電纜表面溫度間接對(duì)電纜的瞬態(tài)溫度場(chǎng)進(jìn)行分析計(jì)算。

目前，有相當(dāng)多的文獻(xiàn)使用有限元方法已經(jīng)對(duì)XLPE電纜的載流量進(jìn)行了研究，很多的計(jì)算研究是基于大型通用有限元軟件的［12-14］，如 ANSYS，COMSOL Multiphysics等。然而，通用有限元軟件對(duì)于導(dǎo)體負(fù)荷及電纜表面溫度實(shí)時(shí)變化的瞬態(tài)溫度場(chǎng)的計(jì)算具有局限性。考慮到自主編制場(chǎng)域剖分程序較為復(fù)雜，本文利用通用有限元軟件ANSYS對(duì)計(jì)算場(chǎng)域進(jìn)行自動(dòng)劃分，提取得到的單元與節(jié)點(diǎn)的相關(guān)信息，利用有限元法的基本原理，自主編制有限元的計(jì)算程序，分析計(jì)算了單芯電纜的瞬態(tài)溫度場(chǎng)。

為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，對(duì)一根單芯110 kV 1×630 mm2XLPE電纜開(kāi)展了試驗(yàn)研究。試驗(yàn)結(jié)果表明，自主編制的有限元計(jì)算程序結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性，最后對(duì)兩者差異的原因進(jìn)行了分析。

1 瞬態(tài)溫度場(chǎng)有限元計(jì)算原理

電纜的瞬態(tài)溫度場(chǎng)屬于二維導(dǎo)熱問(wèn)題，并且考慮熱容的影響。對(duì)于具有內(nèi)熱源的區(qū)域，溫度控制方程為:

式中，x，y為空間坐標(biāo)(m);T為瞬態(tài)溫度(K);ρ為相應(yīng)材料的密度(kg/m3);cp為比熱容(J/kg/K);k為熱導(dǎo)率(W/m/K);t為時(shí)間(s);qv為產(chǎn)熱率(W/m3)，對(duì)于無(wú)內(nèi)熱源的區(qū)域，qv值為0。

為了得到固體導(dǎo)熱偏微分方程的唯一解及電纜瞬態(tài)溫度場(chǎng)，必須附加邊界條件和初始條件，統(tǒng)稱為定解條件，與微分方程聯(lián)立求解，邊界條件有三種，第一類邊界條件為邊界上的溫度為已知

第二類邊界條件為已知邊界法向的熱流密度

式中，q為熱流密度(W/m2)。

第三類邊界條件為對(duì)流邊界條件，已知對(duì)流換熱系數(shù)和環(huán)境溫度

式中，α為對(duì)流換熱系數(shù)(W/m2/K);Tf為環(huán)境溫度(K)。

導(dǎo)熱區(qū)域任意點(diǎn)(x，y)的初始條件為:

溫度場(chǎng)有限元法的計(jì)算基本方程可以從泛函變分求得，也可從微分方程出發(fā)用加權(quán)余量法求得，在加權(quán)余量法中，Galerkin法應(yīng)用更為廣泛。如果區(qū)域D劃分為E個(gè)單元和n個(gè)結(jié)點(diǎn)，則溫度場(chǎng)T(t，x，y)離散為T1，T2，…Tn等n個(gè)結(jié)點(diǎn)的待定溫度值，利用Galerkin法推導(dǎo)出單元內(nèi)的有限元基本方程［15］

式中，權(quán)函數(shù) Wl= T/Tl，上下角標(biāo) e 表示單元，i，j，m是單元的局部結(jié)點(diǎn)號(hào)，也就是三角形單元的三個(gè)頂點(diǎn)。下標(biāo)l的定義具有雙重性，在D中它代表整體結(jié)點(diǎn)號(hào)，而在e中它代表局部結(jié)點(diǎn)號(hào)。每個(gè)單元的局部結(jié)點(diǎn)號(hào)與整體結(jié)點(diǎn)號(hào)之間都有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系，作為單元信息的一部分編碼在需要輸入的原始數(shù)據(jù)中。

對(duì)整個(gè)區(qū)域合成整體的代數(shù)方程組

方程組(7)有n個(gè)代數(shù)式，就可以解出n個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度。合成的過(guò)程中，同一單元中的相鄰節(jié)點(diǎn)在合成的時(shí)候?qū)υ摴?jié)點(diǎn)方程的系數(shù)值有貢獻(xiàn)，而不在同一單元中的其余節(jié)點(diǎn)就不會(huì)有所貢獻(xiàn)，利用三角形單元的面積積分，計(jì)算出單元的系數(shù)項(xiàng)并疊加到整體的系數(shù)項(xiàng)中去，得到n個(gè)常微分方程

式中，［N］為熱容矩陣;［K］為熱導(dǎo)矩陣;{P}為產(chǎn)熱向量。

對(duì)于瞬態(tài)分析而言，溫度需要在時(shí)域進(jìn)行離散化。采用后向差分形式，則式(8)可變成如下形式:

2 溫度場(chǎng)求解區(qū)域單元?jiǎng)澐?/h2>

對(duì)于圖1中的邊界為Γ的區(qū)域D，可以使用三角形單元對(duì)其進(jìn)行劃分，劃分結(jié)束后，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的數(shù)字序號(hào)1，2，…n;每一個(gè)單元同樣有自己的編號(hào)①，②…等。單元通過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)與其他相鄰的單元相聯(lián)系，對(duì)每個(gè)單元來(lái)說(shuō)，三個(gè)頂點(diǎn)用i，j，m按照逆時(shí)針編號(hào)。對(duì)于內(nèi)部單元，i，j，m可任意按逆時(shí)針?lè)较蚓幣牛瑢?duì)于邊界單元，規(guī)定只有一條邊(并且編號(hào)為j，m)位于邊界上，結(jié)點(diǎn)i與邊界相對(duì)。

對(duì)于任意單元，劃分之后三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都是已知的，三角形中的任意一點(diǎn)的溫度T，利用有限單元法把它離散到節(jié)點(diǎn) i，j，m 上去，用 Ti，Tj，Tm表示單元中的溫度場(chǎng)T:

求溫度場(chǎng)時(shí)只需要求出離散的結(jié)點(diǎn)溫度，Ti，Tj，Tm，不做連續(xù)溫度T的計(jì)算。

對(duì)待計(jì)算區(qū)域進(jìn)行單元?jiǎng)澐謺r(shí)，盡量使每個(gè)三角形單元接近等邊三角形，使得計(jì)算更為精確。本文使用大型通用有限元仿真軟件ANSYS對(duì)電纜導(dǎo)熱區(qū)域進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑瑢?dǎo)出單元編號(hào)，結(jié)點(diǎn)編號(hào)以及結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)信息，用于后續(xù)編制有限元程序。

圖1 區(qū)域D內(nèi)三角形單元?jiǎng)澐?/p>

3 實(shí)例分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)例計(jì)算

為了驗(yàn)證本文提出有限元方法的正確性，選用單根YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電力電纜，結(jié)合試驗(yàn)所測(cè)實(shí)時(shí)變化的負(fù)荷電流及DTS所測(cè)電纜表面溫度，利用所編制的有限元程序計(jì)算該電纜瞬態(tài)溫度分布。電纜導(dǎo)體為緊壓圓形絞合銅導(dǎo)體，電纜的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1。

表1 電纜基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

對(duì)于表面溫度已知的電力電纜，待求解區(qū)域?yàn)殡娏﹄娎|本身，邊界條件為第一類邊界條件，對(duì)于瞬態(tài)的溫度場(chǎng)，邊界條件隨時(shí)間變化，計(jì)算時(shí)假設(shè)在一個(gè)采樣周期內(nèi)保持不變。電纜導(dǎo)熱區(qū)域的初始條件取值為測(cè)量的第一個(gè)時(shí)刻的電纜表面溫度。

對(duì)求解溫度場(chǎng)區(qū)域進(jìn)行三角形網(wǎng)格剖分，總的來(lái)說(shuō)，網(wǎng)格劃分得越小，計(jì)算的精度越高，但考慮到瞬態(tài)溫度場(chǎng)的計(jì)算需要迭代計(jì)算多次，網(wǎng)格劃分太細(xì)會(huì)導(dǎo)致結(jié)點(diǎn)數(shù)目增多，使得迭代一次計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。因此，在溫度變化劇烈的地方劃分較密，其余地方劃分較稀疏，這樣就可以在不增加單元和結(jié)點(diǎn)數(shù)目的條件下提高計(jì)算精度和速度。本例中對(duì)每一層材料都進(jìn)行建模剖分，剖分之后的結(jié)點(diǎn)數(shù)為1913個(gè)，單元數(shù)為3712個(gè)。電纜區(qū)域的剖分如圖2。

圖2 電纜區(qū)域有限元剖分圖

整個(gè)求解區(qū)域的損耗主要包括導(dǎo)體損耗、絕緣層損耗、鋁護(hù)套損耗，損耗的計(jì)算可參考IEC 60287標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算。對(duì)于瞬態(tài)溫度場(chǎng)而言，各部分損耗隨著負(fù)荷電流的變化而變化，每次迭代都需要更新各部分的損耗。具體的計(jì)算過(guò)程見(jiàn)流程圖3。

圖3 單芯電纜瞬態(tài)溫度場(chǎng)計(jì)算流程圖

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

采用與計(jì)算相同的YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電力電纜作為試驗(yàn)樣品，試驗(yàn)電纜長(zhǎng)18 m，試驗(yàn)原理圖如圖4。其中T1為調(diào)壓器，T2為電纜試驗(yàn)變壓器，另外使用電流互感器測(cè)量導(dǎo)體負(fù)荷電流。為保證能夠獲得足夠的導(dǎo)體溫度數(shù)據(jù)樣本，避免因安裝和運(yùn)行過(guò)程中的熱脹冷縮等不確定因素對(duì)導(dǎo)體溫度數(shù)據(jù)影響，在被試電纜上安裝3個(gè)熱電偶實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)電纜導(dǎo)體的溫度。同時(shí)利用DTS實(shí)時(shí)測(cè)量電纜表面溫度，熱電偶和DTS的安裝位置如圖5。試驗(yàn)電纜導(dǎo)體中的負(fù)荷電流曲線如圖6。

圖4 試驗(yàn)電路原理圖

圖5 試驗(yàn)電纜結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 負(fù)載電流曲線

本次試驗(yàn)測(cè)量時(shí)間約為8 h，熱電偶和DTS的采樣周期為60s，總共473組測(cè)量數(shù)據(jù)。圖7為DTS所測(cè)電纜表面溫度，通過(guò)曲線可知，電纜表面溫度在給定的負(fù)荷電流下從7℃上升到36℃。圖8為電纜導(dǎo)體溫度計(jì)算值與測(cè)量值的曲線對(duì)比圖，測(cè)量值為3個(gè)熱電偶在某個(gè)時(shí)刻的平均值。從圖8中可以看出，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本相符，計(jì)算誤差隨著試驗(yàn)時(shí)間的增加而略微增大，最小誤差為0.001℃，最大誤差為2.14℃。

圖7 電纜表面溫升曲線

圖8 電纜導(dǎo)體溫升曲線

分析誤差存在的原因，首先一個(gè)是測(cè)量?jī)x器本身的系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的:測(cè)量電纜導(dǎo)體溫度的熱電偶和測(cè)量電纜表面溫度的DTS本身就存在一定的測(cè)量誤差;熱電偶通過(guò)絕緣層被插入到導(dǎo)體表面，改變了電纜本身的溫度場(chǎng)也會(huì)造成誤差;此外，用于測(cè)量負(fù)荷電流的電流互感器也存在測(cè)量誤差。

其次，計(jì)算時(shí)使用的電纜結(jié)構(gòu)參數(shù)和實(shí)際的電纜結(jié)構(gòu)的不一致，電纜導(dǎo)體不是標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體，而在計(jì)算導(dǎo)體損耗時(shí)假設(shè)導(dǎo)體為同心圓柱體。此外，計(jì)算電纜各部分損耗時(shí)使用的IEC經(jīng)驗(yàn)公式也不可避免地引起計(jì)算值和實(shí)際情況的誤差。

最后一個(gè)導(dǎo)致誤差的主要因素就是計(jì)算時(shí)使用的電纜各部分材料的熱參數(shù)與實(shí)際材料特性有一定的差距，計(jì)算過(guò)程中根據(jù)材料類型查表得到材料熱參數(shù)。由于材料的熱參數(shù)是隨著電纜溫度的升高而變化的，另外，電纜緩沖層和皺紋鋁套中間會(huì)存在微小的空氣間隙，這些因素都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算值和實(shí)際測(cè)量值之間產(chǎn)生誤差。

考慮到上述的因素，本文結(jié)合DTS測(cè)量的電纜表面溫度并且利用有限元法計(jì)算得到的電纜溫度場(chǎng)與試驗(yàn)測(cè)量值之間的誤差在可接受的范圍內(nèi)。

4 結(jié)論

(1)借助于大型通用有限元軟件ANSYS，對(duì)一根單芯YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電纜使用三角形單元進(jìn)行場(chǎng)域剖分。為了提高計(jì)算精度而不增加計(jì)算時(shí)間，對(duì)電纜各層的三角形單元尺寸進(jìn)行了合理的選擇，導(dǎo)出剖分區(qū)域的單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)及坐標(biāo)值信息。

(2)利用有限元基本原理，結(jié)合電纜區(qū)域剖分信息，建立了電纜區(qū)域的溫度場(chǎng)計(jì)算模型。以DTS測(cè)量到的電纜表面溫度為第一類邊界條件，自主編制程序生成相應(yīng)的熱容、熱導(dǎo)及產(chǎn)熱矩陣，生成n個(gè)代數(shù)方程，從而較為精確地得到了整個(gè)電纜場(chǎng)域的瞬態(tài)溫度分布。

(3)對(duì)同根YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電纜開(kāi)展試驗(yàn)研究。通過(guò)電纜導(dǎo)體溫升的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量值的比較，最大誤差為2.14℃，驗(yàn)證了使用有限元法計(jì)算電纜瞬態(tài)溫度場(chǎng)的正確性，對(duì)于沿表面安裝DTS進(jìn)行實(shí)時(shí)溫度監(jiān)測(cè)的高壓或超高壓電纜，采用有限元法能夠精確地計(jì)算出導(dǎo)體的實(shí)時(shí)溫度變化，為電力工程中動(dòng)態(tài)載流量的確定提供了一個(gè)比較可靠的計(jì)算方法。

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